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专题2.9 角的对称性（专项练习）（基础篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题2.9 角的对称性（专项练习）（基础篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共55页。试卷主要包含了如图，，，则，如图，在和中，，，，等内容，欢迎下载使用。
专题2.9 角的对称性（专项练习）（基础篇）
一、 单选题
知识点一：角平分线的性质
1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
2．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C D，则CD_____点P到∠AOB两边距离之和．( )
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
3．如图，已知点到、、的距离相等，则下列说法：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③点在的平分线上；④点是、、的平分线的交点；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④
4．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为( )
A．8 B．6 C．5 D．4
5．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
知识点二：角平分线的判定
6．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
7．如图，，，则（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．平分 D．以上结论均不对
8．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度是（ ）
A．10 B．9 C． D．
9．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
知识点三：角平分线的应用
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
13．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
A．3公里 B．4公里
C．5公里 D．6公里
14．如图，在△ABC 中，∠B=90º，AC=10，AD 为此三角形的一条角平分线，若 BD=3，则三角形 ADC 的面积为（ ）
A．3 B．10 C．12 D．15
知识点四：角平分线的作图
15．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点.
16．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
17．如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
18．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
19．如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．分别以两点为圆心，长为半径画弧，两段弧交于点，作射线，连接，则与全等，其全等的判定依据是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．70° D．45°
二、 填空题
知识点一：角平分线的性质
21．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
22．在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°， AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD，垂足为E， CD=4，AE=10，则四边形ABCD的周长是____________________.
23．如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，则的面积是_______________________．
24．如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD＝CD；
②AB＝AC；
③D到AB、BC所在直线的距离相等；
④点D在∠B的平分线上；
其中正确的说法的序号是_____．
25．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有____________(填写正确的序号)．
①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．
知识点二：角平分线的判定
26．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________．
27．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．
28．如图，直线AB分别交直线a和直线b于点A，B，且，点C在直线b上，且它到直线a和到直线AB的距离相等，若，则________．
29．如图，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，则∠1=______°．
30． 平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点的个数是_____．
知识点三：角平分线的应用
31．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
32．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=7cm，BD=4cm，则点D到AB的距离为_____cm．
33．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
34．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____．
35． 如图，已知于，交于点，于点，且，如果，则________．
知识点四：角平分线的作图
36．如图，在Rt中，，在边、上分别截取，，使，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．若，则点到的距离为______．
37．如图所示，直线，直线分别与相交于点小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则的度数为___________
38．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法①是的平分线；②；③点在的中垂线上；正确的个数是______个．
39．如图，在中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=6，AB=17，则的面积是_____．
40．如图，在ABC中，．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
①作∠ACB的平分线，交边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为E．
（2）在（1）作出的图形中，若，，，则
三、 解答题
知识点一：角平分线的性质
41．如图，四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．
42．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
知识点二：角平分线的判定
43．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
44．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
知识点三：角平分线的应用
45．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）直接写出AB，CD与AC的关系 ．
知识点四：角平分线的作图
46．某小区为方便M、N两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路的交叉区域内设置一个垃圾投放点P，现要求P点到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一P点（不写作法，保留作图痕迹）
47．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
48．已知M,N是∠AOB内外的两点，点M在∠AOB的外部，直接在图中求作点P，使P同时满足下列条件：
①P点到∠AOB的两边距离相等；
② PM=PN.（保留作图痕迹）
参考答案
1．D
【分析】
作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC＝S△ABC得到×4×7＋×4×AC＝24，然后解一次方程即可．
【详解】
作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7＋×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2．B
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，
则PC＞PE，PD＞PF，
∴CD＞PE+PF，
即CD＞P点到∠AOB两边距离之和．
故选B.
