全等三角形综合训练（三）-八年级数学全等三角形基本模型探究（人教版）

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全等三角形综合训练（三）1．在中，已知，，点是边延长线上一点，如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交直线于点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：过点F作FD⊥AG，交AG的延长线于点D ∵设BC=5x，则CE=3x∴BE=BC＋CE=8x∵，，∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°∴∠FAD=∠E在△FAD和△AEB中∴△FAD≌△AEB∴AD=EB=8x，FD=AB∴BD=AD－AB=3x，FD=CB在△FDG和△CBG中∴△FDG≌△CBG∴DG=BG=BD=∴AG=AB＋BG=∴故选D．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．2．如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：取格点，连接，由已知条件可知：，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，∵，∴,∴,∴是等腰直角三角形，∴,即，故选：．3．如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ）A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16【答案】D【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝12cm，∴BE＝12cm，∴AE＝24﹣12＝12cm，∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝12cm，∴BE＝12cm，∴AE＝24+12＝36cm，∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）；③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝24cm，∴BE＝24cm，∴AE＝24+24＝48cm，∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒），综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况．故选D．4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：过M作ME⊥AD于E，如图所示：∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵AB∥CD，∠B=90°，∴MC⊥DC，∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，∴MC=ME，同理ME=MB，∴MC=MB=ME，∴点M为BC的中点，故②正确；在Rt△DCM和Rt△DEM中，，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），∴AB=AE，∴AB+CD=AE+DE=AD，故③正确；∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，∴S△ADM=S梯形ABCD，故④正确；故选：D．5．如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：过点E作于M，于N，于H，如图，∵，，∴，∴平分，∴，∵平分，∴，∴，∴平分，∴，∵由三角形外角可得：，，∴，而，∴．故选：B．6．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为________．【答案】【详解】证明：如图，过C作的延长线于点F，∵平分，∴，∵，∴，在和中， ，∴（），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴cm，∴cm．故答案为：37．如图，四边形中，对角线平分，，，并且，则的度数为__________．【答案】【详解】解：过点D作于点E，于点F，于点G，对角线平分，，，，，，，，，，，，=，，，即，，，，，．故答案为：．8．如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交AC于F，AC＝8，BC＝12，则BF的长为________．【答案】10【详解】解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，如图所示：∵D为AB中点，DE⊥AB，∴EA＝EB，∵∠ACE＋∠BCE＝180°，∠ACE＋∠ECG＝180°，∴∠ECG＝∠BCE，∵EF⊥BC，EG⊥AC，∴EG＝EF，在Rt△EFC和Rt△EGC中，，∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），∴CF＝CG，∴12﹣CF＝8＋CF，解得：CF＝2，∴BF＝12﹣2＝10，故答案为：10．9．如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为_______________．【答案】1【详解】解：在AE上截取EF=BE，连接CF，∵CE⊥AB，∴CE垂直平分BF，∴BC=FC，∴∠B=∠BFC，∵∠B=2∠BAC，∴∠BFC=2∠BAC，∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，∴∠ACF=∠BAC，∴AF=CF，过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，∵∠CAD=30°，∠N=90°，∴AC=2CN，∴AM=CN，∵∠ACD+∠BAC=60°，∴∠ACD=60°-∠BAC，∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，∴∠MAF=∠NCD，在△AFM和△CDN中，，∴△AFM≌△CDN（ASA），∴AF=CD，∵AB的长度比CD的长度多2，∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，∴BE=1，故答案为：1．10．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是_____．【答案】DE+BG＝EG【分析】连接，利用全等三角形的判定和性质，求解即可．【详解】解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下：连接AC，如图所示，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴又∵∠ECG＝60°，∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°，又∵∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（SAS），∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°，∴∠ECG＝∠FCG，在△CEG和△CFG中，，∴△CEG≌△CFG（SAS），∴EG＝FG，又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，∴DE+BG＝EG，故答案为：DE+BG＝EG11．如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝___．【答案】2.5【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，∵EF⊥AB，AH⊥BC，∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∵AEBC，∴∠EAF＝∠B，在与中，∴，∴，，在与中，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，即，又∵BH＝1，∴CH＝1.5，∴BC＝BH＋CH＝2.5，故答案为：2.5．12．（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　   　；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF= ∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴(SAS)，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．13．(1)如图1，在中，，，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，、、三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图3，，，．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作 于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出结果即可）【答案】(1)；(2)成立，证明见解析；(3)6或10．【详解】（1）解：证明：，，，又，， ，，在和中， ，（），，；（2）解：成立．证明：，，，在和中，（），，；（3）解：①当时，点P在上，点Q在上，则 当即，解得时， 于F，于G，，，， 在和中， ，；②当时，点P在上，点Q也在上，此时相当于两点相遇，则有，解得，③当 时，点Q在上，点P在上，当即，解得时（舍去）；综上所述：当t等于6秒或10秒时，与全等；故答案为：6或10．14．如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：①如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数；②在①的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；③如图3，在中，如果不是直角，而①中的其他条件不变，试问在②中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】见解析；①；②，理由见解析；③成立，证明见解析【详解】解：在的两边上以O为端点截取，在上任意取一点D，连接、，则与即为所求作的三角形，如图1所示：①如图2，∵，°，∴，∵、分别是和的平分线，∴，，∴； ②．理由如下：在上截取，连接，如图2所示：∵是的平分线，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴，在和中∵，∴，∴，∴．③在②中的结论仍然成立．在上截取，连接，如图所示：同②可得：，∴，，又由①知，，∴，∴，∴，同②可得，∴，∴．15．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：，（3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；理由见解析【详解】（1）证明：如图1中，延长到G，使，连接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）证明：如图2，延长至M，使，连接．∵，∴，在与中，，∴，∴，∵，在与中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：．证明：如图3，在上截取，使，连接．∵，∴．在与中，，∴．∴．∴，∴，∴．∵，∴．∴，∵，∴．