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专题5.4 平面直角坐标系（知识讲解2）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题5.4 平面直角坐标系（知识讲解2）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共187页。试卷主要包含了实际问题中用坐标表示位置，用方位角和距离表标物体位置，根据方位的描述表示物体位置，矩形在坐标系中的坐标，坐标的平移，平移方式确定点的坐标，由平移后的坐标，求原坐标等内容，欢迎下载使用。
专题5.4 平面直角坐标系（知识讲解2）
类型八、实际问题中用坐标表示位置
8．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点都在网格的格点上．
（1）求正方形的面积和边长；
（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标．
【答案】（1）面积为29，边长为；（2），，，，图见解析．
【分析】
（1）面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可．
解：（1）正方形的面积，
正方形边长为；
（2）建立如图平面直角坐标系，
则，，，．
【点拨】本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形是进一步解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图这是一所学校的平面示意图，为了确定各建筑物的位置，
（1）请你以教学楼为坐标原点建立平面直角坐标系．
（2）写出图书馆、综合楼的坐标．
（3）请将教学楼、实验楼、综合楼看作三点，用线段连起来，然后将此三角形向左平移3个单位长度，再画出平移后的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）图书馆的坐标为(﹣1，4)、综合楼的坐标为(4，﹣2)；（3）见解析
【分析】
（1）以教学楼为原点建立直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（3）根据题目要求画出三角形即可．
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，根据平面直角坐标系可得，图书馆的坐标为（﹣1，4）、综合楼的坐标为（4，﹣2）；
（3）根据平面直角坐标系可得，教学楼的坐标为（0，0）、综合楼的坐标为（4，﹣2），实验楼的坐标为（1，-3）
向左平移3个单位长度后，对应点的坐标分别为（-3，0）、（1，﹣2）、（-2，-3）
如图所示，△ABC即为所求．
【点拨】此题主要考查了平面直角坐标系的基本知识，涉及了直角坐标系的建立、求点的坐标、点坐标平移等，熟练掌握基本知识是解题的关键．
【变式2】如图所示是某城市几个景点的示意图（图中小方块是边长为1个单位长度的小正方形）．请以光岳楼为原点，它的正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，并用坐标表示其余景点的位置．
【答案】图见解析，湖心岛的坐标为，山峡会馆的坐标为，动物园的坐标为，金凤广场的坐标为
【分析】
根据题意以光岳楼为原点，它的正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，再写出其他各点的坐标．
解：如图所示，
湖心岛的坐标为，山峡会馆的坐标为，动物园的坐标为，金凤广场的坐标为．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系的定义，根据平面直角坐标系写出点的坐标，数形结合是解题的关键．
【变式3】如图所示的是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是（﹣1，2），实验室的位置是（2，3）．
（1）根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂、宿舍楼和大门的位置．
（2）已知办公楼的位置是（﹣2，1），教学楼的位置是（3，1），在（1）中所画的图中标出办公楼和教学楼的位置．
【答案】（1）平面直角坐标系见解析，食堂（-4，4）、宿舍楼的位置（-5，1）、大门的位置（1，-1）；（2）见解析
【分析】
（1）直接利用旗杆的位置是（﹣1，2），得出原点的位置进而得出答案；
（2）利用（1）中原点位置，根据坐标的特点即可得出答案．
解：（1）平面直角坐标系如图所示：
食堂（-4，4）、宿舍楼的位置（-5，1）、大门的位置（1，-1）；
（2）如图所示：办公楼和教学楼的位置即为所求．
【点拨】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
类型九、用方位角和距离表标物体位置
9．如图，表示的是图书馆保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系；
（1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置；
（2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置.
【答案】（1）保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆；中国银行在图书馆东偏北方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆西偏北方向上，且距离图书馆；（2）见解析
【分析】
（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案；
（2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案．
解：（1）保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆；中国银行在图书馆东偏北方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆西偏北方向上，且距离图书馆．
（2）如图所示：
【点拨】本题考查的知识点是用坐标确定位置，掌握方位角的概念是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】如果规定北偏东30°的方向记作30°，从O点出发沿这个方向走50米记作50，图中点A记作(30°，50)；北偏西45°的方向记作－45°，从O点出发沿着该方向的反方向走20米记作－20，图中点B记作(－45°，－20)．
(1)(－75°，－15)，(10°，－25)分别表示什么意义？
(2)在图中标出点(60°，－30)和(－30°，40)．
【答案】（1）(－75°，－15)表示南偏东75°距O点15米处，(10°，－25)表示南偏西10°距O点25米处；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
分析题目根据条件读懂题干中的题意，得到（-75°，-15）和（10°，-25）所表示的意义；
然后得到（60°，-30）和（-30°，40）表示的意义，接下来画出图象即可得解.
解：(1)(－75°，－15)表示沿北偏西75°的反方向走15米，即南偏东75°距O点15米处，(10°，－25)表示沿北偏东10°的反方向走25米，即南偏西10°距O点25米处；
(2) 由题意得，点(60°，－30) 表示沿北偏东60°的反方向走30米，即南偏西60°距O点30米处；点(－30°，40) 表示沿北偏西30°的方向走40米.
如图．
故答案为：（1）(－75°，－15)表示南偏东75°距O点15米处，(10°，－25)表示南偏西10°距O点25米处；（2）详见解析.
【点拨】本题考查坐标系中的方向与位置，解题关键要掌握所给的新定义.
【变式2】如图所示的是小明家周边的简单地图，已知，，，点C为OP的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园相对于小明家的位置．
【答案】商场位于小明家的北偏西30°，距离处；学校位于小明家的北偏东45°，距离处；停车场位于小明家的南偏东60°，距离处；公园位于小明家的南偏东60°，距离处．
【分析】
根据中点的定义，求出OC的长，再根据方向角和距离逐一描述即可．
解：∵，，，点C为OP的中点，
∴OC=
由图可知：商场位于小明家的北偏西90°－60°=30°，距离处；
学校位于小明家的北偏东90°－45°=45°，距离处；
停车场位于小明家的南偏东90°－30°=60°，距离处；
公园位于小明家的南偏东90°－30°=60°，距离处．
答：商场位于小明家的北偏西30°，距离处；学校位于小明家的北偏东45°，距离处；停车场位于小明家的南偏东60°，距离处；公园位于小明家的南偏东60°，距离处．
【点拨】此题考查的是利用方向角和距离描述点的位置，结合图形，找出相对位置是解题关键．
【变式3】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为C6,120°，F5,210°.