3．B
【分析】
根据角平分线的性质定理进行判断即可．
【详解】
解：∵点P到AE，AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE，BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD，BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，
故选B．
【点拨】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．
4．D
【分析】
根据平行线定理判定，再有垂线段最短性质，作出辅助线，最后由角平分线性质解题即可．
【详解】
，
根据垂线段最短的原则，得，当时, 取最小值，如图，
和分别平分和
故选：D．
【点拨】本题考查平行线定理、垂线段最短性质、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】
过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．B
【详解】
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
7．B
【分析】
根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断AB垂直平分CD．
【详解】
解：∵AC＝AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选B．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．D
【分析】
连接OA,OB,OC，由，设，根据得到AO为的角平分线，再根据得到，根据三线合一及勾股定理求出AD=8，再根据得到方程即可求解.
【详解】
解：连接OA,OB,OC,由题意知：，设,
，
∴AO为的角平分线，又，
，
∴AD为△ABC的中线，∴BD=6
在,AD==8,
,
,
.
故选D
【点拨】此题主要考查角平分线的判定及性质，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式.
9．D
【分析】
根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．
【详解】
∵DAB=CAE
∴DAB+BAC=CAE+BAC
∴DAC=EAB
∵AB=AD，AC=AE
∴△ADC≌△ABE
∴CD=BE，故①②正确；
∵△ADC≌△ABE
∴ADC =ABE
设AB与CD交于G点，
∵AGD =BGC
∴DOB=DAB=50°,故③正确；
过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，
则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高
∵△ADC≌△ABE
∴AF=AH
∴点A在DOE的平分线上，④正确
故选D．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．
10．B
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】
∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11．B
【解析】
分析：过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
详解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积
故选B.
点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.
12．D
【分析】
过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：过点作于，
是的角平分线，，
，
，
解得．
故选：．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
13．B
【详解】
：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明
：解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；
∵AB=BC=CD=DA=5公里，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF，
∴CE=CF=4公里．
14．D
【分析】
过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD=DE=3，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：过D作DE⊥AC于E．
∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°（DB⊥AB），DE⊥AC，
∴BD=DE，
∵BD=3，
∴DE=3，
∴S△ADC=•AC•DE=×10×3=15
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
15．C
【分析】
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
16．D
【详解】
解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．
故选D．
17．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
18．B
【解析】
试题分析：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．
考点：作图—基本作图．
19．A
【分析】
由画法得OC＝OD，PC＝PD，加上公共边OP，则可根据“SSS”可判定△OCP≌△ODP．
【详解】
解：由画法得OC＝OD，PC＝PD，
又∵OP＝OP，
∴△OCP≌△ODP（SSS），
故选：A．
【点拨】本题考查了基本作图：作已知角的角平分线，全等三角形的判定定理，熟练掌握“SSS”判定两个三角形全等，是解题的关键．
20．B
【分析】
先根据平行线的性质得到∠BAC＝70°，再根据基本作图得到AM平分∠BAC，则∠BAM＝∠CAM＝35°，然后根据平行线的性质得∠CMA的度数．
【详解】
解：由作法得AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAM＝∠BAC＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠CMA＝∠BAM＝35°．
故选：B．
【点拨】此题考查角平分线的作法和意义，平行线的性质等知识解决问题．解题时注意：两直线平行，内错角相等．
21．42
【详解】
解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即
考点:角平分线的性质.
22．28
【分析】
根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，根据角平分线的性质得到CE=CF，进而得到AE=AF，再根据∠BAD+∠BCD=180°，证明△ECD≌△FCB，得到BF=DE,CD=BC,再根据四边形周长的定义即可求解.
【详解】
根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，
∵CE⊥AD，AC平分∠BAD，
∴CE=CF，∠BAC=∠DAC，∠F=∠AEC=90°，
又∵AC=AC，
∴△ACF≌△ACE，
∴AE=AF=10，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC+∠FBC=180°
∴∠FBC=∠EDC，
又CF⊥AB，CE⊥AD，CF=CE,
∴△FCB≌△ECD
∴BC=DC=4
∴四边形ABCD的周长
=AB+BC+DC+AD
=AF-BF+CD+CD+AE+DE
=AF+2CD+AE
=2AE+2CD
=28
故填：28.
【点拨】此题主要考查四边形的周长，解题的关键是熟知角平分线的性质及全等三角形的判定.
