专题6.1 函数（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题6.1 函数（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共236页。
专题6.1 函数（知识讲解）
【学习目标】
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
【知识要点】
要点一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
特别说明：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
要点二、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
特别说明：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
要点三、函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
特别说明：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
要点四、自变量取值范围的确定
　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
特别说明：自变量的取值范围的确定方法：
　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
要点五、函数的几种表达方式：
　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
特别说明：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
要点六、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别说明：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.

【典型例题】
类型一、函数的概念
1．2019年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系：
销量（千克）
1
2
3
4
5
6
7
8
销售额（元）
3
6
9
12
15
18
21
24
（1）上表这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）刺梨的销售额（元）与销量（千克）之间的关系式为 ；
（3）当刺梨销量为50千克时，销售额是多少元？
【答案】（1）销量，销售额；（2）；（3）当刺梨销量为50千克时，销售额为150元
【分析】
（1）由表知，随着销量的变化，销售额发生相应的变化，所以自变量是销量，因变量是销售额；
（2）由表中数据可以看出，自变量发生变化时，因变量也在变，但是因变量总是等于自变量的3倍，所以刺梨的销售额（元）与销量（千克）之间的关系式为：；
（3）根据（2）得到的关系式可以得到答案．
解：（1）由题意得：自变量是销量，因变量是销售额，
故答案是：销量，销售额；
（2）有表格的数据得：，
故答案是：y=3x；
（3）将代入得：

答：当刺梨销量为50千克时，销售额为150元．
【点拨】本题考查函数的知识，掌握函数的意义和解析式表示法是解题关键．
举一反三：
【变式1】某位同学在野营时误入一沼泽地，该同学的体重为500，其每只鞋的鞋底表面积约为0.02，而该沼泽地能承受的最大压强为10000Pa（1 Pa =1N / m2）．他若双脚站立，整个身体会陷入该沼泽地吗？ ______ （填“会”或“不会”）为什么？_______.如果你认为会陷入，那他在等待救援前该怎么做？_________；如果你认为不会陷入，请跳过此问.
【答案】会. 因为按照压强计算需与地面接触0.05，大于两只脚的表面积0.04.坐下（或其它能增大与地面接触面积的姿势）.
【分析】
根据压强公式P= ，可得S= 代入数值计算比较即可.因为增大受力面积可减小压强，故他可以坐下（或其它能增大与地面接触面积的姿势）.
解：会陷入.理由是：
∵> 0.04
故会陷入，因为增大受力面积可减小压强，故他可以坐下（或其它能增大与地面接触面积的姿势）
【点拨】本题考查的是函数的初步认识，掌握压强公式是关键.
【变式2】图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的函数关系图像如图2所示．


（1）根据图2填表：

0
3
6
8
12
…







（2）变量y是x的函数吗？________．
（3）根据图中的信息，可得出摩天轮的直径为________m．
【答案】（1）见详解；（2）是；（3）65
【分析】
（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；
（2）利用函数的定义直接判断即可．
（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．
解：（1）填表如下：

0
3
6
8
12
…

5
70
5
54
5
…
（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，
所以y是x的函数，
故答案是：是；
（3）∵最高点为70米，最低点为5米，
∴摩天轮的直径为65米，
故答案是：65．
【点拨】本题考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
类型二、函数的解析式
2．一种豆子每千克售2元，豆子的总售价（元）与所售豆子的质量（千克）之间的关系如下表：
售出豆子质量（千克）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
总售价（元）
0
1
2
3
4
5
6
10
（1）在这个表格中反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当豆子售出5千克时，总售价是多少？
（3）按表中给出的关系，用一个式子把与之间的关系表示出来
（4）当豆子售出20千克时，总售价是多少？
【答案】（1）总售价（元）与售出豆子的质量（千克），自变量是售出豆子的质量（千克），因变量是总售价（元）；（2）元；（3）；（4）元．
【分析】
（1）由表格信息可得结论；
（2）由表格信息可得豆子售出5千克的总售价；
（3）由总售价等于单价乘以数量可得结论；
（4）把代入中可得结论．
解：（1）这个表格中反映的是总售价（元）与售出豆子的质量（千克）之间的关系，
自变量是售出豆子的质量（千克），因变量是总售价（元）；
（2）由表格信息可得：豆子售出5千克的总售价为元；
（3）因为总售价等于单价乘以数量，
所以
（4）把代入得：
，
当豆子售出20千克时，总售价为元．
【点拨】本题考查的是函数的概念，自变量与因变量的理解，以及列函数关系式，求函数值，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知一个圆柱的底面半径是，当圆柱的高变化时，圆柱的体积也随之变化．
（1）在这个变化过程变量、中，自变量是______，因变量是______；
（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积与高之间的关系式；
（3）当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由______变化到______．
【答案】（1），；（2）；（3），
【分析】
（1）利用函数的概念进行回答；
（2）利用圆柱的体积公式求解；
（3）分别计算出h＝3和6对应的函数值可得到V的变化情况．
解：（1）在这个变化过程中，自变量是h，因变量是V；
故答案为h，V；
（2）V＝π•32•h＝9πh；
（3）当h＝3cm时，V＝27πcm3；当h＝6cm时，V＝54πcm3；
所以当h由3cm变化到6cm时，V是由27πcm3变化到54πcm3．
故答案为：27πcm3；54πcm3．
【点拨】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．
【变式2】小夏在暑假社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克的西瓜到市场上去销售．在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完，销售金额与售出西瓜的数量之间的关系如图所示，请你根据图象提供的信息完成以下问题：