（1）按照此方法表示目标A，B，D，E的位置.A：________；B：________；D：________；E：________.
（2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米，写出目标A，B，D，E的实际位置；
（3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在南偏东20°距观测站900米处，写出G，H的位置表示.
【答案】（1）5,30°，2,90°，4,240°，3,300°；（2）目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500米，目标B的实际位置为正北方向距观测站600米，目标D的实际位置为南偏西30°距观测站1200米，目标E的实际位置为南偏东30°距观测站900米；（3）G2.5,315°，H3,290°.
【解析】
【分析】
(1)根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可；
(2)求出每一圈表示300米，然后根据方位角写出点A、B、C、D的实际位置即可；
(3)根据方位角的定义以及位置的表示方法，找出点G、H，标出即可.
解：（1）(5,30°) (2,90°) (4,240°) (3,300°)
（2）目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500米，
目标B的实际位置为正北方向距观测站600米，
目标D的实际位置为南偏西30°距观测站1200米，
目标E的实际位置为南偏东30°距观测站900米.
（3）G(2.5,315°)，H(3,290°).
【点拨】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关，也是本題的难点，还考查了方向角的知识.
类型十、根据方位的描述表示物体位置
10一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
（1）画出坐标系确定宝藏的位置；
（2）确定点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）点P的坐标是（500，250）．
【分析】
（1）建立合适的平面直角坐标系，按照所走路径，即可求得P点位置；
（2）根据（1）中的平面直角坐标系，不难求出P点的坐标．
解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．
（1）如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．
（2）通过图像观察出点P到x、y轴的距离分别为250,500
因此P点坐标是(500，250) ．
【点拨】此题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系的画法以及点坐标的求法是解题的关键．
【变式1】小明的生日快要到了，小军决定送给他一件小礼物，他告诉小明，他已将礼物藏在学校体育场内．具体地点忘了，只知道坐标是（6，6），还知道体育场内的两个标志点的坐标分别是A（﹣2，﹣3）和B（2，﹣3），小明怎样才能找到小军送他的礼物？
【答案】从B点出发，沿AB方向走4个单位，然后左转后走9个单位即可找到礼物.
【解析】
【分析】
先根据点A、B的坐标画出直角坐标系，然后根据直角坐标系由点B到点C的方法决定寻找的方向和路径
解：根据题意画出直角坐标系，C点坐标为（6，6），
所以从B点出发，沿AB方向走4个单位，然后左转后走9个单位即可找到小军送他的礼物
【点拨】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置可由点的坐标确定，点与有序实数对一一对应．
【变式2】（1）用数对表示出下面地点的位置．
学校：（ ， ）；公园：（ ， ）
（2）小明家在学校以西100米，再往北200米处；小红家在学校以东300米处．在图中1分别标出他们两家的位置．
【答案】（1）；（2）坐标位置见解析．
【分析】
（1）由图中表格，即可得到答案；
（2）根据题意，在图中表示出位置即可．
解：（1）根据题意，
学校的坐标为：（3，3）；
公园的位置为：（5，1）；
（2）如图所示：
【点拨】本题考查了坐标表示位置，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系，正确表示点的坐标．
【变式3】如图所示，李师傅开着汽车在公路上行驶到A处时，高塔B在A的北偏东60方向上，李师傅以每分钟125米的速度向东行驶，到达C处时，高塔B在C的北偏东30方向上，到达D处时，高塔B在D的北偏西30方向上，当汽车到达D处时恰与高塔B相距500米．
(1)判断△BCD的形状：
(2)求汽车从A处到达D处所需要的时间：(3)若汽车从A处向东行驶6分钟到达E处，请你直接写出此时高塔B在E的什么方向上？
【答案】(1)△BCD是等边三角形(2)汽车从A处到达D处所需要的时间为8分钟(3)高塔B在E的正北方向上
【解析】
试题分析：（1）根据题意得出∠BCD=∠BDC=60°，即可得出△BCD的形状；
（2）根据三角形外角的性质以及等边三角形的性质得出AD的长，进而求出答案；
（3）根据题意求出AE的长，再利用等腰三角形的性质得出B，E的位置关系．
试题解析：解：（1）由题意可得：
∠4=∠5=30°，则∠BCD=∠BDC=60°，故△BCD是等边三角形；
（2）∵△BCD是等边三角形，BD=500m，∴BC=CD=500m，∵∠2=90°﹣∠1=30°，∠BCD=60°，∴∠3=30°，∴AC=BC=500m，∴AD=1000m，∴1000÷125=8（分钟），答：汽车从A处到达D处所需要8分钟；
（3）∵汽车从A处向东行驶6分钟到达E处，∴AE=125×6=750（m），则CE=250m，故E为CD的中点，则BE⊥CD，即高塔B在E的正北方向．
点睛：此题主要考查了方向角的应用以及等边三角形的判定与性质等知识，得出各角的度数是解题关键．
类型十一、矩形在坐标系中的坐标
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题：
（1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标；
（2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标；
（3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标；
（4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明）
【答案】（1）图见解析，B(3，-2)；（2）图见解析，(-3，2)；（3）图见解析，(-3，-2)；（4）四边形ABCD是矩形．
【分析】
（1）（2）（3）根据题意作图；（4）根据有一个直角的平行四边形是矩形解题．
解：(1) 如图，B(3，-2) ；
(2)如图，D(-3，2)；
(3)如图，C(-3，-2)；
(4)由图可知：AD=BD，AB=BC
四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是矩形．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、矩形的判定等知识，基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知长方形ABCD的两个顶点A（2，﹣1），C（6，2），点M为y轴上一点，△MAB的面积为6．请解答下列问题：
（1）顶点B的坐标 ；
（2）连接BD，求BD的长；
（3）请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）(6,﹣1)；（2）5；（3）M（0，2）或M（0，﹣4）．
【分析】
（1）根据点B的位置写出坐标即可；
（2）利用勾股定理解答；
（3）设△MAB的高为h，构建方程求出h即可解决问题.