23．12
【分析】
作PH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到PH=DP=6，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：作PH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=DP=6，
∴△OPE的面积=×OE×PH=×4×6=12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
24．③④．
【分析】
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH，DH＝DF，则DE＝DF，于是可对③进行判断；然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．
【详解】
解：AD与CD不能确定相等，AB与AC也不能确定相等，所以①②错误；
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴DE＝DH，
同理可得DH＝DF，
∴DE＝DF，
即D到AB、BC所在直线的距离相等，所以③正确；
∴点D在∠B的平分线上；所以④正确．
故答案为：③④．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握知识点是解题关键．
25．①③④
【分析】根据角平分线的意义及其性质可以对各项的正确性质作出判断．
解：由角平分线的定义可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正确，②错误；
又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正确；
故答案为①、③、④．
【点拨】本题考查三角形的应用，熟练掌握角平分线、中垂线的意义和性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键．
26．28°
【分析】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．
【详解】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°−∠AED=62°，
∴Rt△BCE中,∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°
故填：28°.
【点拨】此题主要考查角平分线的性质的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
27．100°
【详解】
试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
考点：角平分线的性质．
28．26°
【分析】
根据平行线的性质求出∠MAC，根据角平分线的判定定理证明平分，再求出 ，再利用平行线的性质即可得到答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
，
到直线a和到直线AB的距离相等，
平分
．
故答案为：
【点拨】本题考查了角平分线的定义与判定，平行线的性质，能根据角平分线性质证明∠BAC=∠MAC是解此题的关键．
29．33
【分析】
由题意易得AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，进而可得∠CAD=∠1，然后问题可求解．
【详解】
解：∵∠B=∠D=90°，CD=CB，
∴AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠1，
∵∠2=57°，
∴∠1=∠CAD=90°-57°=33°；
故答案为33．
【点拨】本题主要考查角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键．
30．4
【分析】
根据角平分线性质的逆定理，结合三角形内角平分线和外角平分线作出图形即可解答．
【详解】
解：到三条直线的距离相等的点应该有A、B、C、D共4个，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线性质的逆定理，掌握角平分线性质的逆定理是解题的关键．
31．
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
【详解】
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故
故答案为.
【点拨】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
32．3
【分析】
作DH⊥AB于H，根据题意求出CD的长，再由角平分线的性质即可解答．
【详解】
作DH⊥AB于H，
∵BC=7cm，BD=4cm，
∴CD=7﹣4=3，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DH⊥AB，
∴DH=CD=3，
∴点D到AB的距离为3cm，
故答案为3．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键．
33．3
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
34．32．
【分析】
作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE 的长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作 DE⊥AB 于 E，
∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD 的面积＝×AB×DE＝32，
故答案为：32
．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
35．40°
【分析】
由，且得平分．求出，再利用直角三角形两锐角互余求即可．
【详解】
解：∵ 于点，于点，且，
∴平分．
∵，
∴，
在中，．
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的判定与性质，直角三角形的锐角和性质，掌握角平分线的判定方法，会利用角平分线性质求角，直角三角形的锐角和性质，会利用直角三角形的锐角进行计算是解题关键．
36．2
【分析】
根据作图过程可得，AF平分∠BAC，过点F作FG⊥AC，根据∠B＝90°，可得FB⊥AB，根据角平分线的性质可得FG＝FB，进而可得点F到AC的距离．
【详解】
根据作图过程可知：
AF平分∠BAC，
过点F作FG⊥AC，
∵∠B＝90°，
∴FB⊥AB，
∴FG＝FB＝2．
∴点F到AC的距离为2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
37．30°
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABP=∠BAN，再根据角平分线的定义可得结果．
【详解】
解：∵MN∥PQ，，
∴∠ABP=∠BAN=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF=∠BAN =30°，
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
38．3
【分析】
根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．
【详解】
解：①根据角平分线的做法可得AD是∠BAC的平分线，说法①正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，
因此∠ADC=60°正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确，
故答案为：3．
【点拨】此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的判定，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．
39．51
【分析】