（1）求降价前每千克西瓜售价多少元？
（2）求降价前的销售金额（元）与售出数量（千克）之间的关系式；
（3）小夏从批发市场共购进多少千克西瓜？
（4）小夏这次卖西瓜赚了多少钱？
【答案】（1）；（2）；（3）共购进千克西瓜；（4）小夏这次卖西瓜赚了多少钱为元．
【分析】
（1）根据图像信息得知40千克售价为64元，即可求得单价；
（2）根据售价=单价×重量即可得出关系式；
（3）根据图像信息求得超过40千克的部分的重量即可得知总数；
（4）根据利润=售价-成本计算即可得出赚了多少钱．
解：（1）由图像可知40千克售价为64元，
每千克西瓜售价为（元）
答：每千克西瓜售价为1.6元；
（2）由（1）可知每千克西瓜售价为1.6元
销售金额（元）与售出数量（千克）之间的关系式为：；
（3）超过40千克的部分为：（千克）
所以共购进千克西瓜；
答：共购进千克西瓜；
（4）（元）
答：小夏这次卖西瓜赚了36元钱．
【点拨】本题考查了函数图像，函数解析式，根据图像获取信息是解题的关键．
类型三、函数自变量的取值范围
3．利用初中阶段我们学习函数知识的方法探究一下形如的函数：
（1）由表达式，得出函数自变量x的取值范围是__________；
（2）由表达式还可以分析出，当时，，随增大而增大；当时，____________0，随增大而__________．
（3）如图中画出了函数的图象，请你画出时的图象；
（4）根据图象，再写出的一条性质__________．

【答案】（1）任意实数；（2），增大；（3）见解析；（4）图象关于原点对称
【分析】
（1）由表达式，根据立方的定义得出函数自变量的取值范围是任意实数；
（2）由表达式分析即可求解；
（3）根据函数图象的画法描点，连线即可得时的图象；
（4）观察图象可得图象关于原点对称．
解：（1）由表达式，得出函数自变量的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由表达式还可以分析出，当时，，随增大而增大．
故答案为：，增大；
（3）画出时的图象如图：

（4）观察图象可得：的一条性质：图象关于原点对称．
故答案为：图象关于原点对称．
【点拨】本题综合考查了函数的定义以及图象与性质，掌握研究函数的基本方法并准确根据图象分析出性质是解题关键．
举一反三：
【变式1】用解析式表示下列函数，并指明自变量的取值范围.
（1）某食堂有白菜1500千克，求这些菜能吃的天数与这食堂每天平均吃菜的千克数之间的关系式；
（2）某种钢笔5元一支，求买钢笔的钱数（元）与买钢笔支数之间的关系式.
【答案】（1）；（2）（是正整数）
【分析】
（1）白菜总量一定，这些菜能吃的天数与每天平均吃菜的数量成反比例关系，据此解答即可；
（2）总钱数=单价×购买钢笔的数量，据此解答即可，注意购买钢笔的数量为正整数.
解：（1）这些菜能吃的天数与这食堂每天平均吃菜的千克数之间的关系式是：；
（2）买钢笔的钱数（元）与买钢笔支数之间的关系式是：（是正整数）.
【点拨】本题考查了列出实际生活中的函数关系式，正确理解题意、弄清两个变量之间的关系是解答的关键.
【变式2】已知一根长为20m的铁丝围成一个长方形，若宽为，长为.
（1）写出关于的函数解析式；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）求当时所对应的函数值；
（4）画出所对应的函数图像.
【答案】（1）；（2）；（3）6；（4）见解析.
【分析】
（1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解；（2）根据长方形的宽不小于长列式求出x的最大值，从而得解；（3）把x的值代入函数关系式计算即可得解；（4）利用两点法作出函数图象即可．
解：（1）根据周长公式得：，整理得：；
（2）∵宽为，长为，∴. ∴，解得，
∴；
（3）当时，；
（4）当x=1时，y=-1+10=9，当x=4时，y=-4+10=6，所以函数图象经过点（1，9），（4，6），作图为：

