专题10 几何图形中的分类讨论思想-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

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专题10 几何图形中的分类讨论思想

【典例解析】
【例1】（2019·江苏崇川期中）△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一过点A的直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．

【答案】117°或108°或84°．
【解析】解：①∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝∠BDA＝39°，

∴∠BAC＝78°+39°＝117°；
②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，

∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，
∴∠BAC＝24°+84°＝108°；
③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，

∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；
△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，
故答案为：117°或108°或84°．
【变式1-1】（2020·哈尔滨月考）已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则______．
【答案】45°或36°.
【解析】解：分两种情况：
（1）当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD．
在△ADB与△ADC中，
∵BD=CD，AD=AD，AB=AC，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°；

（2）当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC．

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
故答案为：45°或36°．
【变式1-2】（2019·河北邢台模考）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形

（1）如图，在中，，过作一直线交于，若把分割成两个等腰三角形，则的度数是______．
（2）已知在中，，过顶点和顶点对边上一点的直线，把分割成两个等腰三角形，则的最小度数为________．
【答案】130°，.
【解析】解：（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，
当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，
∴∠BDA=180°-25°×2=130°．
故答案为：130°；
（2）①

∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠BAC=90°．
②

∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
③

∵AB=AC，当AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
④

∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=3∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴7∠BAC=180°，
∴∠BAC= ．
综上所述，∠A的最小度数为：．
故答案：．
【例2】（2018·南通市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点的坐标，过点作轴，垂足为点，过点作直线轴，点从点出发在轴上沿着轴的正方向运动．

（1）当点运动到点处，过点作的垂线交直线于点，证明，并求此时点的坐标；
（2）点是直线上的动点，问是否存在点，使得以为顶点的三角形和全等，若存在求点的坐标以及此时对应的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵AP⊥PD
∴∠APB+∠DPC=90°
又∠A+∠APB=90°
∴∠A=∠APB
∵AB=CP，∠ABP=∠PCD
∴△ABP≌△PCD
∴AP=DP，CD=BP=3
∴D（2,3）.
（2）设P（a,0），Q（2，b）
①当AB=PC，BP=CQ时，△PCQ≌△ABP
即，解得或
∴P（0,0），Q（2,3）或P（0,0），Q（2,-3）或
P（4,0），Q（2,7）或P（4,0），Q（2,-7）
②当AB=CQ，BP=CP时，△APB≌△QPC
即，解得
∴P（,0），Q（2,-2）或P（,0），Q（2,2）.
【变式2-1】（2020·重庆期末）如图，点在线段上，于，于，，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________．

【答案】1或或.
【解析】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC=CQ，
∴5-2t=6-3t，
∴t=1，
②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC=CQ，
∴5-2t=3t-6，
∴t=，
③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC=CQ，
∴2t-5=18-3t，
∴t=，
综上所述：t的值为1或或．
故答案为：1或或．
【例3】（2019·四川成都期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

【答案】见解析．
【解析】解：(1)∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∴∠PBC∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°，
∴∠BPC=180°-(∠PBC∠PCB)=180°-50°=130°.
(2) ∵△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC=(∠A+∠ACB)，∠PCB=(∠A+∠ABC)，
∴∠QBC∠QCB
=(∠A+∠A+∠ABC+∠ACB)
=(∠A+180°)=∠A+90°.
又∠QBC∠QCB=180°-∠Q，
∴∠A+90°=180°-∠Q，
∴∠Q=90°-∠A.
(3)连接BC并延长到点F

∵CQ为△ABC的外角的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=∠A；
∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°．
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；
④∠E=2∠Q，则∠A=2(90°-∠A)，解得∠A=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【变式3-1】（2020·河南偃师）（1）发现：如图1，的内角的平分线和外角的平分线相交于点.
①当时，则
②当时，求的度数（用含的代数式表示）﹔

（2）应用：如图2，直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），延长至，已知的角平分线与的角平分线所在的直线相交于，在中，如果一个角是另一个角的倍，请直接写出的度数.

