北师大版八年级上册4 数据的离散程度教案设计

教学目标

1.了解刻画数据离散程度的三个量——极差、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差.

2.经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义.

3.经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念.

教学重难点

重点：经历用方差刻画数据离散程度的过程，了解刻画数据离散程度的三个量——极差、方差和标准差.

难点：抽象出刻画数据离散程度的统计量——方差.

教学过程

导入新课

多媒体展示章首折线统计图，如图.

图中反映的甲、乙、丙三个选手的射击成绩，这三人谁的成绩较好?你是怎么判断的?

让学生独立思考，教师巡视，了解学生的解答情况，然后找学生代表回答.

生:从图中可以看出甲、乙两人的射击成绩整体水平比丙的好,所以只需要计算出甲、乙两位选手射击成绩的平均数.

师:下面我们具体来算一算甲、乙两位选手射击成绩的平均数.

生:通过计算,可知甲、乙两位选手射击成绩的平均数都是7.9环.

师:甲、乙的平均成绩相同,你认为哪个选手更稳定?你是怎么看出来的?

生:由图可知甲的最好成绩是10环,最差成绩是4环,而乙的最好成绩是9环,最差成绩是7环,所以甲的成绩差较大,故乙选手更稳定.

师:由此可知刻画一组数据的稳定性,用数据的集中趋势来解决是不适合的，我们这节课就来探究解决这个问题的方法.

设计意图：从学生熟悉的现实生活出发,容易激发学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,服务于生活的道理.

探究新知

一、预习新知

请同学们自主预习课本149~151页，解决本节开头的问题.

展示问题

为了提高农副产品的国际竞争力,一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿的品质也相近.

质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿,它们的质量(单位:g)如下:

甲厂:75　74　74　76　73　76　75　77　77  74　74　75　75　76　73　76　73　78   77　72

乙厂:75　78　72　77　74　75　73　79　72  75　80　71　76　77　73　78　71　76   73　75

把这些数据表示成下图:

师:你能否根据所给的数据做出应该购买哪个厂的鸡腿的决定?

生:甲、乙两厂抽取的鸡腿规格为75 g的产品比例都是20%,所以不能做出决定.

师:你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗?

生:(思考)估计鸡腿的平均质量为75 g.

师:那么,你能求出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗?看看你的估计是否准确,并在图中画出纵坐标等于平均质量的直线.

生:根据给出的数据,计算得＝75 g,＝75 g.

师:同学们完成得很好.

从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值又是多少?最小值呢?它们相差几克?

生:甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是78 g,最小值是72 g,它们相差78-72＝6(g)；而从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是80 g,最小值是71 g,它们相差80-71＝9(g).

师:如果现在考虑鸡腿的规格,你认为外贸公司应该购买哪个厂的鸡腿?

生:因为甲厂鸡腿的数据相对于平均数的偏差较小,所以我认为应购买甲厂的鸡腿.

学生总结，教师指导：实际生活中,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况.因此,我们引入一个新的统计量——极差,它是刻画数据离散程度的一个统计量.极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.

师:从这个问题中我们发现:极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.

设计意图：通过实际问题创设教学情境,让学生感受仅由平均水平是很难对所有事物进行分析的,从而顺利地引入极差.这样,既吸引了学生的注意力,又激发了学生的求知欲,也能让学生感受到数学知识就在生活之中.

巩固练习

在某次数学测验中，某一小组五位同学成绩分别为60，70，80，90，100 ，那么这一小组同学成绩的极差为_____.

答案：40

二、合作探究

随着市场的激烈竞争,丙厂也参与了竞争,从该厂抽样调查了20只鸡腿,数据如下图所示.

对于甲、丙两厂,又该如何选择呢?

教师先引导学生通过计算对比两厂抽取鸡腿质量的平均数和极差.

丙厂这20只鸡腿质量的平均数为,计算得＝75.1 g,极差为79-72＝7(g).

师：从得到的数据来看应该选哪个厂的鸡腿？

生：甲厂.

师：甲厂的数据是不是明显优于丙厂呢？

生：不是，两厂的平均数差不多，极差也相差不大.

再引导学生如何刻画甲、丙两厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距?

这时应提出探讨74 g和76 g的鸡腿的偏离程度是否一样,由此提出用鸡腿质量和平均数的差的绝对值来刻画.

最后教师提出问题在甲、丙两厂中,你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么?

师:我们探讨了用极差和平均数来表示数据的离散程度,数据的离散程度还可以用方差或者标准差来刻画.请同学们阅读教材,并思考计算一组数据的方差的步骤.

阅读两分钟，学生独立完成阅读后总结计算方差的步骤，教师强调：方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即s2＝[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中是，，…，的平均数，s2是方差，而标准差s就是方差的算术平方根.

让学生独立计算两厂的方差并比较，等待学生完成后教师强调：(1)极差和标准差的单位和原单位一致；(2)方差的单位应该为原单位的平方，但是不具有什么实际意义，一般都省略不写.(3)计算器不具有求方差的功能，可以先求出标准差，再平方即可求出方差.

教师强调：一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.

典型例题

例　求数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差.

【问题探索】怎样求一组数据的方差和标准差？

【解法一】因为这组数据的平均数为

(7×4+6×2+8×2+5+9)＝7，

所以s2＝[(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2+

 (6-7)2+(7-7)2]＝1.2，[来源:学+科+网Z+X+X+K]

所以标准差s＝.

【解法二】将各数据减7，得新数据：0，-1，1，1，-2，2，0，0，-1，0.

由题易知，新数据的平均数为0，

所以s2＝[02+(-1)2+12+12+(-2)2+22+02+02+(-1)2+02-10×02]＝1.2，

所以标准差s＝.

【总结】计算一组数据的方差和标准差的步骤：先计算该组数据的平均数(或需加减的数值)，然后按方差(或标准差)的计算公式计算.

课堂练习

1.人数相同的八年级（1）（2）两班学生在同一次数学单元测试成绩中班级平均分和方差如下：＝＝80，＝200，＝65，成绩较为稳定的班级是（     ）

A.甲班                        B.乙班 

C.两班成绩一样稳定            D.无法确定

2.已知一组数据:15,13,15,16,17,16,14,15,则这组数据的极差与众数分别是              (　　)　　　　　　　　　　　　　　

A.4，15                       B.3，15 

C.4，16                       D.3，16

3.将一组数据中的每个数据都减去同一个数,那么下列结论成立的是(　　)

A.方差改变，平均数不变        

B.方差和平均数都不变

C.方差改变，平均数改变        

D.方差不变，平均数改变

4.(1)已知一组数据1，2，3，4，5的方差为2，则另一组数据11，12，13，14，15的方差为________.

(2)已知一组数据，，…，的方差是，则新的一组数据a+1，a+1，…，a+1(a为常数，a≠0)的方差为________.(用含a，s的代数式表示)

参考答案

1.B  

2.A

3.D

4.1）2  （2）

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.极差：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.

2.方差：即s2＝[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]，其中是，，…，的平均数，s2是方差，而标准差s就是方差的算术平方根.

布置作业

习题6.5第1，2题

板书设计

第六章　数据的分析

4 数据的离散程度

第1课时 极差、方差和标准差

方差的计算公式：s2＝[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].

一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.