解：（1）（6，﹣1）．
故答案为解：（6，﹣1）；
（2）∵A（2，﹣1），C（6，2），B（6，﹣1），
∴AB＝4，BC＝3，CD＝4，
DB＝＝＝5；
（3）设△MAB的高为h，根据题意得：
AB•h＝6，
∵A（2，﹣1），B（6，﹣1）．
∴AB＝4
∴×h＝6，
∴h＝3
∴M（0，2）或M（0，﹣4）．
【点拨】本题考查矩形的性质、坐标与图形的变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=10．
（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）
（2）求出点E的坐标．
【答案】（1）.作图见解析；（2）（8，6）．
【解析】
试题分析：（1）利用EO=AO，以O为圆心AO为半径画弧得出E即可；
（2）首先过点E作EF⊥OA，垂足为F，得出B点坐标，进而求出FO的长，即可得出E点坐标．
（1）如图所示：E点即为所求；
（2）过点E作EF⊥OA，垂足为F．
∵矩形OABC中OC=6，OA=10，
∴B点坐标为（10，6）．
∴EF=6．
又∵OE=OA，
∴OF=OE2-EF2=8．
∴点E的坐标为（8，6）．
考点：1.作图—复杂作图；2.坐标与图形性质；3.勾股定理；4.矩形的性质.
类型十二、坐标的平移
12．如图，在直角坐标系中，，，.
（1）求的面积；
（2）若把向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，并写出的坐标.
【答案】（1）；（2）作图见解析，点的坐标为：．
【分析】
（1）根据三角形面积求法得出即可；
（2）根据已知将△ABC各顶点向下平移2个单位，向右平移5个单位得到各对应点，即可作图，进而得出点C′的坐标．
【详解】
（1）的面积是：；
（2）作图如下：
点的坐标为：．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形的性质，平移变换以及三角形面积求法，正确平移图象的各顶点坐标是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出三个顶点的坐标；
（2）求出的面积；
（3）在图中画出把先向左平移5个单位，再向上平移2个单位后所得的．
【答案】（1）；（2）；（3）图见解析．
【分析】
（1）根据点在平面直角坐标系中的位置即可得；
（2）利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得；
（3）根据平移作图的方法即可得．
解：（1）由点在平面直角坐标系中的位置：；
（2）的面积为；
（3）如图所示，即为所求．
【点拨】本题考查了点坐标、平移作图，熟练掌握平移作图的方法是解题关键．
【变式2】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点C的坐标是．
（1）将沿x轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点的坐标；
（2）画出关于x轴对称的，并求出的面积．
【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，
【分析】
（1）先将分别沿x轴正方向平移3个单位得到，再顺次连接即可得到，写出的坐标即可；
（2）将三点分别关于x轴对称至，再顺次连接即可得到，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可的得到的面积．
解：（1）如图所示，即为所求，；
（2）如图所示，即为所求，
．
【点拨】本题考查平移作图以及轴对称作图，理解平移和轴对称的基本性质并掌握画法是解题关键．
【变式3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位，得到△A1B1C1，请你在图上画出△A1B1C1，并直接写出B1、C1的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）A（﹣2，4），B（﹣6，2），C（﹣9，7）；（2）见解析，点B1的坐标为（﹣1，﹣2），点C1的坐标为（﹣4，3）；（3）13
【分析】
（1）根据第二象限点的坐标特征写出三个点的坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
解：（1）A（﹣2，4），B（﹣6，2），C（﹣9，7）；
（2）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（﹣1，﹣2），点C1的坐标为（﹣4，3）；
（3）△ABC的面积＝7×5﹣×3×5﹣×4×2﹣×3×7＝13．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，同时要求学生学会利用割补法在平面直角坐标系中计算图形面积．
类型十三、平移方式确定点的坐标
13．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(-2，3)．
（1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△，请在图中作出△，点的坐标为________；
（2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△，点的坐标为________；
【答案】（1）作图见解析；；（2）作图见解析；．
【分析】
（1）利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△为所作，点的坐标为；
故答案为；
（2）如图，△为所作，点的坐标为．
故答案为．
【点拨】本题考查了作图轴对称变换，解题的关键是几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了平移变换．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．
（1）将△ABC向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，画出图形，并写出各顶点坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；A1（1，-2）、B1（4，2）、C1（5，-4）（2）△ABC的面积为11．
【分析】
（1）根据平移的规律得到A1，B1，C1点，再顺次连接即可；根据A1，B1，C1在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（2）根据图形的面积的和差求出△ABC的面积即可．
解：如图所示，
、、；
．
【点拨】本题考查了利用平移变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式2】如图，的顶点坐标分别为：，，，将平移得到，使点的对应点为．
（1）可以看作是由先向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到的；
（2）在图中作出，并写出点、的对应点、的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）6；6；（2）图见解析，，；（3）
【分析】
（1）根据平移的性质，由对应点的坐标即可得到平移的方式；
（2）根据平移的方式，即可画出平移后的图形．
（3）利用间接求面积的方法，即可求出三角形的面积．
解：（1）∵平移后对应点为，
∴可以看作是由先向左平移6个单位，再向下平移6个单位得到的
故答案为：6；6；
（2）作出如图所示．
∴点、的对应点、的坐标分别为：，；
（3）将三角形补成如图所示的正方形，则其面积为：
．
【点拨】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质，正确求出平移的方式，画出平移的图形．
类型十四、已知坐标的平移方式，确定点的坐标
14．如图，已知点、、，把向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到．
（1）直接写出，，三个对应点，，的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）、、；（2）3
【分析】
（1）根据平移方向和平移的距离写出点的坐标即可；
（2）根据轴，直接用三角形面积公式进行计算即可；
解：（1）依题意，把向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到
即将的横坐标加2，纵坐标减3得到：
、、，
即、、；
（2）、、，
．
【点拨】本题考查了平移的性质，坐标与图形，掌握点的平移的规律是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2）．
（1）请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）写出平移的过程；
（3）求出以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积．
【答案】（1）图见详解；；（2）平移过程为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度；（3）以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积为14．
【分析】