【答案】见解析．
【解析】解：（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，
∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACD，
∴∠ACD ＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，
∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，
∴∠A＝2∠BOC，
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝∠A＝25°，
②由∠ACD=∠A+∠ABC，知∠ACD－∠ABC=α
∵OB，OC平分∠ABC，∠ACD
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD
∴∠BOC=∠OCD－∠OBC
=（∠ACD－∠ABC）
=α
（2）∵∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线相交于E，F
∴∠EAF=（∠BAO+∠GAO）=90°
①当∠E=∠EAF=30°时，
根据（1）可知：∠ABO=2∠E=60°
②当∠E=∠F时，∠E=22.5°
∴∠ABO=2∠E=45°.
【变式3-2】（2020·山东崂山期末）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．

图1 图2 图3 图4
（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，
①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．
②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．
（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°；
如图3，∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30，60；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，有一个角是另一个角的倍，有：
①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；
②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．
∴∠ABO为60°或72°．
【习题专练】
1.（2020·河南宛城月考）等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm，则这个等腰三角形周长为_____cm．
【答案】26.
【解析】解：设腰长为xcm，
根据题意得：x﹣6＝4或6﹣x＝4，
解得：x＝10或x＝2（舍去），
∴这个等腰三角形的周长为10+10+6＝26cm．
故答案为：26．
2.（2020·重庆月考）如图，，，，E为AC上一点，且，在直线AC上取一点P，使，则：的值为______．

【答案】2或4.
【解析】解：如图，

①当∠1=∠2时，
∠1+∠3=60°，∠BAD=3∠CAD，∠ABE=2∠CBE，DA∥BC
得：3∠3+3∠EBC=180°
∴∠EBC+∠3=60°
∴∠EBC=∠1=∠2=∠P1BE
即∠CBP1:∠ABP1=2
②当∠ABP2=∠DCA时，同理，得∠CBP2:∠ABP2=4
故答案为：2或4．
3.（2020·湖北硚口期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，其中，，点是轴负半轴上一点，点是在直线与直线之间的一点，连接、，平分，平分，交于，则与之间可满足的数量关系式为______________．

【答案】∠BNO+∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO.
【解析】解：①P在OB左侧时，∠BPO=2∠BNO，

在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°－∠BPO
∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠BNO=（180°－∠PBO－∠POB）
=90°－（180°－∠BPO）
=∠BPO
即∠BPO=2∠BNO.
②P在OB右侧时，∠BNO+∠BPO=180°，

∵BC∥OA，
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，
∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠PBN+∠PON+∠BPO=180°
∴∠PBN+∠PON=180°－∠BPO
在四边形BNOP中，∠BNO=360°－∠PBN－∠PON－∠BPO=180°－∠BPO
即∠BNO+∠BPO=180°.
故答案为：∠BNO+∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO.
4.（2019·乐清市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】解：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．

故答案为C.
5.（2020·厦门市）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B.
【解析】解：点P（m，0）（m＜6），点P在x轴上，
分三种情况：
①当O为顶角顶点时，以点O为圆心OA长为半径画弧，交x轴于一点，根据对称性得到此点的坐标为（6,0），舍去；
②当点A为顶角顶点时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴有两个交点均满足小于6的条件，故此时有两个；
③作线段OA的垂直平分线，与x轴交于一点，满足小于6的条件；
综上，共有3个点P，即m有3个值.
6.（2020·四川江油月考）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．
【答案】16cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm.
【解析】解：如图所示

设三角形的腰AB=AC=x cm
（1）若AB+AD=24cm，则
x+ x=24
∴x=16
∵三角形的周长为24+30=54cm
所以三边长分别为16cm，16 cm，22 cm
（2）若AB+AD=30cm ，则
x+ x=30
∴x=20
∵三角形的周长为24+30=54cm
∴三边长分别为20 cm，20 cm，14 cm
因此，三角形的三边长为16 cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm．
7.（2020·南阳市期末）已知一个等腰三角形的三边长分别为 2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．
解：①当 2x﹣1=x+1 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．
②当 2x﹣1=3x﹣2 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．
（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）①当2x﹣1=x+1时，解得：x=2，
此时3，3，4，能构成三角形．
②当2x﹣1=3x﹣2时，解得：x=1，
此时1，2，1不能构成三角形．
故答案为2，能，1，不能；
（2）③当x+1=3x﹣2，解得：x=，
此时2，能构成三角形．
故三角形的周长为：3+3+4=10或=7．
综上所述：三角形的周长为10或7．
8.（2019·宜春市期中）如图，，点为射线上一顶点，点在射线上移动，当为等腰三角形时，_________．