根据作图过程可得，AD是∠CAB的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，根据∠C=90°，可得DC⊥AC，可得DE=CD=6，进而可得△ABD的面积．
【详解】
根据作图过程可知：AD是∠CAB的平分线，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∴DE=CD=6，
∴S△ABD=AB•DE=17×6=51．
故答案为：51．
【点拨】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
40．（1）①见解析，②见解析；（2）
【详解】
（1）①如图···································2分
②如图···································4分
（2）····································5分
41．证明见解析．
【分析】
欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
【详解】
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
42．（1）证明见解析；（2）2
【分析】
（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
43．28°
【分析】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点拨】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
44．（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【分析】
（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【详解】
证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
45．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB+CD＝AC
【分析】
（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后证明即可．
【详解】
（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
又∵∠D=90°，OE⊥AC，
∴OC平分∠ACD．
（2）证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，
∴OA⊥OC．
（3）结论：AB+CD＝AC．
理由：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE，
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE+CE，
∴AB+CD＝AC．
故答案为：AB+CD＝AC．
【点拨】本题考查了角平分线性质及判定以及全等三角形的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
46．见解析
【分析】
因为使P到AB、AC两条道路的距离相等，所以点P应在∠BAC的平分线上；而且要使PM=PN，所以点P还应在MN的中垂线上，即∠BAC的平分线和MN的中垂线的交点，即为点P．
【详解】
解：
点P即为所求．
【点拨】此题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及作法，难度中等．
47．解：（1）作图如下：
（2）AF∥BC且AF=BC理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．
由作图可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC．∴AF∥BC．
∵E是AC的中点，∴AE=CE．
∵∠AEF=∠CEB ，∴△AEF≌△CEB （ASA）．∴AF=BC．
【解析】
试题分析：（1）根据题意画出图形即可．
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
48．见详解
【分析】
使P到点M、N的距离相等，即画MN的垂直平分线，且到∠AOB的两边的距离相等，即画它的角平分线，两线的交点就是点P的位置．
【详解】
解：如图所示：P点即为所求．
【点拨】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．
专题2.9 角的对称性（专项练习）（基础篇）
一、 单选题
知识点一：角平分线的性质
1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
2．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C D，则CD_____点P到∠AOB两边距离之和．( )
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
3．如图，已知点到、、的距离相等，则下列说法：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③点在的平分线上；④点是、、的平分线的交点；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④
4．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为( )
A．8 B．6 C．5 D．4
5．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
知识点二：角平分线的判定
6．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
7．如图，，，则（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．平分 D．以上结论均不对
8．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度是（ ）
A．10 B．9 C． D．
9．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
知识点三：角平分线的应用
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
13．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
A．3公里 B．4公里
C．5公里 D．6公里
14．如图，在△ABC 中，∠B=90º，AC=10，AD 为此三角形的一条角平分线，若 BD=3，则三角形 ADC 的面积为（ ）
A．3 B．10 C．12 D．15
知识点四：角平分线的作图
15．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点.
16．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
17．如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
18．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
19．如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．分别以两点为圆心，长为半径画弧，两段弧交于点，作射线，连接，则与全等，其全等的判定依据是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．70° D．45°
二、 填空题
知识点一：角平分线的性质
21．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
22．在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°， AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD，垂足为E， CD=4，AE=10，则四边形ABCD的周长是____________________.
