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专题2.7 线段的对称性（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题2.7 线段的对称性（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共46页。试卷主要包含了垂直平分线性质，垂直平分线判定，垂直平分线的应用，作图-垂直平分线等内容，欢迎下载使用。
专题2.7 线段的对称性（专项练习）
一、 单选题
知识点一、垂直平分线性质
1．如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
2．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
3．如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60°
C．55° D．45°
4．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC⋅AH D．AB=AD
5．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
知识点二、垂直平分线判定
6．如图，，，则下面说法正确的是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
7．如图，中，∠ACB=90°,∠B=22.5°,的垂直平分线交于，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①点D到∠BAC的两边距离相等；
②点D在AB的中垂线上；
③AD＝2CD
④AB＝2CD
A．1 B．2 C．3 D．4
9．给出下面两个定理:
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
应用上述定理进行如下推理:
如图,直线l是线段MN的垂直平分线.
∵点A在直线l上,∴AM=AN.( )
∵BM=BN,∴点B在直线l上.( )
∵CM≠CN,∴点C不在直线l上.
这是∵如果点C在直线l上,那么CM=CN, ( )
这与条件CM≠CN矛盾.
以上推理中各括号内应注明的理由依次是 ( )
A．②①① B．②①②
C．①②② D．①②①
10． 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）
A． ②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
知识点三、垂直平分线的应用
11．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
14．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
15．在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC （ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
知识点四、作图-垂直平分线
16．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
17．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
18．通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
19．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、 填空题
知识点一、垂直平分线性质
21．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
22．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．
23．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．
24．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=_____．
25．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．
知识点二、垂直平分线判定
26．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有____________(填写正确的序号)．
①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．
27．如图，ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③BRP≌QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是_____（请将所有正确结论的序号都填上）．
28．如图所示,公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,则下列说法中:①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远;②小明从家到书店与从家到学校一样远;③小颖从家到书店与从家到学校一样远;④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远.正确的是__.(填写序号)
29．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18．分别以A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB、AC于点D、E．若EC＝5，则△BEC的面积为_____．
30．已知锐角如图
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；
（2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点连接；
（3）作射线交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；
；；；
知识点三、垂直平分线的应用
31．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为______cm．
32．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为__．
33．如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．
34．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
35．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为_____．
知识点四、作图-垂直平分线
36．阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线.
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下：如图， （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点； （2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是____________________，
37．如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果,，那么___________；
38．阅读下面材料：
数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P.用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．
（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．
（3）两弧分别交于点P和点M
（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是_____．
39．如图，与关于成轴对称，分别以点、为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结．若，则的大小为__________度．
40．如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则_______°．
三、 解答题
知识点一、垂直平分线性质
41．如图，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若AC=3，AB=5，求△AEB的周长．
知识点二、垂直平分线判定
42．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D.求证：OE是线段CD的垂直平分线.
知识点三、垂直平分线的应用
43．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
知识点四、尺规作图-垂直平分线
44．如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
参考答案
1．D
【分析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
故选D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
2．A
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
3．A
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A．
【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
4．A
解：如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BDA．
C、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选A．
5．D
【分析】
由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
6．A
【分析】
根据题意，由SSS判定，再结合全等三角形的性质解得，最后根据等腰三角形的性质解题即可．
解：在与中，
又∵AC=AD
∴AB垂直平分CD（三线合一），
故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】
由垂直平分线可得，AD=DB，∠B=∠DAB=22.5°，∴∠CDA=45°，∴ △ACD为等腰直角三角形.则可选出正确答案.
解：∵∠ACB=90°，∠B=22.5，
∴∠BAC=180°-90°-22.5°=67.5°，
又AB的垂直平分线交BC于D，
∴DB=DA，故选项C正确；
∴∠BAD=∠B=22.5°，
∴∠DAC=67.5°-22.5°=45°，选项B正确，
∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项A正确，
在直角三角形ACD中，
∵AD＞CD，又AD=BD，
∴BD＞CD，选项D错误，
则不正确的选项为D．
故选D．
【点拨】垂直平分线往往都伴随着考查等腰三角形.
8．D
【分析】
根据角平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：由图可知：AD是∠BAC的平分线，
∴①点D到∠BAC的两边距离相等，正确；
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴②点D在AB的中垂线上，正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∴③AD＝2CD，正确；
∴AB＝2AC，AC＝CD，
∴④AB＝2CD，正确；
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图−基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
9．D
解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；
第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；
应用了垂直平分线的性质，填①．
应所以填①②①，故选D．
点睛：本题考查了垂直平分线的性质及判定．前提是在线段垂直平分线上，应使用性质；最后得到线段垂直平分线，应使用判定，分清这点是正确解答本题的关键．
10．D
解：①不正确；
②因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，∠EAD=∠FAD，AD公用，所以△ AED≌△AFD；∴AE=AF，所以AD垂直平分AO；
③因为∠A=∠AED=∠AFD=90°，可得四边形AEDF是矩形，由②得DE=DF，所以四边形ADEF是正方形；
④因为AE=AF，DE=DF，所以；所以选D．
11．C
【分析】
由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
12．D
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故①正确.
