第一章 勾股定理 单元检测卷（B卷）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

2022-2023学年八年级数学上册第一单元检测卷（B卷）

（考试时间：60分钟  试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．下列数据中是勾股数的有（　　）组

（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解答】解：（1）3，5，7 不是勾股数，因为32+52≠72；

（2）5，15，17 不是勾股数，因为52+152≠172；

（3）1.5，2，2.5不是勾股数，因为1.5，2，2.5不是正整数；

（4）7，24，25 是勾股数，因为72+242＝252，且7、24、25是正整数；

（5）10，24，26是勾股数，因为102+242＝262，且10，24，26是正整数．

故选：B．

2.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．64

【答案】D

【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，

∴即PQ2＝225，

∵正方形PRGF的面积为289，

∴PR2＝289，

又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2＝PQ2+QR2，

∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，

则正方形QMNR的面积为64．

故选：D．

3.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形 

B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 

D．等腰三角形或直角三角形

【答案】C

【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，

∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，

解得：a＝b，a2+b2＝c2，

∴△ABC的形状为等腰直角三角形；

故选：C．

4．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝3，那么正方形ABCD的面积

（　　）

A．2 B．8 C． D．10

【答案】B

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝90°，

∴BC2＝EC2﹣EB2＝32﹣12＝8，

∴正方形ABCD的面积＝BC2＝8．

故选：B．

5．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（　　）

A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不对

【答案】A

【解答】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，

∴OB＝＝3米，

在Rt△COD中，OC＝3米，CD＝5米，

∴OD＝＝4米，

∴AC＝OD﹣OB＝1米．

故选：A．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，

则由勾股定理知：AB＝＝＝，

又∵D为AB的中点，

∴CD＝AB＝．

故选：C．

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的高CD的长为（　　）

A．4 B． C．3 D．10

【答案】B

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则由勾股定理得到：AB＝＝＝10．

∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，

∴CD＝＝＝．

故选：B．

8．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　）

A．5 B．25 C．10+5 D．35

【答案】B

【解答】解：将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，

（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，

由勾股定理得：AB＝＝＝＝25．

（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，

由勾股定理得，AB＝＝＝＝5．

（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB＝＝＝5；

由于25＜5＜5，

故选：B．

9．如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A．100 B．144 C．148 D．196

【答案】C

【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，

根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，

∵∠BCD＝90°，

∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，

∴BD＝25，

∴AD+BD＝12+25＝37，

∴这个风车的外围周长是37×4＝148．

故选：C．

10．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解答】解：第一个正方形的面积是64；

第二个正方形的面积是32；

第三个正方形的面积是16；

…

第n个正方形的面积是，

∴正方形⑤的面积是4．

故选：B．

二、填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。

11．若直角三角形的两条直角边长为a、b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三条边长为 　  　．

【答案】5

【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，

∴a＝3，b＝4，

∴直角三角形斜边为：，

故答案为：5．

12．求图中直角三角形中未知的长度：b＝　　，c＝　　．

【答案】12，30

【解答】解：根据勾股定理得：b＝＝＝12；

c＝＝＝30．

故答案为：12，30．

13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于　  　．

【答案】2π

【解答】解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，

所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．

故答案为：2π．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD＝4，则AE的长是　   　．

【答案】2

【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴CD＝ED．

又AD＝AD，

∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）

∴AE＝AC．

在Rt△BDE中，BE＝．

设AE＝x，则AC＝x，AB＝2+x，

在Rt△ABC中，利用勾股定理得（2+x）2＝62+x2，

解得x＝2．

所以AE长为2．

故答案为2．

15．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 　  　．

【答案】10

【解答】解：设AH＝a，则HD＝14﹣a，

由图可得，EK＝HD，JK＝2，

∵AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，

∴a＝12﹣a，

∴a＝6，

在Rt△AEH中，

∵AH＝6，HD＝AE＝14﹣6＝8，

∴HE＝10．

故答案为：10．

16．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝　  　．

【答案】4

【解答】解：如图，

∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，

∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，

∴∠BAC＝∠EBD．

在△ABC和△BED中，

，

∴△ABC≌△BED（AAS），

∴BC＝DE．

∵S2＝DE2，DE＝BC，

∴S2＝BC2．

∵S1＝AC2，S2＝BC2，AC2+BC2＝AB2，AB2＝1，

∴S1+S2＝1．

同理S3+S4＝3．

则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．

三、解答题（本题共6题，17、18题8分，19-22题10分）。

17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，

（1）求AB的长；

（2）求CD的长．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∵BC＝15，AC＝20，

∴AB＝＝＝25，

∴AB的长是25；

  （2）∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，

∴AC•BC＝AB•CD，

∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，

∴20×15＝25CD，

∴CD＝12，

∴CD的长是12．

18．如图，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，求AC．

【解答】解：∵AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，

∴EC＝＝12，

∵DE＝7，

∴CD＝5，

∴AC＝＝12．

19．如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．

【解答】解：连接AC，

∵CD⊥AD

∴∠ADC＝90°，

∵AD＝4，CD＝3，

∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，

又∵AC＞0，

∴AC＝5，

又∵BC＝12，AB＝13，

∴AC2+BC2＝52+122＝169，

又∵AB2＝169，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．

20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

【解答】证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，

∴∠EBA＝∠CED，

∵∠EBA+∠BEA＝90°，

∴∠BEA+∠CED＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴△BCE是直角三角形，

用两种方法求梯形的面积：

S梯形ABCD＝2×ab+c2，

S梯形ABCD＝（a+b）2，

∴2×ab+c2＝（a+b）2，

化简得a2+b2＝c2．

21．如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设AC为x，则OC＝45﹣x，

由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，

又∵OA＝45，OB＝15，

把它代入关系式152+（45﹣x）2＝x2，

解方程得出x＝25（cm）．

答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．

22．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．

（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？

（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．

理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，

由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，

∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，

∴600×800＝1000CD，

∴CD＝480，

∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，

∴着火点C受洒水影响；

（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，

在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），

∴EF＝280m，

∵飞机的速度为10m/s，

∴280÷10＝28（秒），

∵28秒＞13秒，

∴着火点C能被扑灭，

答：着火点C能被扑灭．