专题04 字母型-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题04  子母型

【基本模型】

如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．

如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．

当时，，则有．

【例题精讲】

例1.如图，在中，，点P、D分别是边上的点，且．

（1）求证：；

（2）若，当时，求的长．

例2．在中，，平分．

（1）如图1，若，，求的长．

（2）如图2，过分别作交于，于．

①求证：；

②求的值．

例3．如图，在中，，，，，，则CD的长为______．

例4．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．

（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（       ）

A．2       B．       C．2或

（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．

求证：与互为母子三角形．

（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．

【变式训练1】如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

【变式训练2】如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．

（1）求证：AC2＝BC•CD；

（2）若AD是△ABC的中线，求的值．

【变式训练3】如图，在矩形中，点是边上的一点，且垂足为点．

_                   ．

若四边形的面积为，求的面积．

【变式训练4】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；

（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．

①求证：∠ABC＝∠EAF；

②求的值．

【课后训练】

1.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）

A． B． C． D．

2．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．

3．如图，中，点分别是的中点，与点．

（1）求证：；

（2）求的大小；

（3）若，求的面积．

4．（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：；

（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值；

（3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值．

5．如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．

（1）求证：；

（2）若，，求．

6．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．

(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；

(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．

7．如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、．

（1）求证：；

（2）连接，若．求证：．

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．

（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；

（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；

（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．