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确.
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD.∴点D在AB的中垂线上.故③正确.
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD.
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD.
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC．故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个．故选D.
13．B
【分析】
根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选B．
【点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
14．B
【分析】
由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
故选B
【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
15．D
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA=PB的点的位置，然后思考满足PB=PC的点的位置，答案可得．
解：∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
同理P在AC，BC的垂直平分线上．
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．
故选D．
【点拨】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．
16．D
解：【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
17．C
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
18．A
【分析】
作线段的垂直平分线可得线段的中点．
解：作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
19．B
【分析】
根据过直线外一点向直线作垂线即可．
解：已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选B．
【点拨】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
20．C
解：试题解析： ①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．
考点：基本作图.
21．24
【分析】
根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
解：∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点拨】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
22．32°
【分析】
先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．
解：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．
故答案为32°．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．
23．40°
解：∵MP与NQ分别垂直平分AB和AC
∴∠B＝∠BAP，∠QAC＝∠C
∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°
又∵∠APQ＝∠B＋∠BAP
∠AQP＝∠C＋∠QAC
∴∠APQ＋∠AQP＝2∠B＋2∠C＝140°
在△APQ中
∠PAQ＝180°－∠APQ－∠AQP
＝180°－140°＝40°
24．96°
解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°．
故答案为：96°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线证明Rt△DEB≌Rt△DFC是解题的关键．
25．108．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°．
又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°．
∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB．
∴∠ABO=∠BAO=27°．∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°．
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心．∴OB=OC．∴∠OCB=∠OBC=36°．
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=36°．
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．
26．①③④
【分析】
根据角平分线的意义及其性质可以对各项的正确性质作出判断．
解：由角平分线的定义可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正确，②错误；
又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正确；
故答案为①、③、④．
【点拨】本题考查三角形的应用，熟练掌握角平分线、中垂线的意义和性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键．
27．①②③④
【分析】
根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP//AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，无法判断△BRP≌△QSP；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，则RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP//AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D，
在△ARD和△ASD中，
，
∴△ARD≌△ASD，
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，
所以AP垂直平分RS，故④正确，
故答案为①②④．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．②③
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质由公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线得到CA=CD,BA=BD ,然后分别进行判断.
解：解:∵公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,
∴CA=CD,BA=BD,
即小明从家到书店与从家到学校一样远;小颖从家到书店与从家到学校一样远.
故答案为②③.
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,属于简单题,熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键.
29．30
【解析】
【分析】
由尺规作图得到MN为AB的垂直平分线，然后利用垂直平分线性质和勾股定理得到BC=12，所以S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
解：由作图可知，MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AC＝18，EC＝5，
∴AE＝BE＝13，
又∵∠C＝90°，
∴Rt△BCE中，BC＝
∴S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
故答案为：30．
【点拨】本题考查直角三角形和尺规作图，能够知道MN是AB的垂直平分线是解题关键
30．②③④．
【分析】
根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．
解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分线段CD，
∴CQ=DQ
∴CP=2QC
故②③④正确，
故答案为②③④．
【点拨】本题考查角平分线的作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
31．3
解：试题分析：连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案为3cm．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质；
32．18
【解析】
【分析】
如图作AH⊥BC于H,连接AD，由EG垂直平分线段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
解：
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
∵
∴AH=12
∵AB=AC,AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴
∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为：18.
【点拨】本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题.
33．
【分析】
由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出的周长.
解：∵在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD；
∴MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13；
故答案为13.
【点拨】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可.
34．32
【分析】
由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案为：32．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
35．17
【分析】
首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长．
解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案为17．
36．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上：两点确定走一条直线．
解：试题分析：本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，连接CD, 根据线段垂直平分线的性质和线的性质可得线段AB的垂直平分线.
考点：线段垂直平分线的作法；直线的性质
37．3
【分析】
直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，
∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．
故答案为3．
【点拨】此题考查基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．
38．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一
【解析】
【分析】
从作图方法以及作图结果入手考虑其作图依据..
解：依题意，AP＝AM，BP＝BM，根据垂直平分线的定义可知PM⊥直线l.因此易知小艾的作图依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.故答案为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
【点拨】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作图的常用方法是解题关键.
