专题4.5 实数（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题4.5 实数（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】

类型一、实数概念的理解
1．用序号将下列各数填入相应的集合内．
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
【答案】（1）整数集合；
（2）分数集合；
（3）无理数集合．
【分析】根据实数的分类进行解答．
解：（1）整数集合；
（2）分数集合；
（3）无理数集合．
【点拨】本题考查实数的分类，属于基础题型，熟练掌握基础知识是关键．
【变式1】将下列各数填人相应的集合内．
-7，0．32，，0，，，-，π，0.303003．．．
(1)有理数集合：( )；
(2)无理数集合：( )；
(3)负实数集合：( )；
【答案】（1）-7，0.32，，0，-；（2），，π，0.303003；（3）-7，-
【分析】（1）根据有理数定义解答即可；
（2）根据无理数定义解答即可；
（3）根据实数定义解答即可.
解：（1）-7，0.32，，0，-；
（2），，π，0.303003；
（3）-7，-.
【点拨】此题考查了有理数的定义，无理数的定义，实数的定义，正确理解各定义并掌握三者之间的区别是解答问题的关键.
【变式2】把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：，－…，， ，－，，－，|－4|
正数集合：｛ …｝；
负无理数集合：｛ …｝
整数集合：｛ …｝；
负分数集合： ｛ …｝
【答案】见解析
【分析】把|-4|先化简,利用正数、整数、无理数、负分数的意义,直接选择填入相对应的括号内即可.
解：正数集合： ｛， ，|－4|， …｝
无理数集合：｛ ， …｝
整数集合： ｛，，|－4| ， …｝
负分数集合：｛－3.171717…，－，－， …｝
【点拨】此题考查了实数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
类型二、实数的分类
2．已知七个实数，，4，5.3，，0，，其中三个数已在数轴上分别用点A、B、C表示．
（1）点A表示数_______，点B表示数______，点C表示数______．
（2）在数轴上精确地表示出剩下的4个数（提示：注意观察正方形的面积），并将轴上精确地表示所有的数用“＜”连接．

∴______