北师大版九年级数学上册 第1章特殊平行四边形 选择专项练习题 （含答案）

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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》
选择专项练习题（附答案）
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8
2．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
3．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　）

A． B．3 C． D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF，以下结论中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（　　）

A．6cm B．cm C．12cm D．cm
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接CE，DF，G，H分别是CE，DF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A． B．1 C．2 D．
8．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（　　）

A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°

9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AP、BE相交于点G，下列结论中正确的是（　　）
①AF＝BE；
②AF⊥BE；
③AG＝GE；
④S△ABG＝S四边形CEGF．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．给出下列结论：①CE＝BG；②EC⊥BG；③FG2+BF2＝2BD2+BC2；④BC2+GE2＝2AC2+2AB2．其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，作BD的中垂线分别与AD、BC边交于点E、F，则BF长为（　　）

A． B． C． D．5


12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP⊥EF；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（　　）

A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤
13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④AB﹣CF＝HE．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（　　）
①；
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；

A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④


15．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E，P，F分别是线段OB，CD，OD的中点，连接EP，PF，若AC＝8，PE＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．64 B．48 C．24 D．16
16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（　　）

A．30 B．15 C．11 D．5.5
17．如图，正方形ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，且∠MAN＝45°．若BM＝2，DN＝3，则MN的长为（　　）

A． B． C．4 D．5
18．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，连接BE，若AB＝4cm，AD＝8cm，则△BED的面积是（　　）cm2．

A．10 B．16 C．20 D．32
19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（　　）

A．5 B．3.5 C．4 D．
20．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④OE：OB＝0.5，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个













参考答案
1．解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
＝32，
∴AC＝8，
∴OC＝＝4，
∴CD＝＝8，
故答案为：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2，
∴OA＝AC＝1，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝1，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1；
故选：A．
3．解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值为，
故选：A．

4．解：①连接PC，EF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，

∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠BAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；
故③不正确；
综上，①②正确．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△COD为直角三角形．
∵OE＝3，点E为线段CD的中点，
∴CD＝2OE＝6．
∴C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OC，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD＝6cm，
∴BD＝2OD＝12cm，
故选：C．
7．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝1．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
，
△DAF≌△ABE（SAS），
∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故选：C．

9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABF与△BCE中，
，
∴Δ ABF≌Δ BCE，
∴AF＝BE，故①正确；
∵∠BAF+∠BFA＝90°，
∠BAF＝∠EBC，
∴∠EBC+∠BFA＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴AF⊥BE，故②正确；
∵GF与BG的数量关系不清楚，
∴无法得AG与GE的数量关系，故③错误；
∵△ABF≌△BCE，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BGF＝S△BCE﹣S△BGF，
即S△ABG＝S四边形CEGF，故④正确；
综上可得：①②④正确，
故选：B．
10．解：①∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠CAE＝∠GAB，
∴△ACE≌△AGB（SAS），
∴CE＝BG，
故①正确；
②∵△ACE≌△AGB，
∴∠ACE＝∠AGB，

∵∠AMG＝∠CMN，
∴∠MAG＝∠CNM＝90°，
即AE⊥BG，
故②正确；
③连接BE，

∵四边形ABDE是正方形，
∴∠DBE＝∠ABE＝∠ABD＝45°，∠D＝90°，
∴BE＝BD，
∴BE2＝2BD2，
当∠ABC≠45°时，∠CBE≠90°，
此时BE2+BC2≠CE2，即2BD2+BC2≠CE2，
∵∠F＝90°，
∴FG2+BF2＝BG2，
∵CE＝BG，
∴FG2+BF2与2BD2+BC2不一定相等，
故③错误；
④连接CG，

∵CE⊥BG，
∴BN2+CN2＝BC2，EN2+NG2＝GE2，
∴BC2+GE2＝BN2+CN2+EN2+CN2，
∵BN2+EN2＝BE2，CN2+GN2＝CG2，
∴BC2+GE2＝BE2+CG2，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°，AB＝AE，AC＝AG，
∴BE2＝AB2+AE2＝2AB2，CG2＝AC2+AG2＝2AC2，
∴BE2+CG2＝2AB2+2AC2，
∴BC2+GE2＝2AC2+2AB2，
故④正确；
故选：C．
11．解：连接DF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，
∵AB＝6，
∴BD＝，
∵BD的中垂线分别与AD、BC边交于点E、F，
∴OB＝OD＝5，BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则CF＝8﹣x，
在Rt△DCF中，DF2＝CF2+CD2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝，
即BF＝，
故选：B．
12．解：连接PC，延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，

①∵BD是正方形的对角线，则∠PDF＝45°，
而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形，
∴PD＝PF，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴CE＝PF，
∴PD＝CE；
故①不正确；
②∵四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8；
故②正确；
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故④正确；
③∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠BAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故③正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；
故⑤不正确；
综上，②③④正确．
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
设AB＝CD＝a，则AD＝a，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝a，
∴AE＝AB，
∴AE＝AD，故①正确；
∵DH⊥AE，∠DAE＝45°，AD＝a，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴DH＝AH＝a，
∴DH＝DC，
∵DH⊥AE，DC⊥CE，
∴DE平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，故②正确；
③∵AH＝AB＝a，
∴∠ABH＝∠AHB，
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠DFB＝180°，
又∠AHB+∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝∠HFD，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝a，∠ADH＝45°，
∴∠HDF＝90°﹣45°＝45°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BEH＝45°，
∴∠BEH＝∠HDF，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（AAS），
∴BH＝HF，故③正确；
∵△BEH≌△HDF，
∴HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝a﹣a，
∴CF＝a﹣（a﹣a）＝2a﹣a，
∴AB﹣CF＝a﹣（2a﹣a）＝a﹣a，
∴AB﹣CF＝HE，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④共4个，
故选：A．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，P，F分别是线段OB，CD，OD的中点，
∴PF∥AC，PF＝OC＝AC＝2，
∴PF⊥BD，
∴EF＝，
∴BD＝2EF＝12，
∴菱形ABCD是面积＝，
故选：B．
16．解：延长EB到点H，使得BH＝DF，连接AH，如图所示：

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝∠D，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴∠HAB＝∠FAD，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠BAE+∠HAB＝45°，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EH＝EF，
∵BE+DF＝5，
∴BE+BH＝5，
∴HE＝5，
∵AB＝6，
∴＝15，
∴△AEF的面积为15，
故选：B．
17．解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，

∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠HAN＝45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH＝AM，BM＝DH＝2，∠ABM＝∠ADH＝45°，
又AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN＝HN，
∵∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，
∴MN＝HN＝．
故选：B．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴AB⊥AD，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
设BE＝DE＝xcm，则AE＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝5cm，
∴S△BED＝DE•AB＝×5×4＝10（cm2），
故选：A．
19．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝7，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝7，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+7＝8，FM＝EF﹣AB＝7﹣1＝6，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝10，
∴CH＝5，
故选：A．

20．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝∠BDC＝45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DAF+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，
故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF＝GD，
∵AG⊥DF，
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，
∴EF∥CD∥AB，
故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD＝AF＝AB，
故③正确；
④∵EF∥AB，
∴∠OEF＝∠ABO＝45°，
∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴EF＝ED＝OE，
∴＝＝＝，
∴OB＝（1+）OE，
∴OE：OB＝1：（1+），故④错误．
故选：C．