【点拨】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，利用两点法作函数图象，难度较小．
类型四、求自变量的值或函数值
4．为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：
轿车行驶的路程
0
100
200
300
400
…
油箱剩余油量
50
42
34
26
18
…
（1）该轿车油箱的容量为_________L，行驶时，油箱剩余油量为________L；
（2）根据上表数据，写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的表达式．
【答案】（1）50，30；（2）
【分析】
（1）根据表格及耗油的特点即可求解；
（2）根据表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，故可写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的表达式．
解：（1）该轿车油箱的容量为50；
由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，
∴行驶时，油箱剩余油量为50-250÷100×8=30 L；
故答案为：50；30；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得Q与s的关系式为．
【点拨】此题主要考查函数关系式的求解，解题的关键是根据表格得到每行驶，油量减少．
举一反三：
【变式1】公路上依次有A，B，C三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从A，B两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是每小时16.5km，若A，B两站间的路程是26km，B，C两站的路程是15km．
（1）设小明出发x小时后，离A站的路程为y km，请写出y与x之间的关系式．
（2）小明在上午9时是否已经经过了B站？
（3）小明大约在什么时刻能够到达C站？
【答案】（1）y=16.5x+8；（2）9时小明还没有经过B站；（3）小明大约在上午10时到达C站
【分析】
（1）据路程=速度×时间即可求得关系式；
（2）将=1代入关系式，求得距离的路程，和的路程比较即可求得答案；
（3）将之间的路程代入关系式，即可求得时间．
解：（1）小明出发小时后所行驶的路程是km，出发时距离站8km，
故小明离站的路程可以表示为：；
（2）当时，，可知上午时小明还没有经过站；
（3）两站的路程为：
令 ，
则，，
解得：，，
故小明大约在上午时到达站．
【点拨】本题考查了函数的简单应用，理解题意列出函数解析式是解题的关键．
【变式2】如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8．
（1）梯形面积y与上底长x之间的关系式是________；
（2）当x每增加1时，y如何变化?请进行说明；
（3）当x = 0时，求y的值，此时y表示的是什么?

【答案】（1）y=4x+60；（2）增加4；（3）三角形的面积
【分析】
（1）根据梯形的面积公式可得答案；
（2）代入计算发现结论；
（3）上底为0，此时梯形变为三角形，y表示三角形的面积．
解：（1）由梯形的面积计算公式得，
y=（x+15）×8
=4x+60，
故答案为：y=4x+60；
（2）由y=4x+60可知，
当x每增加1时，y的值就增加4；
（3）当x=0时，梯形的上底就变为0，此时梯形就变为三角形，
所以当x=0时，y表示的是三角形的面积．
【点拨】本题考查函数关系式、函数值，理解函数的意义及变量之间的变化关系是正确解答的前提．
类型五、函数图象的识别
5．北京春季某天气温T和时间t之间的关系如图所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量T是不是关于t的函数？
（2）观察图象，你还能得到哪些信息？（写出一条即可）

【答案】（1）T是t的函数；（2）在0时至4时以及14时至24时，气温逐渐降低
【分析】
（1）按照函数的定义即可求解，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，y是因变量；
（2）根据函数图象中的数据即可得结论．
解：（1）T是t的函数；两个变量、每一个时间t的确定值，T都有唯一的值与其对应，
故变量T是关于t的函数；
（2）在0时至4时以及14时至24时，气温逐渐降低；在4时至14时，气温逐渐上升．
【点拨】本题考查了函数的定义及函数图象，理解函数的定义是解答本题的关键.
举一反三：
【变式1】如图①，直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则直角梯形ABCD的面积为_____．