（1）根据点P的对应点P1（a+6，b+2）可分别得出A、B、C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后连接即可得出图象；
（2）由（1）可直接进行求解；
（3）由（1）的图象可直接利用割补法进行求解面积．
解：（1）由点P的对应点P1（a+6，b+2）可得如图所示图象：
∴由图象可得；
（2）由图象可得：平移过程为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度；
（3）连接，如图所示：
∵点，
∴点在同一条直线上，且与x轴平行，
∴．
【点拨】本题主要考查平移的性质及坐标与图形，熟练掌握坐标的平移是解题的关键．
【变式2】如图，平面直角坐标系中，三角形经过平移后得到三角形．已知点，，，三角形内的任意一点，经过平移后得到点．
（1）直接写出点，，的坐标．
（2）在图中画出三角形．
（3）连接，，，求三角形的面积．
【答案】（1）A1（3，1），B1（1，-1），C1（4，-2）；（2）见解析；（3）6
【分析】
（1）根据平移坐标的变化规律解决问题即可．
（2）根据坐标确定三角形，画出图形即可．
（3）利用分割法把三角形面积看成长方形面积减三个三角形面积即可．
解：（1）由题意可得：先将△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，
∴A1（3，1），B1（1，-1），C1（4，-2）．
（2）如图，三角形A1B1C1即为所求．
（3）△AOA1的面积=3×6-×3×3-×1×3-×2×6=6．
【点拨】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出△A1B1C1．
【变式3】在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点A'的坐标是（﹣2，2），现将三角形ABC平移，使点A移到点A'的位置，这时点B、C的对应点分别是点B′、C′．
（1）请描述点A到点A'的平移过程；
（2）请画出平移后的三角形A'B'C′（不写画法），直接写出点B'、C'的坐标；
（3）若三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），则经过平移后点P的对应点P'的坐标为 ．
【答案】（1）点A到点A'的平移过程为：向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度；（2）见解析，B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；（3）（a﹣5，b﹣2）
【分析】
（1）直接根据点A移到点A'的位置，即可得到平移的方向和距离；
（2）直接利用平移的方向和距离，即可得出平移后的三角形A'B'C′；
（3）直接利用A点平移后点的坐标变化规律即可得出点P'的坐标．
【详解】
解：（1）点A到点A'的平移过程为：向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度；
（2）如图所示：三角形A'B'C'即为所求，B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；
（3）三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P′的坐标是（a﹣5，b﹣2），
故答案为：（a﹣5，b﹣2）．
【点拨】此题主要考查坐标与图形的平移，解题的关键是熟知坐标平移的特点．
类型十五、已知坐标的平移方式，确定点的坐标
15．已知坐标平面内的三个点A（1，3）、B（3，1）、0（0，0）．
（1）比较A点到x轴的距离与B点到y轴距离的大小；
（2）平移△ABO至△A1B1O1，当点A和点B重合时，求点O1的坐标；
（3）平移△ABO至△A2B2O2，需要至少向下平移超过多少个单位，并且至少向左平移多少个单位才能使△A2B2O2位于第三象限．
【答案】（1）点到轴的距离等于点到轴距离；（2）；（3）需要至少向下平移超过3单位，并且至少向左平移3个单位
【分析】
（1）根据A、B的坐标分别求出A点到轴的距离和点到轴距离，然后比较大小即可；
（2）点和点B重合时,找到点的平移规律，利用点的坐标平移规律写出点的坐标，然后描点得到即可得到的坐标；
（3）观察图象，即可找到需要至少向下平移超过多少个单位，并目至少向左平移多少个单位，才能位于第三象限.
解：（1）∵（1，3），
∴A点到轴的距离为3
∵（3，1），
∴点到轴距离为3
∴A点到轴的距离等于点到轴距离；
（2）点和点重合时，需将向右移2个单位，向下移2个单位，
∴点的对应点的坐标是（2，-2）
（3）平移△ABO至△A2B2O2，需要至少向下平移超过3单位，并且至少向左平移3个单位，才能△A2B2O2使位于第三象限．
【点拨】本题主要考查点的意义与图形的变换-平移，注意：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值．
举一反三：
【变式1】如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，1），将向右平移3个单位再向下平移2个单位得到，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1．
（1）画出；
（2）直接写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A1（2，2），B1（1，﹣1），C1（﹣1，﹣1）；（3）3．
【分析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，画出图形即可；
（2）利用（1）中图形，利用平移的性质得出对应点坐标；
（3）利用三角形面积公式可得出答案．
解：（1）如图所示：，即为所求；
（2）由平移的性质结合图形可得：A1（2，2），B1（1，﹣1），C1（﹣1，﹣1）；
（3）的面积为：×2×3＝3．
【点拨】本题考查的是平移的性质，图形与坐标，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】已知点和点，将线段平移至，点于点对应，若点的坐标为．
(1) 是怎样平移的； (2)求点的坐标．
【答案】（1）先向右平移2个单位，再向下平移3个单位；（2）
【分析】
（1）点的平移遵从“左减右加，下减上加”原则，由此可得AB的平移方法；
（2）根据（1）中AB的平移方法，按步平移可得B′的坐标．
解：（1）点的平移遵从“左减右加，下减上加”原则
，平移后所对应的，平移方法为：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）点，按照（1）的方法进行平移后得：先向右平移2个单位得，再向下平移3个单位得；
所以的坐标为．
【点拨】本题考查了点在坐标系中的平移，熟知点的平移规则是解题的关键．
【变式3】在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标 ；
（2）作出向右平移6个单位后的，并写出点的坐标 ；
（3）作出和的对称轴，并写出与轴的交点坐标 ．
【答案】(1)图象详见解析;(2,2);(2) 图象详见解析;(6,4);(3)图象详见解析;(3,0)
【分析】(1)（2）（3）根据题意画图,直接写出坐标即可．
解：(1)如图所示,△A1B1C1即为所求三角形,B1坐标为(2,2)．
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求三角形,A2坐标为(6,4)．
(3)如图所示,l即为所求对称轴,与x轴的交点坐标为(3,0)．
【点拨】本题考查作图-对称轴、平移,关键在于牢记基础作图方法．
类型十六、由平移后的坐标，求原坐标
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）作出向左平移个单位的，并写出点的坐标．
（2）作出关于轴对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，（-3，5）；（2）见解析，（4，-1）
【分析】
(1)根据题意画出图象即可,从图象即可得出A1的坐标．
(2)根据题意画出图象即可,从图象即可得出C2的坐标．
【详解】
(1)△A1B1C1即为所求三角形,A1坐标为:(－3,5)．
(2)△A2B2C2即为所求三角形,C2坐标为:(4,－1)．
【点拨】本题考查作图-平移和轴对称图形,关键在于熟悉作图的基础知识．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是_______．
【答案】（3，-1）
【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可．
解：∵点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（-2，2）重合，
∴x-5=-2，y+3=2，
解得x=3，y=-1，
所以，点A的坐标是（3，-1）．
故答案为：（3，-1）．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式2】一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向左爬3个单位长度后，到达，则它最开始所在位置的坐标是________．
【答案】
【分析】先将最开始的位置设出来，根据平移规律建立方程，解方程即可．
解：设它最开始所在位置的坐标为，
由题意，得
