专题08 存在性-等腰三角形-中考数学压轴题满分突破之二次函数篇（全国通用）

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题

第8节  等腰三角形的存在性

方法点拨

“两圆一线”得坐标：

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

几何法：

（1）两圆一线作出点；

（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标．

代数法：

（1）表示出三个点坐标A、B、C；

（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；

（3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；

（4）列出方程求解．

       例题演练

例1．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B（﹣1，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE＝S△ABC，求E的坐标；

（3）若点P是y例1．轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．

例2．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．

（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．

例3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；

（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

例4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．

（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

练1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），直线BC的解析式为y＝x+3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，将抛物线向左平移1个单位，记平移后C、E的对应点分别为C′、E′，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使以C′、E′、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练2.如图①，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与直线交于点A，C，其中A（﹣7，0），C（﹣1，6）．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图②，P为直线AC上方抛物线上的动点，过P作PQ⊥AC于Q，当PQ的长度最大时，在x轴上取两个动点M、N，使MN＝2，连接PM、CN，求PM+MN+NC的最小值；

（3）如图③，抛物线的对称轴与x轴交于点D，将直线AC向下平移一个单位得到直线A'C'，直线A'C'与抛物线的对称轴交于点G，将△ADG绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），旋转过程中的△ADG记为△AD'G'，设直线D'G'交直线AC于点T，当△AG'T为等腰三角形时，直接写出T的坐标．

练3.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣），与y轴交于点B（0，﹣2），若该函数与x轴的另一个交点C满足OC＝3OA，抛物线顶点为D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，连接BC，若点Q是直线BC下方抛物线上的动点，过点Q作QE⊥BC于点E，作QF⊥x轴交BC于点F，求线段EF长度的最大值；

（3）如图2，将抛物线沿直线DO平移，点D平移后的对应点为D′，直线x＝与x轴相交于点M，与平移中的抛物线相交于点N，当△D′MN是以MN为底边的等腰三角形时，请直接写出D′的坐标．

练4.抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标；

（3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为M′，当△CBM′是等腰三角形时，求t的值．