相似三角形基本模型综合培优训练（五）-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

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相似三角形基本模型综合培优训练（五）
1．如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作，交延长线于，，

在正方形中，，，
，，
，，，，，，
，设，则，，，，
是正方形对角线，，
，，，，，
，，，，
在正方形中，，
，，；
故选：D．
2．如图，在中，，，点D在上，，，则______．

【答案】
【详解】解：如图，过点D作于E，过点C作于F．

∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
又∵，
∴E是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
解得：，
∴．
故答案为：．
3．如图，四边形ABCD中，，，点E在BC边上，，若，则AC的长为______．

【答案】17
【详解】解：如图，过点作的平行线交的延长线与点，过点作的平行线，交与点，交的延长线与点，
则：，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
又∵，∴（ASA），∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴（AAS），∴，
∵，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，
设，则：，；
∵，∴，
又∵，∴，
∴，即：，解得：，
∴；
故答案为：．

4．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和C落在EH边上同一点P处，点A、D的对称点分别是、.若，，，则矩形ABCD面积为 ___________.

【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=a，
由翻折可知：，
∵PE=2PH，
设PE=2x，PH=x，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴PF=2PG，
设PF=2b，PG=b，
∵FG=5，
根据勾股定理可得：或（舍去），
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵AD=BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴AB=CD=2，
∴矩形ABCD的面积，
故答案为：
5．如图，点，点分别在轴，轴上，，点为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，点关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则___________．

【答案】
【详解】解：点，点分别在轴，轴上，，点为的中点，

直线的解析式为，
设，点在反比例函数的图象上，，
，，，
设直线的解析式为，则，．
点和点关于直线对称，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
解得，（舍去），
，，
，
，
，

，
，即，
，
．
故答案为：．
6．如图，在中，，点D在BC的延长线上，连接AD，若，，则AB＝_____．

【答案】
【详解】解：如图，作交于点M，作交于点H，作交于点N，作交于点G，连接．

∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，  
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，  
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点A，H，C，N四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，  
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴（舍去），∴，
故答案为：．
7．如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，则的长为______．

【答案】
【详解】解：过点作交于点，如图所示．

，，
．
，
，
．
，
．
，
，
．
，
，，
．
在中，，即，
解得：，
，．
在中，，即，
解得：．
故答案为：．
8．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G，延长BF交AD边于点H．若=，则的值________．

【答案】
【详解】解：连接EH．

∵BFE是由BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCE=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠BEC=∠CGD，
在BCE和CDG中，
，
∴（AAS）；∴CE=DG，
由折叠可知BC=BF，CE=FE，∴∠BCF=∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，∴，BC=CD，∴∠BCG=∠HGF，
∵∠BFC=∠HFG，∴∠HFG=∠HGF，∴HF=HG，
∵，设CE=2x，则BC=CD=3x，FE=CE=2x，∴DE=CD－CE=x，
设HF=HG=a，∴DH=DG－HG=2x－a，
∴由折叠可知∠BFE=∠BCE=90°，∴∠EFH=90°，
∴，∴，
∴x=4a或0（舍弃），∴DH=2x－a=7a，
∴．
故答案为：．
9．（1）如图1，都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明；
（2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系；
②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，，则 ．

【答案】（1），证明见解析；（2）①，证明见解析；②
【详解】解：（1），
证明：∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①，
证明：如图2，连接BD、DF，

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，连接BD、DF，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形”
【特例感知】
（1）如图，与正方形的边、分别交于点E、点F，此时对正方形的“投射图形”就是四边形；若此时是一个定值，则四边形的面积____（填“会”或“不会”）发生变化．

【迁移尝试】
（2）如图，菱形中，，，E、F分别是边、上的动点，若对菱形的“投射图形”四边形的面积为，求的值．

【深入感悟】
（3）如图，矩形中，，，的两边分别与、交于点E、点F，若，，求对矩形的“投射图形”四边形的面积．

【综合运用】
（4）如图，某建筑工地有一块由围挡封闭起来的四边形空地，其中，，，m，m，现打算在空地上建一块四边形堆场用于堆放建筑垃圾，需要拆除围挡和，若m，求这个四边形堆场面积的最大值．

【答案】（1）不会（2）（3）（4）
【详解】（1）如下图所示，连接，

四边形面积，
∵，
∴四边形面积，
∴当是一个定值，则四边形的面积不会发生变化
故答案为：不会；
（2）如图，过A点作，分别交、延长线于点、，连接

∵四边形为菱形
∴，
∵菱形ABCD面积，
∴，
∴四边形面积，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴
∴
（3）如图，在上取点满足，连接，过点作交延长线于点

∵，，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形面积．
（4）延长、交于点，

∵，，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴
设，则
∴四边形面积
，
，
，
，
∵，
∴四边形面积随增大而增大，
∵，
∴当时，四边形堆场面积的最大值．
11．如图1，，．点P以的速度从点A出发，沿方向向点B运动，同时点Q以的速度从点B出发，沿B→C→A方向向点A运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．

(1)AD的长为 ；
(2)求t为何值时，平行于的一边；
(3)当点Q在边BC上运动，求t为何值时，的面积为
【答案】(1)；(2)或t=5；(3)2
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
（2）解：当点Q在上，时，
∵，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴
当点Q在上，时，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
综上所述，当或时，PQ平行于的一边．
（3）解：如图1，点Q在边上运动，此时，，
过点Q作于E，