它最开始所在位置的坐标力．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．
【变式3】将点P(x，4)向右平移3个单位得到点(5，4)，则P点的坐标是_______．
【答案】（2,4）
【解析】∵将点向右平移3个单位长度，
∴得到的点的坐标是,
解得：
故答案为
专题5.4 平面直角坐标系（知识讲解2）
类型八、实际问题中用坐标表示位置
8．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点都在网格的格点上．
（1）求正方形的面积和边长；
（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标．
【答案】（1）面积为29，边长为；（2），，，，图见解析．
【分析】
（1）面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求得边长即可；
（2）建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可．
解：（1）正方形的面积，
正方形边长为；
（2）建立如图平面直角坐标系，
则，，，．
【点拨】本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形是进一步解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图这是一所学校的平面示意图，为了确定各建筑物的位置，
（1）请你以教学楼为坐标原点建立平面直角坐标系．
（2）写出图书馆、综合楼的坐标．
（3）请将教学楼、实验楼、综合楼看作三点，用线段连起来，然后将此三角形向左平移3个单位长度，再画出平移后的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）图书馆的坐标为(﹣1，4)、综合楼的坐标为(4，﹣2)；（3）见解析
【分析】
（1）以教学楼为原点建立直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（3）根据题目要求画出三角形即可．
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，根据平面直角坐标系可得，图书馆的坐标为（﹣1，4）、综合楼的坐标为（4，﹣2）；
（3）根据平面直角坐标系可得，教学楼的坐标为（0，0）、综合楼的坐标为（4，﹣2），实验楼的坐标为（1，-3）
向左平移3个单位长度后，对应点的坐标分别为（-3，0）、（1，﹣2）、（-2，-3）
如图所示，△ABC即为所求．
【点拨】此题主要考查了平面直角坐标系的基本知识，涉及了直角坐标系的建立、求点的坐标、点坐标平移等，熟练掌握基本知识是解题的关键．
【变式2】如图所示是某城市几个景点的示意图（图中小方块是边长为1个单位长度的小正方形）．请以光岳楼为原点，它的正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，并用坐标表示其余景点的位置．
【答案】图见解析，湖心岛的坐标为，山峡会馆的坐标为，动物园的坐标为，金凤广场的坐标为
【分析】
根据题意以光岳楼为原点，它的正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，再写出其他各点的坐标．
解：如图所示，
湖心岛的坐标为，山峡会馆的坐标为，动物园的坐标为，金凤广场的坐标为．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系的定义，根据平面直角坐标系写出点的坐标，数形结合是解题的关键．
【变式3】如图所示的是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是（﹣1，2），实验室的位置是（2，3）．
（1）根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂、宿舍楼和大门的位置．
（2）已知办公楼的位置是（﹣2，1），教学楼的位置是（3，1），在（1）中所画的图中标出办公楼和教学楼的位置．
【答案】（1）平面直角坐标系见解析，食堂（-4，4）、宿舍楼的位置（-5，1）、大门的位置（1，-1）；（2）见解析
【分析】
（1）直接利用旗杆的位置是（﹣1，2），得出原点的位置进而得出答案；
（2）利用（1）中原点位置，根据坐标的特点即可得出答案．
解：（1）平面直角坐标系如图所示：
食堂（-4，4）、宿舍楼的位置（-5，1）、大门的位置（1，-1）；
（2）如图所示：办公楼和教学楼的位置即为所求．
【点拨】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
类型九、用方位角和距离表标物体位置
9．如图，表示的是图书馆保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系；
（1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置；
（2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置.
【答案】（1）保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆；中国银行在图书馆东偏北方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆西偏北方向上，且距离图书馆；（2）见解析
【分析】
（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案；
（2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案．
解：（1）保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆；中国银行在图书馆东偏北方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆西偏北方向上，且距离图书馆．
（2）如图所示：
【点拨】本题考查的知识点是用坐标确定位置，掌握方位角的概念是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】如果规定北偏东30°的方向记作30°，从O点出发沿这个方向走50米记作50，图中点A记作(30°，50)；北偏西45°的方向记作－45°，从O点出发沿着该方向的反方向走20米记作－20，图中点B记作(－45°，－20)．
(1)(－75°，－15)，(10°，－25)分别表示什么意义？
(2)在图中标出点(60°，－30)和(－30°，40)．
【答案】（1）(－75°，－15)表示南偏东75°距O点15米处，(10°，－25)表示南偏西10°距O点25米处；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
分析题目根据条件读懂题干中的题意，得到（-75°，-15）和（10°，-25）所表示的意义；
然后得到（60°，-30）和（-30°，40）表示的意义，接下来画出图象即可得解.
解：(1)(－75°，－15)表示沿北偏西75°的反方向走15米，即南偏东75°距O点15米处，(10°，－25)表示沿北偏东10°的反方向走25米，即南偏西10°距O点25米处；
(2) 由题意得，点(60°，－30) 表示沿北偏东60°的反方向走30米，即南偏西60°距O点30米处；点(－30°，40) 表示沿北偏西30°的方向走40米.
如图．
故答案为：（1）(－75°，－15)表示南偏东75°距O点15米处，(10°，－25)表示南偏西10°距O点25米处；（2）详见解析.
【点拨】本题考查坐标系中的方向与位置，解题关键要掌握所给的新定义.
【变式2】如图所示的是小明家周边的简单地图，已知，，，点C为OP的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园相对于小明家的位置．
【答案】商场位于小明家的北偏西30°，距离处；学校位于小明家的北偏东45°，距离处；停车场位于小明家的南偏东60°，距离处；公园位于小明家的南偏东60°，距离处．
【分析】
根据中点的定义，求出OC的长，再根据方向角和距离逐一描述即可．
解：∵，，，点C为OP的中点，
∴OC=
由图可知：商场位于小明家的北偏西90°－60°=30°，距离处；
学校位于小明家的北偏东90°－45°=45°，距离处；
停车场位于小明家的南偏东90°－30°=60°，距离处；
公园位于小明家的南偏东90°－30°=60°，距离处．
答：商场位于小明家的北偏西30°，距离处；学校位于小明家的北偏东45°，距离处；停车场位于小明家的南偏东60°，距离处；公园位于小明家的南偏东60°，距离处．
【点拨】此题考查的是利用方向角和距离描述点的位置，结合图形，找出相对位置是解题关键．
【变式3】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为C6,120°，F5,210°.
（1）按照此方法表示目标A，B，D，E的位置.A：________；B：________；D：________；E：________.
（2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米，写出目标A，B，D，E的实际位置；
（3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在南偏东20°距观测站900米处，写出G，H的位置表示.
