专题1.3 勾股定理应用（专项训练）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题1.3 勾股定理应用（专项训练）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版），共19页。

专题1.3 勾股定理应用
（专项训练）

1．（2021秋•济宁期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　　步路．（假设2步为1米）

2．如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是　 　．

3．（东台）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？

4．（福田）如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC为3米．
（1）求BC的长；
（2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端向外移动了多少米？

5．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．






6．如图，点A是华清池景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在BC这条路上的D处修建了一个临时车站，由D处亦可直达A处，若AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求路线AB的长．


7.（2020春•霸州市期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．



8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

9．（武汉）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．

10．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．


11.如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点处，且，它们都要到处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的池塘处，另一只猴子乙先爬到树顶处后再沿缆绳线段滑到处．已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有的整式表示线段的长为　 　；
（2）求这棵树高有多少米？

12．如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿方向匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？



13．（2020秋•成都期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？



14．（2021秋•泗县期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点C'处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）

A．2cm B．14cm C．（2+4）cm D．10cm
15.（2021秋•汝州市期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（　　）m．

A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
16．（2021秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．5米
17．（2021秋•普宁市期末）如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm
18．（2022春•连江县期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）

A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm

专题1.3 勾股定理应用
（专项训练）

1．（2021秋•济宁期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　　步路．（假设2步为1米）

【答案】8
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴AB＝＝10（m），
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
2．如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是　 　．

【答案】8cm
【解答】解：沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE，
AF＝AD＝13cm，
在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm，
∴BF＝＝5cm
∴FC＝BC﹣BF＝8cm．
故答案为 8cm．
3．（东台）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？

【答案】(1)3小时 (2)C岛在A港的北偏西42°．

【解答】解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．

（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．
4．（福田）如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC为3米．
（1）求BC的长；
（2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端向外移动了多少米？

【答案】（1）4m（2）（﹣3）米．
【解答】解：（1）∵一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC＝3米，
∴BC＝＝4（m），
答：BC的长为4m；
（2）∵B点下移2米，
∴CD＝2米，
在Rt△CED中，已知DE＝5米，CD＝2米，
则根据勾股定理CE＝（米），
∴AE＝CE﹣AC＝（﹣3）米，
所以梯子底端A将向左滑动（﹣3）米．

5．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．
【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2，
解得x＝2.5
故滑道AC的长度为2.5m．
6．如图，点A是华清池景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在BC这条路上的D处修建了一个临时车站，由D处亦可直达A处，若AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求路线AB的长．

【解答】解：（1）△ACD是直角三角形．
理由如下：
∵AC＝1 km，AD＝0.8 km，CD＝0.6 km，
∴AC2＝1，AD2＝0.82＝0.64，CD2＝0.62＝0.36，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵△ACD是直角三角形，
∴AD⊥BC．
设AB＝BC＝x km，则BD＝BC﹣DC＝（x﹣0.6）km，
由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，
即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，
解得x＝，
∴AB＝ km．
7.（2020春•霸州市期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

【答案】CD的长为3cm
【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，
现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
即CD的长为3cm．

8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6米，
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12，
∴DM＝8，
∴BM＝，
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8，
∴他应该往回收线8米．

9．（武汉）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．

【答案】E应建在距A点13.3km
【解答】解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．

10．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
11.如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点处，且，它们都要到处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的池塘处，另一只猴子乙先爬到树顶处后再沿缆绳线段滑到处．已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有的整式表示线段的长为　 　；
（2）求这棵树高有多少米？

【答案】
【解答】解：（1）设为米，且存在，
即，，
故答案为：；
（2）




答：树高7.5米；
12．如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿方向匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？

【答案】
【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
．
设为，则，
由勾股定理得：，
又，，
，
解方程得出．
机器人行走的路程是．
13．（2020秋•成都期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

【答案】（1）海港 C受到台风影响 （2）5.6小时
【解答】解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB
∴300×400＝500×CD
∴CD＝＝240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km
∵台风的速度为25km/h，
∴140÷25＝5.6（小时）
即台风影响该海港持续的时间为5.6小时．

14．（2021秋•泗县期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点C'处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）

A．2cm B．14cm C．（2+4）cm D．10cm
【答案】D
【解答】解：当沿着平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行时，如图所示，

AC'＝＝2（cm），
当沿着平面ABB'A'、平面BB'C'C爬行时，

AC'＝＝10（cm），
因为10＜2，
所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是10cm，
故选：D．
15.（2021秋•汝州市期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（　　）m．

A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
【答案】C
【解答】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC＝＝＝1.3（m）．
∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）．
故选：C．

16．（2021秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．5米
【答案】D
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5，
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．

17．（2021秋•普宁市期末）如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm
【答案】B
【解答】解：侧面展开图如图所示：

∵圆柱的底面半径为cm，
∴圆柱的底面周长为12cm，
∴AC′＝6cm．
在Rt△ACP中，AP＝＝2（cm）．
故选：B．
18．（2022春•连江县期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）

A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
【答案】B
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故选：B．