专题01 A字型-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

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专题01   A字型【基本模型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；       ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【例题精讲】例1．如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），不难发现．已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______．【答案】3【详解】解：如图，作PF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∴△PAB∽△PCD，∴，即：，解得：PF=3．故答案为：3．例2.如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．【答案】4.5【详解】如图，设之间的距离为x米，根据题意可得，，∴∴，，∴，，即，，∴，解得，经检验是所列方程的解，∴，解得，经检验是所列方程的解，故路灯的高为4.5米．故答案为：4.5．例3．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有，即，解得t＝，答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．例4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【变式训练1】有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．【答案】甲同学【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴即∴x＝ 图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．由勾股定理得：AC＝∵，∴设乙同学加工的桌面边长为ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴即∴y＝∵＞，即x＞y，x2＞y2∴甲同学的加工方法更好．【变式训练2】雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．【答案】13.6m．【详解】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m，∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴，，∴，即，解得：BD＝21m，∴，解得：AB＝13.6m．即该校旗杆的高度AB为13.6m．【变式训练3】如图，在的边和边上各取一点D和E，且使延长线与延长线相交于F，求证：【答案】见解析【详解】证明：过点作，交延长线于点，∴,∴又∵,∴又∵,∴∴,∴∴【变式训练4】如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．【答案】见解析【详解】如图，过点E作 交BC于点M，∵，∴ ，，∴ ， ∴ ,即 ，∵,∴ ，∴，∴【课后训练】1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AF=4，BE=DG=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△CAF，∴CF=BE=3，∴AC==5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，即，解得：CD=，∴BD==．故选：A．2．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】C【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4对，故选：C．3. 如图，在中，，则的长为（    ）．A.  B. 8 C. 10 D. 16【答案】C【详解】∵∥，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴．∵，∴，又∵，∴．∴在中，．故选：C．4．如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（       ）A．5 B． C．5或 D．6【答案】B【详解】解：若△APQ∽△ABC，∴∠APQ=∠ABC，∴PQ∥BC，，∴∠PDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PBD =∠PDB，∴PB=PD，同理，DQ=CQ，∵，，，∴BC=，设AP=x，根据得,∴AQ=，∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，∴PQ=PD+QD=，∴，即，解得：x=，∴PQ=；若△APQ∽△ACB，则，由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，可知四边形AMDN为正方形，∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，∴AM∥DN，AN∥DM，∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，∴△MPD∽△NDQ，∴，∵AB=8，AC=6，BC=10，∴DM=DN==2，∴AM=AN=2，设PM=x，则，∴NQ=，∵，即，解得：x=或-2（舍），∴AP=+2=，∴PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=.综上：PQ的值为.故选B.5. 如图，中，点，分别在，上，，若，，则与的面积之比为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【详解】，，，，，，，．故选择：D．6．如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．7．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．①如图，若，直接写出的长；②如图，求证：．【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析.【详解】（1）证明：如图1在中，由于，∴∽，∴．同理在△ACQ和△AEP中，，∴．（2）①如图2, 作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∵DE边上的高为,故答案为②证明：如图3∵，∴．又∵为正方形，∴，∴，∴．同理，在中有，∴，∴．又因为∽，∴，∴．∴．