专题06 等腰旋转模型-八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

专题06 等腰旋转模型

【模型说明】

【例题精讲】

例1．（判断数量关系）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．

（1）如图1，当点E在线段BC上时，

①求证：∠BAE＝∠BDE；

②求证：BD＋CF＝BC．

（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系．

例2.（基本模型）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．

（1）如图1，当点在线段上时，

①与的位置关系是______；②线段、、之间的数量关系是______．

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．

例3.（旋转问题）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．

【变式训练1】如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．

（1）如图1，若，求的长；

（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；

（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．

【变式训练2】如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．

（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

【课后作业】

1．如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．

2．已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为______．

3．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．

(1)观察猜想：

图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是 　  　；

(2)探究证明：

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，求△PMN面积的最大值．

4（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．

（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：

探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．

探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．

5．在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接.

（1）如图，当 在线段上时，求证：.

（2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由.

（3）如图，当点在线段上，，，求最大值.

6．已知等腰直角中，，点为斜边的中点，.

（1）如图，点在边上，与的延长线交于点，探索、、的数量关系并证明你的结论.

（2）如图，点在边上，与交于点，探索、、的数量关系并证明你的结论.