【答案】26．
【分析】本题考查动点函数图象的问题，要根据图象判断出各边的边长．
解：动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动；当运动到线段CD上时，三角形的面积的值开始固定．由图象可以看出，x为4时，面积开始不变，所以BC为4；
x为9时，面积不变结束，所以CD＝9﹣4＝5；
那么AD＝14﹣9＝5，AB＝CD+
∴直角梯形ABCD的面积为×（5+8）×4＝26．
【点拨】应根据题中所给的条件先判断出面积不变的开始与结束的点，进而判断出相应的线段的长度，再求解．
类型六、从函数图象读取信息
6．人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，李老师调查了自己班学生的学习遗忘规律，并根据调查数据描绘了一条曲线（如图所示），其中纵轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间，观察图象并回答下列问题：

（1）观察图象，1h后，记忆保持量约为　 　；8h后，记忆保持量约为　 　．
（2）图中的A点表示的意义是　 　；
（3）在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号　 　；
①0﹣2h；②2﹣4h；③4﹣6h；④6﹣8h．
（4）有研究表明，如及时复习，一天后能保持98%，根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样？由此，你有什么感受．
【答案】（1）50%，30%；（2）2h记忆量大约保持了40%；（3）①；（4）如果一天不复习，记忆量只能保持不到30%；感受：①学习知识后每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合．
【分析】
（1）观察图像可知1h后，记忆保持量约为50%，8h后，记忆保持量约为30%；
（2）由题可得，点A表示：2h大约记忆量保持了40%；
（3）观察图像可知在0﹣2h 内记忆保持量下降的速度是最快的；
（4）如果一天不复习，记忆量只能保持不到30%，提出合理感受即可.
解：（1）由图可得，1h后，记忆保持量约为50%（50%±3%均算正确）；
8h后，记忆保持量约为30%（30%±3%均算正确）；
故答案为：50%，30%；
（2）由题可得，点A表示：2h大约记忆量保持了40%，
故答案为：2h记忆量大约保持了40%；
（3）由图可得，0﹣2h 内记忆保持量下降60%，故0﹣2h 内内遗忘的速度最快，
故答案为：①；
（4）如果一天不复习，记忆量只能保持不到30%；
感受：①学习知识后每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合．
【点拨】本题主要考查了从函数图像中获取信息，解题的关键在于能够准确读懂函数图像所表达的意思.
举一反三：
【变式1】2021年3月22日，长沙启动“世界水日”、“中国水周”等系列活动，这天，小亮骑共享单车从家中出发去早餐店吃早点，接着前往猴子石水厂参加活动，中途发现入场券不见了，于是原路折返，在早餐店找到了入场券后，便继续前往至水厂，图中x表示时间，y表示小亮离家的距离，请根据图象回答下列问题：

（1）小亮吃早饭花了　 　分钟．
（2）小亮的家距离水厂　 　米．
（3）小亮在整个骑行过程中的最快速度是　 　米/分钟．
【答案】（1）7；（2）1600；（3）190
【分析】
（1）根据题意和函数图象可以得到小亮吃早饭所用的时间；
（2）根据函数图象可以得到小亮的家距离水厂的路程；
（3）根据函数图象可以得到在每个时间段内小亮的速度，并得出小亮在整个骑行过程中的最快速度．
解：（1）由图可知，小亮吃早饭花了：14﹣7＝7（分钟），
故答案为：7；
（2）由图可得，小亮的家距离水厂1600米，
故答案为：1600；
（3）由图可知，
小亮在0﹣7时间段内速度为：840÷7＝120（米/分），
小亮在14﹣16时间段内速度为：（1000﹣840）÷（16﹣14）＝80（米/分），
小亮在16﹣17时间段内速度为：（1000﹣840）÷（17﹣16）＝160（米/分），
小亮在17﹣21时间段内速度为：（1600﹣840）÷（21﹣17）＝190（米/分），
小亮在17﹣21时间段内速度最快，此时的速度为190米/分，
故答案为：190．
【点拨】本题主要考查了函数图像的实际应用，解题的关键在于能够准确地从图像中获取信息进行求解.
【变式2】张华上午8点骑自行车外出办事，中途休息了一会，之后赶到目的地将事情办完回家，如图表示他离家的距离（千米）与所用时间（时）之间的函数图象．根据图象回答下列问题：
（1）张华何时休息？休息了多少时间？这时离家多远？
（2）他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？
（3）目的地离家多远？