【答案】30°、75°、120°.
【解析】解：①当OA=AB时

∴∠ABO=∠MON=30°
②当OA=OB时，

∴∠ABO=∠BAO=75°
③当OB=AB时

∴∠OAB=∠MON=30°
∴∠ABO=180°-∠OAB-∠MON=120°
故答案为：30°、75°、120°.
9.（2020·安徽淮南月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度为______.
【答案】55°或35°．
【解析】解：如图，

∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，
∴∠A=70°，
∴∠ABC=∠C=（180°-70°）÷2=55°；
如图，

∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，
∴∠BAC=20°+90°=110°，
∴∠ABC=∠C=（180°-110°）÷2=35°．
故答案为55°或35°．
10.（2020·江苏盱眙一期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．

（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．
①若，则______度（直接写出结果，不需说理）；
②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36°
【解析】解：（1）易知∠AIB=90°+∠BOA=135°.
（2）①易知∠D=∠BOA=45°
②结论：点A、B在运动过程中，∠ADB=45°，不发生变化.
理由：
∠D=∠CBA-∠BAD=(∠MBA-∠BAO)= ∠AOB=45°.
（3）由题意得：∠DAO=∠BAO，∠FAO=∠EAP，
∴∠DAF=（∠BAO+∠EAP）=90°
∴∠D=∠POD-∠DAO=（∠POB-∠BAO）=∠ABO
∴∠ABO=2∠D
在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则：
①当∠DAF=4∠D时，∠D=22.5°，
此时∠ABO=2∠D=45°，
②当∠DAF=4∠F时，∠F=22.5°，∠D=67.5°
∠ABO=135°（不符合题意舍去），
③∠F=4∠D时，∠D=18°，∠ABO=36°
④∠D=4∠F时，∠D=72°，∠ABO=144°（不符合题意舍去），
综上所述，当∠ABO为45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
11.（2020·乐陵市月考） 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵∠α=60°，∠C=90°，
∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，
又∵四边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，
∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角，
∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，
∴∠1+∠2=90°+∠α
（3）如图3所示，

当PD位于PE上方时，
∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，
∵∠PEA=∠C+∠CFE，
∴∠2=90°+∠α+∠1．
当PD位于PE下方时，

∵∠1=∠α+∠PFD，∠2=90°+∠CFE，∠PFD=∠CFE，
∴∠1-∠2=∠α-90°．
12.（2020·江苏东台期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

【答案】见解析.
【解析】解：
（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠OBA）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F，