∴，即 ，
解得 ，
∵，
∴的面积=，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去），
∴当点Q在边上运动，时，的面积为．
12．如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处，连接，与相交于点F，设．

(1)　　；
(2)若点在的平分线上，求的长；
(3)求点，D距离的最小值，并求此时的值；
(4)若点在的内部，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)8，；(4)
【详解】（1）在矩形中，，，
即，
故答案为：；
（2）如图1，

∵平分，
∴，
由翻折可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，连接，．

在中，，，，
∴，
∵根据折叠的性质有：，
∴在中，，
当在上时，，
即：，
∴的最小值为8，
此时在上，即E，，D共线，
如图，

根据折叠的性质有：，
即：，
即是直角三角形，则有，
根据，有，
则有，
解得，
∴；
（4）如图3﹣1中，当点落在上时，

∵，，
∴，
又∵在矩形中，有，
∴，
∴，
即；
如图3﹣2中，当点落在上时，过点P作于H，

易证明四边形是矩形，
则，．
在中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
即当时，点在的内部．
13．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．

(1)【观察猜想】
将绕点A逆时针旋转，连接，如图2，当的延长线恰好经过点E时：的值为________；的度数为___________度；
(2)【类比探究】
如图3，继续旋转，连接，，设的延长线交于点F，请求出的值以及的度数；
(3)拓展延伸：若，，当C、A、D三点在同一直线上时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，45；(2)，；(3)或
【解析】（1）解：如图，设与交于O，

∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，,
∴，，
∴，
∴，．
∵ ，
∴．
故答案为：，；
（2）
如图，设交于点O．

∵，都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，；
（3）
∵，，
∴，，
分类讨论：①当点E在上方时，如图，

由（1）同理可证，
∴．
∴，
∴，
∴，
解得：；
②当点E在下方时，如图，

∵C、A、D三点在同一直线上，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得：．
综上可知线段的长为或．
14．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上方，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°到ED．

(1)如图1，点D在AC左侧且在点A上方，连接AE，CE，若∠ACD＝15°，AB＝2，CE＝1+3，求AE的长．
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．
(3)如图3，已知BC＝3，CD＝6，连接BE交CD于点M，连接CE，将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所在平面内，得△C′EM，当AM+C′M最小时，求C′到BC的距离．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【解析】（1）解：如图1，

在ACB中，AB＝2，∠B＝45°，
∴AC＝2•sin45°＝2，
在ACF中，∠ACF＝∠ACD+∠DCE＝15°+45°＝60°，AC＝2，
∴CF＝2•cos60°＝2×＝1，AF＝2•sin60°＝，
∴EF＝CE−CF＝3，
在AEF中，AF＝，EF＝3，
∴AE＝；
（2）
证明：如图2，

作FNBC交DC于N，
∴∠NFM＝∠MBC，
设∠EDF＝α，∠EBG＝β，则∠DEF＝∠EDF+∠EBG＝α+β，
在EDM和BCM中，
∵∠DME＝∠CME，
∴∠DEF+∠EDM＝∠EBG+∠BCM，
∴（α+β）+90°＝β+（∠ACD+∠ACB）＝β+（∠ACD+90°），
∴∠ACD＝α，
∴∠ACD＝∠EDF，
∵FGAC，∠ACD＝90°，
∴∠BGF＝∠ACB＝90°，
∴∠EBG+∠BFG＝∠FGM+∠MGB，
∵MG＝MB，
∴∠MGB＝∠EBG，
∴∠GFM＝∠GFM，
∴FM＝MG，
∴FM＝BM，
在FMN和BMC中，
，
∴FMNBMC（ASA），
∴BC＝FN，∠FNM＝∠BCM＝90+α，
∴∠FND＝180°−∠FNM＝90°−α，
∵∠FDN＝∠EDC−∠EDF＝90°−α，
∴∠FDN＝∠FND，
∴FN＝DF，
∴DF＝BC，
∵BC＝AC，
∴DF＝AC，
在DEF和CDA中，
，
∴DEFCDA（SAS），
∴AD＝EF；
（3）
解：如图，

连接C，作F⊥BC于F，
∴BE垂直平分C
∵AM+M＝AM+MC≤AC，
∴当点A，M，C共线时，（AM+M）最小＝AC，
∵∠D＝∠ACB＝90°，∠BMC＝∠DME，
∴BCMEDM，
∴，
∴DM＝2CM，
∵CD＝AD＝6，
∴CM＝2，
在BCM中，
BM＝，
由得，
CG＝2×3，
∴CG＝，
∴C＝2CG＝，
∵∠BCM＝90°，
∴∠BCG+∠MCG＝90°，
∵∠CGM＝90°，
∴∠MCG+∠BMC＝90°，
∴∠BMC＝∠MCG，
∵∠CF＝∠BCM＝90°，
∴BCMFC，
∴，
∴，
∴，
即：到BC的距离是．
15．正方形的边长为4，点E在上，点F在上，且，与F交于G点．

(1)如图1，求证：①，②．
(2)连接并延长交于点H．
①若点E为的中点（如图2），求BH的长；
②当点E在的边上滑动（不与B、C重合）时，直接写出的最小值．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)；CG的最小值为2．
【解析】（1）
证明：①∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）
解：①∵E为的中点，即，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②取AB的中点H，连接．

由（1）得：，
∵A、B为定点，
∴G点的轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，的值最小，
∵，，∴
∴的最小值为．