【答案】（1）张华何在9.5时开始休息，休息的时间为0.5小时，这时离家15千米；（2）张华在11时到达目的地，在那里逗留的时间为1小时；（3）目的地离家的距离为30千米
【分析】
（1）根据休息的时候，时间增加而路程不再增加可得张华何时休息以及休息的时间，此时的纵坐标就是离家的距离；
（2）由离家最远时，路程不再随时间的增加而增加，此时的横坐标就是到达目的地的时间，再利用横坐标作差即可得出在那里逗留的时间；
（3）由离家最远时，路程不再随时间的增加而增加，此时的纵坐标就是目的地离家的路程．
解：（1）由题意，得张华何在9.5时开始休息，休息的时间为：10﹣9.5＝0.5（小时），这时离家15千米；
（2）张华在11时到达目的地，在那里逗留的时间为：12﹣11＝1（小时）；
（3）目的地离家的距离为30千米．
【点拨】本题考查了函数图象，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，因此本题实际上是考查同学们的识图能力．
类型七、用描点法画函数图象
7．已知函数
（1）填写下列表格．
x
…


0
1
2
…

…
7
1


7
…
（2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数的图象．

【分析】
（1）根据函数表达式，将给定的x值代入计算，从而填表；
（2）根据表格中的数据，描点，再用平滑的曲线连接即可．
解：（1）当x=0时，y=-1；当x=1时，y=1，
填表如下：
x
…


0
1
2
…

…
7
1
-1
1
7
…
（2）如图所示：

【点拨】本题考查了函数的图像，求函数值，属于基础题，解题的关键是画图时注意要用平滑的曲线连接各点．
举一反三：
【变式1】（1）按照画函数图象的步骤在同一平面直角坐标系内画出函数与的图象．


（2）请使用量角器度量一下这两条直线的夹角，你会发现什么？写出你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2）夹角是，两条直线互相垂直；，两条直线互相垂直，见解析
【分析】
（1）通过列表，描出几个点，画出图像即可
（2）用量角器测量两直线的交角，比较分析可得答案．
解：（1）函数

···
-1
0
1
···

···
3
1
-1
···
函数

···
-1
0
1
···

···

1

···
如图所示


（2）两条直线的交角90度；
当两个一次函数两系数之积为-1时，两条直线的交角为90度，即垂直．
【点拨】此题较简单，解答此题的关键是画出函数的图象，再进行测量与猜想．
类型八、动点问题的函数图象
8．已知动点P以每秒1cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝3cm，试回答下列问题

（1）图甲中的BC长是多少？
（2）图乙中的a是多少？
（3）图甲中的图形面积是多少？
（4）图乙中的b是多少？
【答案】（1）4cm；（2）6cm2；（3）15cm2；（4）17秒
【分析】
（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC的长；
（2）由（1）可得BC的长，又由AB＝3cm，可以计算出△ABP的面积，即可得到a的值；
（3）分析图形可得，甲中的图形面积等于AB×AF﹣CD×DE，根据图象求出CD，DE，AF的长，代入数据计算可得答案；
（4）计算BC+CD+DE+EF+FA的长度，又由P的速度，计算可得b的值．
解：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝1cm/秒×4秒＝4cm；
故图甲中的BC长是4cm．
（2）由（1）可得，BC＝4cm，则：a＝×BC×AB＝6cm2；
图乙中的a是6cm2．
（3）由图可得：CD＝2×1＝2cm，DE＝1×3＝3cm，
则AF＝BC+DE＝7cm，又由AB＝3cm，
则甲图的面积为AB×AF﹣CD×DE＝3×7﹣2×3＝15cm2，
图甲中的图形面积为15cm2．
（4）根据题意，动点P共运动了BC+CD+DE+EF+FA＝4+2+3+1+7＝17cm，
其速度是1cm/秒，则b＝＝17秒，
图乙中的b是17秒．
【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，能够从图象中获取信息是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图①所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知BC=8cm
（1）由图②，E点运动的时间为______s，速度为______cm/s
（2）求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
（3）当E点停止后，求△ABE的面积．