【答案】（1）5,30°，2,90°，4,240°，3,300°；（2）目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500米，目标B的实际位置为正北方向距观测站600米，目标D的实际位置为南偏西30°距观测站1200米，目标E的实际位置为南偏东30°距观测站900米；（3）G2.5,315°，H3,290°.
【解析】
【分析】
(1)根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可；
(2)求出每一圈表示300米，然后根据方位角写出点A、B、C、D的实际位置即可；
(3)根据方位角的定义以及位置的表示方法，找出点G、H，标出即可.
解：（1）(5,30°) (2,90°) (4,240°) (3,300°)
（2）目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500米，
目标B的实际位置为正北方向距观测站600米，
目标D的实际位置为南偏西30°距观测站1200米，
目标E的实际位置为南偏东30°距观测站900米.
（3）G(2.5,315°)，H(3,290°).
【点拨】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关，也是本題的难点，还考查了方向角的知识.
类型十、根据方位的描述表示物体位置
10一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
（1）画出坐标系确定宝藏的位置；
（2）确定点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）点P的坐标是（500，250）．
【分析】
（1）建立合适的平面直角坐标系，按照所走路径，即可求得P点位置；
（2）根据（1）中的平面直角坐标系，不难求出P点的坐标．
解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．
（1）如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．
（2）通过图像观察出点P到x、y轴的距离分别为250,500
因此P点坐标是(500，250) ．
【点拨】此题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系的画法以及点坐标的求法是解题的关键．
【变式1】小明的生日快要到了，小军决定送给他一件小礼物，他告诉小明，他已将礼物藏在学校体育场内．具体地点忘了，只知道坐标是（6，6），还知道体育场内的两个标志点的坐标分别是A（﹣2，﹣3）和B（2，﹣3），小明怎样才能找到小军送他的礼物？
【答案】从B点出发，沿AB方向走4个单位，然后左转后走9个单位即可找到礼物.
【解析】
【分析】
先根据点A、B的坐标画出直角坐标系，然后根据直角坐标系由点B到点C的方法决定寻找的方向和路径
解：根据题意画出直角坐标系，C点坐标为（6，6），
所以从B点出发，沿AB方向走4个单位，然后左转后走9个单位即可找到小军送他的礼物
【点拨】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置可由点的坐标确定，点与有序实数对一一对应．
【变式2】（1）用数对表示出下面地点的位置．
学校：（ ， ）；公园：（ ， ）
（2）小明家在学校以西100米，再往北200米处；小红家在学校以东300米处．在图中1分别标出他们两家的位置．
【答案】（1）；（2）坐标位置见解析．
【分析】
（1）由图中表格，即可得到答案；
（2）根据题意，在图中表示出位置即可．
解：（1）根据题意，
学校的坐标为：（3，3）；
公园的位置为：（5，1）；
（2）如图所示：
【点拨】本题考查了坐标表示位置，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系，正确表示点的坐标．
【变式3】如图所示，李师傅开着汽车在公路上行驶到A处时，高塔B在A的北偏东60方向上，李师傅以每分钟125米的速度向东行驶，到达C处时，高塔B在C的北偏东30方向上，到达D处时，高塔B在D的北偏西30方向上，当汽车到达D处时恰与高塔B相距500米．
(1)判断△BCD的形状：
(2)求汽车从A处到达D处所需要的时间：(3)若汽车从A处向东行驶6分钟到达E处，请你直接写出此时高塔B在E的什么方向上？
【答案】(1)△BCD是等边三角形(2)汽车从A处到达D处所需要的时间为8分钟(3)高塔B在E的正北方向上
【解析】
试题分析：（1）根据题意得出∠BCD=∠BDC=60°，即可得出△BCD的形状；
（2）根据三角形外角的性质以及等边三角形的性质得出AD的长，进而求出答案；
（3）根据题意求出AE的长，再利用等腰三角形的性质得出B，E的位置关系．
试题解析：解：（1）由题意可得：
∠4=∠5=30°，则∠BCD=∠BDC=60°，故△BCD是等边三角形；
（2）∵△BCD是等边三角形，BD=500m，∴BC=CD=500m，∵∠2=90°﹣∠1=30°，∠BCD=60°，∴∠3=30°，∴AC=BC=500m，∴AD=1000m，∴1000÷125=8（分钟），答：汽车从A处到达D处所需要8分钟；
（3）∵汽车从A处向东行驶6分钟到达E处，∴AE=125×6=750（m），则CE=250m，故E为CD的中点，则BE⊥CD，即高塔B在E的正北方向．
点睛：此题主要考查了方向角的应用以及等边三角形的判定与性质等知识，得出各角的度数是解题关键．
类型十一、矩形在坐标系中的坐标
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题：
（1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标；
（2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标；
（3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标；
（4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明）
【答案】（1）图见解析，B(3，-2)；（2）图见解析，(-3，2)；（3）图见解析，(-3，-2)；（4）四边形ABCD是矩形．
【分析】
（1）（2）（3）根据题意作图；（4）根据有一个直角的平行四边形是矩形解题．
解：(1) 如图，B(3，-2) ；
(2)如图，D(-3，2)；
(3)如图，C(-3，-2)；
(4)由图可知：AD=BD，AB=BC
四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是矩形．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、矩形的判定等知识，基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知长方形ABCD的两个顶点A（2，﹣1），C（6，2），点M为y轴上一点，△MAB的面积为6．请解答下列问题：
（1）顶点B的坐标 ；
（2）连接BD，求BD的长；
（3）请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）(6,﹣1)；（2）5；（3）M（0，2）或M（0，﹣4）．
【分析】
（1）根据点B的位置写出坐标即可；
（2）利用勾股定理解答；
（3）设△MAB的高为h，构建方程求出h即可解决问题.
解：（1）（6，﹣1）．
故答案为解：（6，﹣1）；
（2）∵A（2，﹣1），C（6，2），B（6，﹣1），
∴AB＝4，BC＝3，CD＝4，
DB＝＝＝5；
（3）设△MAB的高为h，根据题意得：
AB•h＝6，
∵A（2，﹣1），B（6，﹣1）．
∴AB＝4
∴×h＝6，
∴h＝3
∴M（0，2）或M（0，﹣4）．
【点拨】本题考查矩形的性质、坐标与图形的变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=10．
（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）
（2）求出点E的坐标．
【答案】（1）.作图见解析；（2）（8，6）．
【解析】
试题分析：（1）利用EO=AO，以O为圆心AO为半径画弧得出E即可；
（2）首先过点E作EF⊥OA，垂足为F，得出B点坐标，进而求出FO的长，即可得出E点坐标．
（1）如图所示：E点即为所求；
（2）过点E作EF⊥OA，垂足为F．
∵矩形OABC中OC=6，OA=10，
∴B点坐标为（10，6）．
∴EF=6．
又∵OE=OA，
∴OF=OE2-EF2=8．
∴点E的坐标为（8，6）．
考点：1.作图—复杂作图；2.坐标与图形性质；3.勾股定理；4.矩形的性质.