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，∠CDA+∠DCB=225°
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCB=112.5°，
∴∠E=67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ ，
∴∠E=（∠BOQ-∠BAQ）=∠ABO
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EFA=90°
在△AEF中，有一个角是另一个角的3倍，有：
①∠EFA=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°
②∠EFA=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍）
③∠EAF=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°
④∠EAF=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍）
∴∠ABO为60°或45°．
13.（2020·四川彭州期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．
（1）当时， °， °， °；
（2）当等于多少时?≌，请说明理由．
（3）在点的运动过程中，请直接写出当是等腰三角形时的度数．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵∠BDA＝110°，∠ADE＝50°，
∴∠CDE＝180°−∠BDA−∠ADE＝180°−110°−50°＝20°，
∵∠C＝50°，
∴∠AED＝∠CDE＋∠C＝20°＋50°＝70°，
在△ADE中，∠DAE＝180°−∠ADE−∠AED＝180°−50°−70°＝60°，
故答案为：20，70，60；
（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，
理由：在△ABD中，∠BAD＋∠BDA＝180°−∠B＝130°，
∵∠BDA＋∠EDC＝180°−∠ADE＝130°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，△ABD≌△DCE，
∴CD＝AB＝3；
（3）∵△ADE是等腰三角形，
∴①当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∵∠C＝50°，
∴点E与点C重合，不符合题意，舍去，
当AD＝ED时，∠AED＝（180°−∠ADE）＝65°，
∴∠CDE＝∠AED−∠C＝15°，
∴∠BDA＝180°−∠ADE−∠CDE＝115°，
当AE＝DE时，∠AED＝180°−2∠ADE＝80°，
∴∠CDE＝∠AED−∠C＝30°，
∴∠BDA＝180°−∠ADE−∠CDE＝100°，
即当△ADE是等腰三角形时∠BDA的度数为115°或100°．
14.（2020·都江堰期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到C（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于E．
（1）在点D的运动过程中，若∠BDA＝100°，求∠DEC的大小；
（2）在点D的运动过程中，若AB＝DC，请证明△ABD≌△DCE；
（3）若BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s）．在点D的运动过程中，是否存在这样的t，使得△ADE的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠BDA＝100°，∠ADE＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∴∠DEC＝180°﹣50°﹣30°＝100°；
（2）∵∠C＝30°，
∴∠CED+∠CDE＝150°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADB+∠CDE＝150°，
∴∠CED＝∠ADB，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）存在，∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s），
∴BD＝t，CD＝6﹣t，
①如图1，

当∠DAE＝90，则∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD＝t，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2AD，即6﹣t＝2t，
∴t＝2；
②当∠AED＝90°时，则∠DAE＝60°，

∴AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
即t＝6﹣t，
∴t＝3，
综上所述，当t＝2或3时，△ADE的形状是直角三角形．
15.（2019·湖北房县）在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（–a，0）、点 B（0， b），且 a、b 满足a2+b2–4a–8b+20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB＝45°．

（1）a＝　　　　　 ；b＝　　　　　　　 ．
（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；
（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，
∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，
∴（a–2）2+（b–4）2＝0
∴a＝2，b＝4，
故答案为：2，4；
（2）如图 1，由（1）知，b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
点 P 在直线AB的右侧，且在 x 轴上，
∵∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0），
故答案为：（4，0）；

（3）存在．理由如下：
由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，
∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，
①当∠ABP＝90°时，
∵∠APB＝∠BAP＝45°，
∴AB＝PB ，

过点P作PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90 °，
∴∠ABO＝∠BPC，
∴△AOB≌△BCP，
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝2，
∴P（4，2），
②当∠BAP＝90°时，同理，得：P（2，﹣2）；
即：满足条件的点 P（4，2）或（2，﹣2）.
15.（2020·广东宝安期中）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．

（1）若，判断_______(填“，或”)
（2）当，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当______时，是等腰三角形．(请直接写出答案)
【答案】见解析．
【解析】解：（1）=
证明：∵△ODC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
当α=120°，即∠BOC=120°时，
∠BOD=180°，即B、O、D三点共线
∴OB+OD=BD
（2）△ADO是直角三角形．
∵△ODC是等边三角形，
∴OC=CD
同理，BC=AC
由∠ACB=∠OCD=60°，得∠BCO=∠ACD
∴△BOC≌△ADC
∴∠BOC=∠ADC
∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°
∴∠ADO=90°
即△ADO是直角三角形.
（3）由（2）知△BOC≌△ADC，
∴∠COB=∠CAD=α
∴∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∠OAD=50°
①若OA=AD，得：190°－α=α－60°，
得α=125°
②若OA=OD，
同理，得：α=110°
③若OD=AD，得：α=140°
所以，当α为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形．
16.（2020·沙坪坝月考）如图，点是线段上一点，，分别以为边往线段BE上、下做一个等边和等边，点以的速度从点开始，沿方向运动，到点时停止运动，点以的速度从点开始，在线段上往返运动(即沿…运动），当点到达终点时，同时停止运动，过点作交于，过点作交于，设运动时间为，当与全等时，的值为__________

【答案】1或或5.
【解析】解：∵等边△ABC和等边△CDE，GH∥DE，MN∥DE，
∴△MNC和△CGH是等边三角形；
当△CMN与△CHG全等时，CN=CG
当0