23．如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，则的面积是_______________________．
24．如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD＝CD；
②AB＝AC；
③D到AB、BC所在直线的距离相等；
④点D在∠B的平分线上；
其中正确的说法的序号是_____．
25．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有____________(填写正确的序号)．
①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．
知识点二：角平分线的判定
26．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________．
27．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．
28．如图，直线AB分别交直线a和直线b于点A，B，且，点C在直线b上，且它到直线a和到直线AB的距离相等，若，则________．
29．如图，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，则∠1=______°．
30． 平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点的个数是_____．
知识点三：角平分线的应用
31．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
32．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=7cm，BD=4cm，则点D到AB的距离为_____cm．
33．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．
34．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____．
35． 如图，已知于，交于点，于点，且，如果，则________．
知识点四：角平分线的作图
36．如图，在Rt中，，在边、上分别截取，，使，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．若，则点到的距离为______．
37．如图所示，直线，直线分别与相交于点小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则的度数为___________
38．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法①是的平分线；②；③点在的中垂线上；正确的个数是______个．
39．如图，在中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=6，AB=17，则的面积是_____．
40．如图，在ABC中，．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
①作∠ACB的平分线，交边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为E．
（2）在（1）作出的图形中，若，，，则
三、 解答题
知识点一：角平分线的性质
41．如图，四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．
42．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
知识点二：角平分线的判定
43．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
44．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
知识点三：角平分线的应用
45．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）直接写出AB，CD与AC的关系 ．
知识点四：角平分线的作图
46．某小区为方便M、N两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路的交叉区域内设置一个垃圾投放点P，现要求P点到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一P点（不写作法，保留作图痕迹）
47．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
48．已知M,N是∠AOB内外的两点，点M在∠AOB的外部，直接在图中求作点P，使P同时满足下列条件：
①P点到∠AOB的两边距离相等；
② PM=PN.（保留作图痕迹）
参考答案
1．D
【分析】
作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC＝S△ABC得到×4×7＋×4×AC＝24，然后解一次方程即可．
【详解】
作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7＋×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2．B
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，
则PC＞PE，PD＞PF，
∴CD＞PE+PF，
即CD＞P点到∠AOB两边距离之和．
故选B.
3．B
【分析】
根据角平分线的性质定理进行判断即可．
【详解】
解：∵点P到AE，AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE，BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD，BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，
故选B．
【点拨】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．
4．D
【分析】
根据平行线定理判定，再有垂线段最短性质，作出辅助线，最后由角平分线性质解题即可．
【详解】
，
根据垂线段最短的原则，得，当时, 取最小值，如图，
和分别平分和
故选：D．
【点拨】本题考查平行线定理、垂线段最短性质、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】
过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．B
【详解】
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
7．B
【分析】
根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断AB垂直平分CD．
【详解】
解：∵AC＝AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选B．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．D
【分析】
连接OA,OB,OC，由，设，根据得到AO为的角平分线，再根据得到，根据三线合一及勾股定理求出AD=8，再根据得到方程即可求解.
【详解】
解：连接OA,OB,OC,由题意知：，设,
，
∴AO为的角平分线，又，
，
∴AD为△ABC的中线，∴BD=6
在,AD==8,
,
,
.
故选D
【点拨】此题主要考查角平分线的判定及性质，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式.
9．D
【分析】
根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．
【详解】
∵DAB=CAE
∴DAB+BAC=CAE+BAC
∴DAC=EAB
∵AB=AD，AC=AE
∴△ADC≌△ABE
∴CD=BE，故①②正确；
∵△ADC≌△ABE
∴ADC =ABE
设AB与CD交于G点，
∵AGD =BGC
∴DOB=DAB=50°,故③正确；
过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，
则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高
∵△ADC≌△ABE
∴AF=AH
∴点A在DOE的平分线上，④正确
故选D．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．
10．B
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】
∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11．B
【解析】
分析：过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
详解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积
故选B.
点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.