类型十二、坐标的平移
12．如图，在直角坐标系中，，，.
（1）求的面积；
（2）若把向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，并写出的坐标.
【答案】（1）；（2）作图见解析，点的坐标为：．
【分析】
（1）根据三角形面积求法得出即可；
（2）根据已知将△ABC各顶点向下平移2个单位，向右平移5个单位得到各对应点，即可作图，进而得出点C′的坐标．
【详解】
（1）的面积是：；
（2）作图如下：
点的坐标为：．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形的性质，平移变换以及三角形面积求法，正确平移图象的各顶点坐标是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出三个顶点的坐标；
（2）求出的面积；
（3）在图中画出把先向左平移5个单位，再向上平移2个单位后所得的．
【答案】（1）；（2）；（3）图见解析．
【分析】
（1）根据点在平面直角坐标系中的位置即可得；
（2）利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得；
（3）根据平移作图的方法即可得．
解：（1）由点在平面直角坐标系中的位置：；
（2）的面积为；
（3）如图所示，即为所求．
【点拨】本题考查了点坐标、平移作图，熟练掌握平移作图的方法是解题关键．
【变式2】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点C的坐标是．
（1）将沿x轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点的坐标；
（2）画出关于x轴对称的，并求出的面积．
【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，
【分析】
（1）先将分别沿x轴正方向平移3个单位得到，再顺次连接即可得到，写出的坐标即可；
（2）将三点分别关于x轴对称至，再顺次连接即可得到，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可的得到的面积．
解：（1）如图所示，即为所求，；
（2）如图所示，即为所求，
．
【点拨】本题考查平移作图以及轴对称作图，理解平移和轴对称的基本性质并掌握画法是解题关键．
【变式3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位，得到△A1B1C1，请你在图上画出△A1B1C1，并直接写出B1、C1的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）A（﹣2，4），B（﹣6，2），C（﹣9，7）；（2）见解析，点B1的坐标为（﹣1，﹣2），点C1的坐标为（﹣4，3）；（3）13
【分析】
（1）根据第二象限点的坐标特征写出三个点的坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
解：（1）A（﹣2，4），B（﹣6，2），C（﹣9，7）；
（2）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（﹣1，﹣2），点C1的坐标为（﹣4，3）；
（3）△ABC的面积＝7×5﹣×3×5﹣×4×2﹣×3×7＝13．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，同时要求学生学会利用割补法在平面直角坐标系中计算图形面积．
类型十三、平移方式确定点的坐标
13．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(-2，3)．
（1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△，请在图中作出△，点的坐标为________；
（2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△，点的坐标为________；
【答案】（1）作图见解析；；（2）作图见解析；．
【分析】
（1）利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△为所作，点的坐标为；
故答案为；
（2）如图，△为所作，点的坐标为．
故答案为．
【点拨】本题考查了作图轴对称变换，解题的关键是几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了平移变换．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．
（1）将△ABC向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，画出图形，并写出各顶点坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；A1（1，-2）、B1（4，2）、C1（5，-4）（2）△ABC的面积为11．
【分析】
（1）根据平移的规律得到A1，B1，C1点，再顺次连接即可；根据A1，B1，C1在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（2）根据图形的面积的和差求出△ABC的面积即可．
解：如图所示，
、、；
．
【点拨】本题考查了利用平移变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式2】如图，的顶点坐标分别为：，，，将平移得到，使点的对应点为．
（1）可以看作是由先向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到的；
（2）在图中作出，并写出点、的对应点、的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）6；6；（2）图见解析，，；（3）
【分析】
（1）根据平移的性质，由对应点的坐标即可得到平移的方式；
（2）根据平移的方式，即可画出平移后的图形．
（3）利用间接求面积的方法，即可求出三角形的面积．
解：（1）∵平移后对应点为，
∴可以看作是由先向左平移6个单位，再向下平移6个单位得到的
故答案为：6；6；
（2）作出如图所示．
∴点、的对应点、的坐标分别为：，；
（3）将三角形补成如图所示的正方形，则其面积为：
．
【点拨】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质，正确求出平移的方式，画出平移的图形．
类型十四、已知坐标的平移方式，确定点的坐标
14．如图，已知点、、，把向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到．
（1）直接写出，，三个对应点，，的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）、、；（2）3
【分析】
（1）根据平移方向和平移的距离写出点的坐标即可；
（2）根据轴，直接用三角形面积公式进行计算即可；
解：（1）依题意，把向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到
即将的横坐标加2，纵坐标减3得到：
、、，
即、、；
（2）、、，
．
【点拨】本题考查了平移的性质，坐标与图形，掌握点的平移的规律是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2）．
（1）请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）写出平移的过程；
（3）求出以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积．
【答案】（1）图见详解；；（2）平移过程为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度；（3）以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积为14．
【分析】
（1）根据点P的对应点P1（a+6，b+2）可分别得出A、B、C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后连接即可得出图象；
（2）由（1）可直接进行求解；
（3）由（1）的图象可直接利用割补法进行求解面积．
解：（1）由点P的对应点P1（a+6，b+2）可得如图所示图象：
∴由图象可得；
（2）由图象可得：平移过程为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度；
（3）连接，如图所示：
∵点，
∴点在同一条直线上，且与x轴平行，
∴．
【点拨】本题主要考查平移的性质及坐标与图形，熟练掌握坐标的平移是解题的关键．
【变式2】如图，平面直角坐标系中，三角形经过平移后得到三角形．已知点，，，三角形内的任意一点，经过平移后得到点．
（1）直接写出点，，的坐标．