【答案】（1）2，3；（2）y=9x（0＜x≤2）；（3）△ABE的面积为18cm2．
【分析】
（1）根据图象解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
解：（1）根据题意和图象，可得E点运动的时间为2s，速度为3cm/s．
故答案为：2；3；
（2）根据题意得y=×BE×AD==9x，
即y=9x（0＜x≤2）；
（3）当x=2时，y=9×2=18．
故△ABE的面积为18cm2．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键．
【变式2】李老师骑自行车到离家10千米的学校上班，6：00出发，最初以某一速度匀速行进，走了一半在6：20由于自行车发生故障，停下修车耽误了8分钟，为了能按时（6：45）到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．请你画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（分钟）的函数图象的示意图．
【答案】答案见解析
【解析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论.
解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，由于停下修车误了8分钟，此时时间在增多，而路程没有变化．后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡，故图象为：

类型九、函数的三种表达方式
9．已知自变量与因变量之间的关系如下表：






…






…
（1）请直接写出与的关系式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）3.9
【分析】
（1）每增加1，增加2，则可能为一次函数关系，设，利用点，可确定，然后判断其它对应值是否满足此关系式，如果满足，则可确定与的关系为；
（2）计算自变量为2.2所对应的函数值即可．
解：（1）设，
把，代入得，解得，
所以，
当时，；
当时，；
当时，；
所以与的关系为；
故答案为；
（2）当时，．
【点拨】本题考查了函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法．解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，解题的关键是根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然．
举一反三：
【变式1】的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为，它的面积为．
（1）写出变量与之间的关系式，在这个关系式中，哪个是自变量？
（2）在下面的表格中填上当从变到时（每次增加），的相应值：




















（3）根据表格中的数据，请你猜想一下：怎样围才能使得到的长方形的面积最大？最大是多少？
（4）请你估计一下，当围成的长方形的面积是时，的值应在哪两个相邻整数之间？
【答案】（1），是自变量；（2）见解析；（3）为时，的值最大，最大值为；（4）和之间或和之间
【分析】
（1）根据周长的等量关系可得长方形的另一边为10-x，那么面积=x（10-x），自变量是x，取值范围是0＜x＜10；
（2）把相关x的值代入（1）中的函数解析式求值即可；
（3）根据表格可得x为5时，y的值最大；
（4）观察表格21＜y＜24时，对应的x的取值范围即为所求．
解：（1）．
是自变量，．
（2）当从变到时（每次增加），的相应值列表如下：




















（3）当长方形的长与宽相等，即为时，的值最大，最大值为．
（4）由表格可知，当围成的长方形的面积是时，的值应在和之间或和之间．
【点拨】本题考查了变量与函数，函数的表示方法，求函数值等知识．用到的知识点为：长方形的长与宽的和等于周长的一半；长方形的面积等于长×宽．
【变式2】某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？简述你得出结论的理由．
【答案】（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；（2）当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；（3）4000元，见解析
【分析】
（1）根据函数的定义即可求解；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，即可求解；
（3）由表中的数据推理即可求解．
解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，利润为0元，
故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是（4000－2000）÷500×1000＝4000(元)．
【点拨】本题考查函数的表示方法及常量与变量，函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．本题考查的是函数表达的列表法，需要结合表格中的信息，找出相关的规律进行解题．
类型十、用表格法表示函数关系
10．果实成熟从树上落到地面，它下落的高度与经过的时间有如下的关系：
时间t/秒
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
…
高度h/米