12．D
【分析】
过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：过点作于，
是的角平分线，，
，
，
解得．
故选：．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
13．B
【详解】
：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明
：解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；
∵AB=BC=CD=DA=5公里，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF，
∴CE=CF=4公里．
14．D
【分析】
过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD=DE=3，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：过D作DE⊥AC于E．
∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°（DB⊥AB），DE⊥AC，
∴BD=DE，
∵BD=3，
∴DE=3，
∴S△ADC=•AC•DE=×10×3=15
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
15．C
【分析】
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
16．D
【详解】
解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．
故选D．
17．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
18．B
【解析】
试题分析：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．
考点：作图—基本作图．
19．A
【分析】
由画法得OC＝OD，PC＝PD，加上公共边OP，则可根据“SSS”可判定△OCP≌△ODP．
【详解】
解：由画法得OC＝OD，PC＝PD，
又∵OP＝OP，
∴△OCP≌△ODP（SSS），
故选：A．
【点拨】本题考查了基本作图：作已知角的角平分线，全等三角形的判定定理，熟练掌握“SSS”判定两个三角形全等，是解题的关键．
20．B
【分析】
先根据平行线的性质得到∠BAC＝70°，再根据基本作图得到AM平分∠BAC，则∠BAM＝∠CAM＝35°，然后根据平行线的性质得∠CMA的度数．
【详解】
解：由作法得AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAM＝∠BAC＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠CMA＝∠BAM＝35°．
故选：B．
【点拨】此题考查角平分线的作法和意义，平行线的性质等知识解决问题．解题时注意：两直线平行，内错角相等．
21．42
【详解】
解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即
考点:角平分线的性质.
22．28
【分析】
根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，根据角平分线的性质得到CE=CF，进而得到AE=AF，再根据∠BAD+∠BCD=180°，证明△ECD≌△FCB，得到BF=DE,CD=BC,再根据四边形周长的定义即可求解.
【详解】
根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，
∵CE⊥AD，AC平分∠BAD，
∴CE=CF，∠BAC=∠DAC，∠F=∠AEC=90°，
又∵AC=AC，
∴△ACF≌△ACE，
∴AE=AF=10，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC+∠FBC=180°
∴∠FBC=∠EDC，
又CF⊥AB，CE⊥AD，CF=CE,
∴△FCB≌△ECD
∴BC=DC=4
∴四边形ABCD的周长
=AB+BC+DC+AD
=AF-BF+CD+CD+AE+DE
=AF+2CD+AE
=2AE+2CD
=28
故填：28.
【点拨】此题主要考查四边形的周长，解题的关键是熟知角平分线的性质及全等三角形的判定.
23．12
【分析】
作PH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到PH=DP=6，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：作PH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=DP=6，
∴△OPE的面积=×OE×PH=×4×6=12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
24．③④．
【分析】
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH，DH＝DF，则DE＝DF，于是可对③进行判断；然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．
【详解】
解：AD与CD不能确定相等，AB与AC也不能确定相等，所以①②错误；
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴DE＝DH，
同理可得DH＝DF，
∴DE＝DF，
即D到AB、BC所在直线的距离相等，所以③正确；
∴点D在∠B的平分线上；所以④正确．
故答案为：③④．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握知识点是解题关键．
25．①③④
【分析】根据角平分线的意义及其性质可以对各项的正确性质作出判断．
解：由角平分线的定义可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正确，②错误；
又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正确；
故答案为①、③、④．
【点拨】本题考查三角形的应用，熟练掌握角平分线、中垂线的意义和性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键．
26．28°
【分析】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．
【详解】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°−∠AED=62°，
∴Rt△BCE中,∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°
故填：28°.
【点拨】此题主要考查角平分线的性质的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
27．100°
【详解】
试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
考点：角平分线的性质．
28．26°
【分析】
根据平行线的性质求出∠MAC，根据角平分线的判定定理证明平分，再求出 ，再利用平行线的性质即可得到答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
，
到直线a和到直线AB的距离相等，
平分
．
故答案为：
【点拨】本题考查了角平分线的定义与判定，平行线的性质，能根据角平分线性质证明∠BAC=∠MAC是解此题的关键．
29．33
【分析】
由题意易得AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，进而可得∠CAD=∠1，然后问题可求解．
【详解】
解：∵∠B=∠D=90°，CD=CB，
∴AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠1，
∵∠2=57°，
∴∠1=∠CAD=90°-57°=33°；
故答案为33．
【点拨】本题主要考查角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键．
30．4
【分析】
根据角平分线性质的逆定理，结合三角形内角平分线和外角平分线作出图形即可解答．
【详解】
解：到三条直线的距离相等的点应该有A、B、C、D共4个，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线性质的逆定理，掌握角平分线性质的逆定理是解题的关键．
31．
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
【详解】
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故
故答案为.