（2）在图中画出三角形．
（3）连接，，，求三角形的面积．
【答案】（1）A1（3，1），B1（1，-1），C1（4，-2）；（2）见解析；（3）6
【分析】
（1）根据平移坐标的变化规律解决问题即可．
（2）根据坐标确定三角形，画出图形即可．
（3）利用分割法把三角形面积看成长方形面积减三个三角形面积即可．
解：（1）由题意可得：先将△ABC向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，
∴A1（3，1），B1（1，-1），C1（4，-2）．
（2）如图，三角形A1B1C1即为所求．
（3）△AOA1的面积=3×6-×3×3-×1×3-×2×6=6．
【点拨】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出△A1B1C1．
【变式3】在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点A'的坐标是（﹣2，2），现将三角形ABC平移，使点A移到点A'的位置，这时点B、C的对应点分别是点B′、C′．
（1）请描述点A到点A'的平移过程；
（2）请画出平移后的三角形A'B'C′（不写画法），直接写出点B'、C'的坐标；
（3）若三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），则经过平移后点P的对应点P'的坐标为 ．
【答案】（1）点A到点A'的平移过程为：向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度；（2）见解析，B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；（3）（a﹣5，b﹣2）
【分析】
（1）直接根据点A移到点A'的位置，即可得到平移的方向和距离；
（2）直接利用平移的方向和距离，即可得出平移后的三角形A'B'C′；
（3）直接利用A点平移后点的坐标变化规律即可得出点P'的坐标．
【详解】
解：（1）点A到点A'的平移过程为：向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度；
（2）如图所示：三角形A'B'C'即为所求，B'（﹣4，1）、C'（﹣1，﹣1）；
（3）三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P′的坐标是（a﹣5，b﹣2），
故答案为：（a﹣5，b﹣2）．
【点拨】此题主要考查坐标与图形的平移，解题的关键是熟知坐标平移的特点．
类型十五、已知坐标的平移方式，确定点的坐标
15．已知坐标平面内的三个点A（1，3）、B（3，1）、0（0，0）．
（1）比较A点到x轴的距离与B点到y轴距离的大小；
（2）平移△ABO至△A1B1O1，当点A和点B重合时，求点O1的坐标；
（3）平移△ABO至△A2B2O2，需要至少向下平移超过多少个单位，并且至少向左平移多少个单位才能使△A2B2O2位于第三象限．
【答案】（1）点到轴的距离等于点到轴距离；（2）；（3）需要至少向下平移超过3单位，并且至少向左平移3个单位
【分析】
（1）根据A、B的坐标分别求出A点到轴的距离和点到轴距离，然后比较大小即可；
（2）点和点B重合时,找到点的平移规律，利用点的坐标平移规律写出点的坐标，然后描点得到即可得到的坐标；
（3）观察图象，即可找到需要至少向下平移超过多少个单位，并目至少向左平移多少个单位，才能位于第三象限.
解：（1）∵（1，3），
∴A点到轴的距离为3
∵（3，1），
∴点到轴距离为3
∴A点到轴的距离等于点到轴距离；
（2）点和点重合时，需将向右移2个单位，向下移2个单位，
∴点的对应点的坐标是（2，-2）
（3）平移△ABO至△A2B2O2，需要至少向下平移超过3单位，并且至少向左平移3个单位，才能△A2B2O2使位于第三象限．
【点拨】本题主要考查点的意义与图形的变换-平移，注意：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值．
举一反三：
【变式1】如图，在直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，1），将向右平移3个单位再向下平移2个单位得到，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1．
（1）画出；
（2）直接写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A1（2，2），B1（1，﹣1），C1（﹣1，﹣1）；（3）3．
【分析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，画出图形即可；
（2）利用（1）中图形，利用平移的性质得出对应点坐标；
（3）利用三角形面积公式可得出答案．
解：（1）如图所示：，即为所求；
（2）由平移的性质结合图形可得：A1（2，2），B1（1，﹣1），C1（﹣1，﹣1）；
（3）的面积为：×2×3＝3．
【点拨】本题考查的是平移的性质，图形与坐标，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】已知点和点，将线段平移至，点于点对应，若点的坐标为．
(1) 是怎样平移的； (2)求点的坐标．
【答案】（1）先向右平移2个单位，再向下平移3个单位；（2）
【分析】
（1）点的平移遵从“左减右加，下减上加”原则，由此可得AB的平移方法；
（2）根据（1）中AB的平移方法，按步平移可得B′的坐标．
解：（1）点的平移遵从“左减右加，下减上加”原则
，平移后所对应的，平移方法为：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）点，按照（1）的方法进行平移后得：先向右平移2个单位得，再向下平移3个单位得；
所以的坐标为．
【点拨】本题考查了点在坐标系中的平移，熟知点的平移规则是解题的关键．
【变式3】在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标 ；
（2）作出向右平移6个单位后的，并写出点的坐标 ；
（3）作出和的对称轴，并写出与轴的交点坐标 ．
【答案】(1)图象详见解析;(2,2);(2) 图象详见解析;(6,4);(3)图象详见解析;(3,0)
【分析】(1)（2）（3）根据题意画图,直接写出坐标即可．
解：(1)如图所示,△A1B1C1即为所求三角形,B1坐标为(2,2)．
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求三角形,A2坐标为(6,4)．
(3)如图所示,l即为所求对称轴,与x轴的交点坐标为(3,0)．
【点拨】本题考查作图-对称轴、平移,关键在于牢记基础作图方法．
类型十六、由平移后的坐标，求原坐标
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）作出向左平移个单位的，并写出点的坐标．
（2）作出关于轴对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，（-3，5）；（2）见解析，（4，-1）
【分析】
(1)根据题意画出图象即可,从图象即可得出A1的坐标．
(2)根据题意画出图象即可,从图象即可得出C2的坐标．
【详解】
(1)△A1B1C1即为所求三角形,A1坐标为:(－3,5)．
(2)△A2B2C2即为所求三角形,C2坐标为:(4,－1)．
【点拨】本题考查作图-平移和轴对称图形,关键在于熟悉作图的基础知识．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是_______．
【答案】（3，-1）
【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可．
解：∵点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（-2，2）重合，
∴x-5=-2，y+3=2，
解得x=3，y=-1，
所以，点A的坐标是（3，-1）．
故答案为：（3，-1）．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式2】一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向左爬3个单位长度后，到达，则它最开始所在位置的坐标是________．
【答案】
【分析】先将最开始的位置设出来，根据平移规律建立方程，解方程即可．
解：设它最开始所在位置的坐标为，
由题意，得
它最开始所在位置的坐标力．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．
【变式3】将点P(x，4)向右平移3个单位得到点(5，4)，则P点的坐标是_______．
【答案】（2,4）
【解析】∵将点向右平移3个单位长度，
∴得到的点的坐标是,
解得：
故答案为
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