…
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？
（2）请你按照表中呈现的规律，列出果子下落的高度（米）与时间（秒）之间的关系式；
（3）现有一颗果子经过2秒后离地面一米，请计算这颗果子开始下落时离地面的高度是多少米？
【答案】（1）下落的角度h与经过的时间t之间的关系，自变量：经过的时间t，因变量：下落的高度h；（2）；（3）这颗果子开始下落时离地面高度为20.6m．
【分析】
（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；
（2）根据表格中数据发现规律，即可得到果子落下的度(米)与时间(秒)之间的关系式；
（3）根据一颗果子经过2秒后离地面一米计算即可求解．
解：（1）下落的高度h与经过的时间t之间的关系
自变量：经过的时间t
因变量：下落的高度h
（2）根据表格中数据可得到果子落下的度(米)与时间(秒)之间的关系式为；
（3）果子开始下落时离地面高度为m
答：果子开始下落时离地面高度为20.6m.
【点拨】本题考查了函数的图表示方法，考查了学生的探究能力，要求学生有较强的分析数据和描述数据的能力及从图象得出规律的能力．能够正确找到h和t的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间关系如表：
印刷数量（张）
…
100
200
300
400
…
收费（元）
…
15
30
45
60
…
（1）表格体现了哪两个变量之间的关系?
（2）直接写出收费（元）与印刷数量（张）之间关系式；
（3）若收费为300元，求印刷宣传单的数量．
【答案】（1）上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；（2）；（3）花费300元时，印了2000张宣传单．
【分析】
（1）根据表格数据即可得到反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；
（2）由表可知印刷数量每增加100张，收费增加15元，由此求解即可；
（3）根据（2）可以知道，由此求解即可.
解：（1）上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；
（2）由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，
所以每张的价格是0.15元．
所以收费（元）与印刷数量（张）之间的关系式为
（3）由（2）知，
所以，
解得
所以花费300元时，印了2000张宣传单．
【点拨】本题主要考查了用表格表示两个变量的关系，解题的关键在于能够准确根据表格找到对应的关系.
【变式2】．某校一课外小组准备进行“西乡县半程马拉松”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y（元）与印刷数x（张）之间的关系如表：
印刷数量x（张）
…
50
100
200
300
…
收费y（元）
…
7.5
15
30
45
…
（1）上表反映了 　 　和 　 　之间的关系，自变量是 　 　，因变量是 　 　；
（2）从上表可知：收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而 　 　；
（3）若要印制10000张宣传单，收费 　 　元．
【答案】（1）印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；（2）增加；（3）1500．
【分析】
（1）由表格中数据变化可得答案；
（2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案；
（3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出10000张印刷收费即可．
解：（1）根据表格中的数据变化可得：
上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费，
故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；
（2）增加；
（3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为7.5÷50＝0.15（元），
所以印刷10000张的费用为：0.15×10000＝1500（元），
故答案为：1500．
【点拨】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键．
类型十一、用关系法表示函数关系
11．长方形的长为x，宽为8，周长为y，则y与的关系式为__________．(不必写出自变量的取值范围)
【答案】y=2x＋16
【分析】根据周长公式计算即可得出答案．
解：由周长公式可得：
故答案为．
【点拨】本题考查了由实际问题列函数关系式，掌握长方形的周长公式是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】科学家研究发现声音在空气中传播的速度y（米/秒）与气温x（℃）有关：当气温是0℃时，音速是330米/秒；当气温是5℃时，音速是333米秒；当气温是10℃时，音速是336米/秒；当气温是15℃时，音速是339米/秒；当气温是20℃时，音速是342米/秒；当气温是25℃时，音速是345米/秒；当气温是30℃时，音速是348米/秒．
（1）请用表格表示气温与音速之间的关系；
（2）表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（3）当气温是35℃时，估计音速y可能是多少？
（4）用一个式子来表示两个变量之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）表格中反应的是音速y（米/秒）和气温x（℃）两个变量，其中气温x（℃）是自变量，音速y（米/秒）是因变量；（3）当气温是35℃时，音速y可能是351米/秒；（4）两个变量之间的关系可以表示为y=0.6x+330
【分析】
（1）根据题目中两个变量的对应值用表格表示即可；
（2）根据两个变量的变化关系，得出自变量、因变量；
（3）根据表格中两个变量的变化规律得出结果；
（4）根据表格中两个变量的变化规律得出函数关系式．
解：（1）用表格表示气温与音速之间的关系如下：

