专题1.13 《探索三角形全等》作辅助线（二）-截长补短（专项练习）（巩固篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.13 《探索三角形全等》作辅助线（二）-截长补短

（专项练习）（巩固篇）

一、单选题

1．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为(　　)

A． B． C． D．

3．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

4．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）

A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定

5．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ）

A．3 B．9 C．11 D．15

二、解答题

6．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．

7．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．

8．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．

9．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积．

10．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．

（1）探究、、之间的关系，并说明理由；

（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．

三、填空题

11．（1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：．

（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是______．

12．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．

13．如图，是等边三角形，，，，则________．

14．如图，，平分，，，则_____．

15．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）

16．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．

17．如图，中，平分，，，则的度数为_______．

参考答案

1．B

【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．

【详解】

解：如图，在上截取 连接

平分

故选：

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．

2．B

【分析】在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数．

【详解】

如图，在AC上截取AE=AN，

∵∠BAC的平分线交BC于点D，

∴∠EAM=∠NAM，

在△AME与△AMN中，

，

∴△AME≌△AMN（SAS），

∴ME=MN．

∴BM+MN=BM+ME，

当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，

∴MN⊥AB

∵∠BAC=68°

∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，

∴∠BMN=180°-112°=68°．

故选：B．

【点拨】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，利用垂线段最短解决问题．

3．D

【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．

【详解】

在AB上取一点G，使AG＝AF

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4

∴AB=5，

∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，

∴△AEF≌△AEG（SAS）

∴FE＝GE，

∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，

故当C、E、G三点共线时，符合要求，

此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，

此时，，

∴CH==，

即：CE+EF的最小值为，

故选：D．

【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．

4．C

【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.

【详解】

解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF，

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠DAB=180°，

又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB

∴∠ABE+∠EAB==90°，

∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，

在△ADE和△AFE中，

∴△ADE≌△AFE（SAS），

所以∠1＝∠2，

又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，

所以∠3＝∠4，

在△BCE和△BFE中，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

所以BC＝BF，

所以AB＝AF+BF＝AD+BC；

故选：C．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.

5．C

【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．

【详解】

在AC上截取AE=AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE，

又∠B=2∠ADB
∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，
∴∠DEC =∠EDC，
∴CD=CE，

∵，，
∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．
故选：C．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．

6．详见解析

【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．

【详解】

证明：延长ED至G，使，连结GC，

∵在中，为中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△GDB中，

∴，

，，

，

，

．

又，

∴，

∴.

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．

7．

【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可．

【详解】

解：如图，在上截取，连接．

∵平分，

．

∵，

，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴．

设，

则．

∵在中，，

解得，

∴．

【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

8．CN=MN+BM，见解析

【分析】采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论.

【详解】

解：CN=MN+BM．证明：

如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°．

又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．

在△MBD和△ECD中，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．

∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．

又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，

∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．

∴∠MDN=∠EDN．

在△MND与△END中，

∴△MND≌△END（SAS）．

∴MN=NE．

∴CN=NE+CE=MN+BM．

【点拨】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.

9．12.

【分析】在AB上截，根据SAS易证，∠AOD=∠AOE，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则 ，可得 ，继而证明△BOE≌△BOC，可得S四ABCD =2S△AOB，即可得出答案．

【详解】

解：在AB上截，

∵AO平分∠BAD，

∴∠DAO=∠EAO，

在△AOD和△AOE中,

∴，

，

，平分，平分，

∴∠AOB=90°，

，

∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO=∠CBO，

在△BOC和△BOE中, 

∴，

四边形ABCD的面积的面积= =12.

故答案为12.

【点拨】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S四ABCD =2S△AOB是解题的关键．

10．（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．

【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得，，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG，进而证明，再根据全等三角形对应边相等的性质解得，再结合等腰三角形的性质可证明，最后根据全等三角形的性质解题即可；

（2）在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明得到，据此方法再证明，最后根据全等三角形的性质解题即可．

【详解】

（1）和是等腰三角形，

延长AB至G，使得BG=CF，连接DG

在和中，

BG=CF，

，

在和中，

DE=DE，

，

（2）在CA上截取CG=BE,连接DG

是等腰三角形，

在和中，

CG=BE，

在和中，

FD=FD，

【点拨】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

11．（1）详见解析；（2）

【分析】（1）延长到点G，使，连接，先证明，得到，然后证明，得到，根据，可得；

（2）在上截取，连接，先证明△ABG≌△ADF（SAS），得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明△EAG≌△EAF（SAS），得到EG=EF，根据BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．

【详解】

（1）如图，延长到点G，使，连接．

，

，

又，，

∴，

，

，．

，

∴，

．

，

；

（2）．

如图，在上截取，连接，

，

，

在△ABG和△ADF中，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，

∠BAD=2∠EAF，

∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF，

∴∠GAE=∠EAF，

在△EAG和△EAF中，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴EG=EF，

∵BG=DF，

∴EF=BE-BG=BE-DF．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．

12．6

【分析】在AD上截取AF=AE，连接BF，易得△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E，CE=BF，则有∠D=∠DFB，然后根据等腰三角形的性质可求解．

【详解】

解：

在AD上截取AF=AE，连接BF，如图所示：

AB=AC，∠FAB=∠EAC，

，

BF=EC，∠BFA=∠E，

∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，

∠DFB=∠D，

BF=BD，

BD=6，

CE=6．

故答案为6．

【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．

13．6

【分析】在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，由四点共圆得∠，再证明，△是等边三角形，得，再由线段的和差关系可得结论．

【详解】

解：在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，

∵

∴四点共圆，

∴∠

∴∠

∵△是等边三角形，

∴，，

∴△，∠，

∴，

∴∠，即，

∴△是等边三角形，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠是解答此题的关键．

14．4

【分析】在BC上截取BE＝AB，利用“边角边”证明△ABD≌△EBD，根据全等三角形对应边相等可得DE＝AD，由全等三角形对应角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根据等角对等边可得CE＝DE，等量代换得到EC＝AD，则BC＝BE+EC＝AB+AD即可求出AD长．

【详解】

解：（1）在BC上截取BE＝BA，如图，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠EBD，

在△ABD和△BED中，

，

∴△ABD≌△EBD（SAS），

∴DE＝AD，∠BED＝∠A，

又∵∠A＝2∠C，

∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，

∴∠EDC＝∠C，

∴ED＝EC，

∴EC＝AD，

∴BC＝BE+EC＝AB+AD，

∵BC＝10，AB＝6，

∴AD＝10﹣6＝4；

故答案为：4．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．

15．180°-2x

【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．

【详解】

解：在CD上截取CE=CB，如图所示，

在△ABC和△AEC中，

∴△ABC≌△AEC(SAS)

∴AE=AB，∠B=∠AEC,

∵AB=AD，

∴AD=AE，

∴∠D=∠AED，

∵∠AED+∠AEC=180°，

∴∠D+∠B=180°，

∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°

∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，

∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x

∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x

故答案为：180°-2x

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．

16．40°

【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．

 解：在BC上截取BF=AB，连接DF，

∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，

∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，

∠ADB=60°，∠BDC=120°，

BD=BD，

△ABD≌△FBD，

DE=DA，

DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，

DC=DC，

△DEC≌△DFC，

；

故答案为40°．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．

17．

【分析】如图（见解析），在线段AC上取点E，使得，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，，然后根据线段的和差、等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．

【详解】

如图，在线段AC上取点E，使得

平分

在和中，

，

又

故答案为：．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．