专题11 存在性-等腰直角三角形-中考数学压轴题满分突破之二次函数篇（全国通用）

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题

第11节  等腰直角三角形的存在性

方法点拨

第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB

第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。

       例题演练

1．如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）当a＝﹣时，

①求点A、B、C的坐标；

②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；

（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值．

2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；

（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），

平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；

（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点（2，5）．

（1）求该抛物线解析式；

（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF的最大值，及此时点P的坐标；

（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．

5．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．

（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；

（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标．

6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）如图，连接PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图1．二次函数y＝﹣x2+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求出点A，B，C的坐标；

（2）连接AC，求直线AC的表达式；

（3）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；

（4）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴上一点，当PA+PC达到最小值时，求点P的坐标；

（3）M、N为线段BC上两点（N在M的右侧，且M、N不与B、C重合），MN＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

9．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．

（1）如图（1），求抛物线的解析式；

（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；

（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PA交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C的坐标和△ABC的面积．

（3）点P是抛物线对称轴上一点，且使得PA﹣PC最大，求点P的坐标．

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．