【点拨】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
32．3
【分析】
作DH⊥AB于H，根据题意求出CD的长，再由角平分线的性质即可解答．
【详解】
作DH⊥AB于H，
∵BC=7cm，BD=4cm，
∴CD=7﹣4=3，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DH⊥AB，
∴DH=CD=3，
∴点D到AB的距离为3cm，
故答案为3．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键．
33．3
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
34．32．
【分析】
作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE 的长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作 DE⊥AB 于 E，
∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD 的面积＝×AB×DE＝32，
故答案为：32
．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
35．40°
【分析】
由，且得平分．求出，再利用直角三角形两锐角互余求即可．
【详解】
解：∵ 于点，于点，且，
∴平分．
∵，
∴，
在中，．
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的判定与性质，直角三角形的锐角和性质，掌握角平分线的判定方法，会利用角平分线性质求角，直角三角形的锐角和性质，会利用直角三角形的锐角进行计算是解题关键．
36．2
【分析】
根据作图过程可得，AF平分∠BAC，过点F作FG⊥AC，根据∠B＝90°，可得FB⊥AB，根据角平分线的性质可得FG＝FB，进而可得点F到AC的距离．
【详解】
根据作图过程可知：
AF平分∠BAC，
过点F作FG⊥AC，
∵∠B＝90°，
∴FB⊥AB，
∴FG＝FB＝2．
∴点F到AC的距离为2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
37．30°
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABP=∠BAN，再根据角平分线的定义可得结果．
【详解】
解：∵MN∥PQ，，
∴∠ABP=∠BAN=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF=∠BAN =30°，
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
38．3
【分析】
根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．
【详解】
解：①根据角平分线的做法可得AD是∠BAC的平分线，说法①正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，
因此∠ADC=60°正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确，
故答案为：3．
【点拨】此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的判定，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．
39．51
【分析】
根据作图过程可得，AD是∠CAB的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，根据∠C=90°，可得DC⊥AC，可得DE=CD=6，进而可得△ABD的面积．
【详解】
根据作图过程可知：AD是∠CAB的平分线，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∴DE=CD=6，
∴S△ABD=AB•DE=17×6=51．
故答案为：51．
【点拨】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
40．（1）①见解析，②见解析；（2）
【详解】
（1）①如图···································2分
②如图···································4分
（2）····································5分
41．证明见解析．
【分析】
欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
【详解】
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
42．（1）证明见解析；（2）2
【分析】
（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
43．28°
【分析】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点拨】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
44．（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【分析】
（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【详解】
证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
45．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB+CD＝AC
【分析】
（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后证明即可．
【详解】
（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
又∵∠D=90°，OE⊥AC，
∴OC平分∠ACD．
（2）证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，
∴OA⊥OC．
（3）结论：AB+CD＝AC．
理由：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE，
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE+CE，
∴AB+CD＝AC．
故答案为：AB+CD＝AC．
【点拨】本题考查了角平分线性质及判定以及全等三角形的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
46．见解析
【分析】
因为使P到AB、AC两条道路的距离相等，所以点P应在∠BAC的平分线上；而且要使PM=PN，所以点P还应在MN的中垂线上，即∠BAC的平分线和MN的中垂线的交点，即为点P．
【详解】
解：
点P即为所求．
【点拨】此题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及作法，难度中等．
47．解：（1）作图如下：
（2）AF∥BC且AF=BC理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．
由作图可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC．∴AF∥BC．
∵E是AC的中点，∴AE=CE．
∵∠AEF=∠CEB ，∴△AEF≌△CEB （ASA）．∴AF=BC．
【解析】
试题分析：（1）根据题意画出图形即可．
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
48．见详解
【分析】
使P到点M、N的距离相等，即画MN的垂直平分线，且到∠AOB的两边的距离相等，即画它的角平分线，两线的交点就是点P的位置．
【详解】
解：如图所示：P点即为所求．
【点拨】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．
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