（2）表格中反应的是音速y（米/秒）和气温x（℃）两个变量，
其中气温x（℃）是自变量，音速y（米/秒）是因变量；
（3）根据表格中音速y（米/秒）随着气温x（℃）的变化规律可知，
当气温再增加5℃，音速就相应增加3米/秒，即为348+3=351（米/秒），
答：当气温是35℃时，音速y可能是351米/秒；
（4）根据表格中两个变量的变化规律可得，
y=330+3×=330+0.6x，
也就是y=0.6x+330，
答：两个变量之间的关系可以表示为y=0.6x+330．
【点拨】本题考查了变量与常量以及函数表示方法，理解两个变量的变化规律是得出函数关系式的关键．
【变式2】一辆汽车油箱内有油50L，从某地出发，每行1km耗油0.5L，如果设剩油量为y（L），行驶路程x（km），根据以上信息回答下列问题：
（1）自变量和因变量分别是什么？
（2）写出y与x之间的关系式；
（3）这辆汽车行驶40km时，剩油多少升？
（4）汽车剩油15L时，行驶了多少千米？
【答案】（1）自变量为行驶的路程；因变量为油箱剩油量；（2）y=﹣0.5x+50（0≤x≤100）；（3）30升；（4）70千米．
【分析】
（1）根据自变量、因变量的定义即可得出结论；
（2）根据“剩油量=原有油量-每千米耗油量×路程”即可得出y关于x的关系式，令y=0，可求出自变量x的最大值；
（3）将x=40代入（2）中的函数关系式中，求出y值即可；
（4）将y=15代入（2）中的函数关系式中，求出x值即可．
解：（1）自变量为行驶的路程；因变量为油箱剩油量．
（2）由已知得：y=50﹣0.5x，
令y=0，则有50﹣0.5x＝0，解得：x=100．
故y与x之间的关系式为y=﹣0.5x+50（0≤x≤100）．
（3）将x=40代入到y=﹣0.5x+50中得：y=﹣0.5×40+50=30．
故这辆汽车行驶40km时，剩油30升．
（4）将y=15代入到y=﹣0.5x+50中得：15=﹣0.5x+50，
解得：x=70．
故汽车剩油15L时，行驶了70千米．
【点拨】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识，比较简单，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答．
类型十二、用图象法表示函数关系
12．一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：

（1）开始时，汽车的油量______升；
（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【答案】（1）42；（2）5 ， 24 ，；（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【分析】
（1）直接由图象中的数据得出即可；
（2）由加油前汽车每小时的耗油量，即可得出关系式；
（3）先求出加油后3小时的耗油量即可求得剩余量．
解：（1）由图象可知，开始时，汽车的油量42升，
故答案为：42；
（2）由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升，
∵加油前汽车每小时的耗油6升，
∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t，
故答案为：5 ，24 ， ；
（3）由题意，加油后汽车每小时的耗油6升，
∴加油后剩余油量Q=（升），
故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【点拨】本题考查用图象表示变量间的关系、有理数的混合运算，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键．
举一反三：
【变式1】星期天到外婆家去，他记录了汽车行驶的速度随时间的变化情况，到了外婆家画出如图所示的图象

（1）汽车共行驶了多长时间？它的最大速度为多少？
（2）汽车在哪段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后40分钟到50分钟之间可能发生了什么情况.
【答案】（1）汽车行驶了50分钟，最大速度为60km/h；（2）在10－15分钟、20－30分钟保持匀速行驶，速度分别为40km/h和60km/h；（3）可能发生的情况：汽车加油．（合理即可，答案不唯一）
【分析】
（1）用横轴上的总时间减去汽车速度为0时的时间段即为汽车行驶的时间，图象中点的坐标的最大值即为其最大速度；
（2）匀速时汽车速度不变，据此解答即可；
（3）这段时间速度为0，说明汽车没有在行驶，说出一种可能的情况即可．
解：（1）汽车行驶了60－10＝50分钟，最大速度为60km/h；
（2）在10－15分钟、20－30分钟保持匀速行驶，速度分别为40km/h和60km/h；
（3）可能发生的情况：汽车加油．（合理即可，答案不唯一）
【点拨】本题考查了函数的图象，属于常考题型，正确理解图象中点的横纵坐标表示的意义、读懂图象提供的信息是解题关键．
【变式2】小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象(如图)，该图描绘了小明行的路程s与他所用的时间t之间的关系．
请根据图象，解答下列问题：
(1)小明行了多少千米时，自行车出现故障?修车用了几分钟?
(2)小明共用了多少时间到学校的?
(3)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟?(结果精确到0.1)

【答案】（1）3千米；5分钟；（2）30分钟；（3）他比实际情况早到3.3分钟．
【分析】
（1）根据自行车出现故障后路程s不变解答；修车的时间等于路程不变的时间；
（2）路程等于8千米时对应的横轴的时间即为用的时间；
（3）先求出修车前的速度，再求出未出故障需用的时间，然后与实际情况的时间比较即可进行判断．
解：（1）由图可知，小明行了3千米时，自行车出现故障，
修车用了15﹣10＝5（分钟）；
（2）由图象可知：小明共用了30分钟到学校；
（3）修车前速度是：3÷10＝千米/分，
若自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶需用时：（分钟），
（分钟）；
答：他比实际情况早到3.3分钟．
【点拨】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是正确理解题意、从图象获取必须的信息．