39．78
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，再利用对称的性质得到∠DAC=∠BAC，所以∠BAC=39°，然后根据三角形外角性质计算∠CPB的度数．
解：由作法得，MN垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵△ABC与△ADC关于AC成轴对称，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAB=×78°=39°，
∴∠CPB=∠PAB+∠PBA=2∠PAB=2×39°=78°．
故答案为：78°．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和对称的性质．
40．56°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAM＝34°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α．
解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作图知：AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°−∠BAM＝90°−34°＝56°，
∴α＝∠AMQ＝56°．
故答案为：56°．
【点拨】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
41．（1）∠B=20°；（2）△AEB的周长=11.25．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠B=∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出BC=4，设AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°；
（2）由勾股定理得，=4，
设AE=BE=x，则CE=4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
即32+（4﹣x）2=x2，
解得x=，
∴△AEB的周长=×2+5=11.25．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、勾股定理的运用，熟记性质并准确识图是解题的关键．
42．答案见解析.
【分析】
证△EDO和△ECO全等，推出OD=OC，根据线段垂直平分线性质得出即可．
解：证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，∠EDO=∠ECO=90°，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∵DE=EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键，难度适中．
43．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．
解：（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【点拨】考查线段的垂直平分线的作法以及角平分线的判定，熟练掌握线段的垂直平分弦的作法是解题的关键.
44．作图见解析.
解：【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得
【详解】如图所示，点P即为所求作的点.
【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.
专题2.7 线段的对称性（专项练习）
一、 单选题
知识点一、垂直平分线性质
1．如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
2．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
3．如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60°
C．55° D．45°
4．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC⋅AH D．AB=AD
5．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
知识点二、垂直平分线判定
6．如图，，，则下面说法正确的是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
7．如图，中，∠ACB=90°,∠B=22.5°,的垂直平分线交于，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①点D到∠BAC的两边距离相等；
②点D在AB的中垂线上；
③AD＝2CD
④AB＝2CD
A．1 B．2 C．3 D．4
9．给出下面两个定理:
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
应用上述定理进行如下推理:
如图,直线l是线段MN的垂直平分线.
∵点A在直线l上,∴AM=AN.( )
∵BM=BN,∴点B在直线l上.( )
∵CM≠CN,∴点C不在直线l上.
这是∵如果点C在直线l上,那么CM=CN, ( )
这与条件CM≠CN矛盾.
以上推理中各括号内应注明的理由依次是 ( )
A．②①① B．②①②
C．①②② D．①②①
10． 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）
A． ②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
知识点三、垂直平分线的应用
11．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
14．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
15．在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC （ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
知识点四、作图-垂直平分线
16．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
17．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
18．通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
19．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、 填空题
知识点一、垂直平分线性质
21．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
22．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．
23．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．
24．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=_____．
25．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．
知识点二、垂直平分线判定
26．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有____________(填写正确的序号)．
①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．
27．如图，ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③BRP≌QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是_____（请将所有正确结论的序号都填上）．
28．如图所示,公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,则下列说法中:①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远;②小明从家到书店与从家到学校一样远;③小颖从家到书店与从家到学校一样远;④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远.正确的是__.(填写序号)
29．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18．分别以A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB、AC于点D、E．若EC＝5，则△BEC的面积为_____．
30．已知锐角如图
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；
（2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点连接；
（3）作射线交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；
；；；
知识点三、垂直平分线的应用
31．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为______cm．
32．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为__．
33．如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．
34．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
35．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为_____．
知识点四、作图-垂直平分线
36．阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线.
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下：如图， （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点； （2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是____________________，
37．如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果,，那么___________；
38．阅读下面材料：
数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P.用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．
（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．
（3）两弧分别交于点P和点M
（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是_____．
39．如图，与关于成轴对称，分别以点、为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结．若，则的大小为__________度．
40．如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则_______°．
三、 解答题
知识点一、垂直平分线性质
41．如图，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若AC=3，AB=5，求△AEB的周长．
知识点二、垂直平分线判定
42．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D.求证：OE是线段CD的垂直平分线.
知识点三、垂直平分线的应用
43．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
知识点四、尺规作图-垂直平分线
44．如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
参考答案
1．D
【分析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
故选D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
2．A
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
3．A
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A．
【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
4．A
解：如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BDA．
C、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选A．
5．D
【分析】
由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
6．A
【分析】
根据题意，由SSS判定，再结合全等三角形的性质解得，最后根据等腰三角形的性质解题即可．
解：在与中，
又∵AC=AD
∴AB垂直平分CD（三线合一），
故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】
由垂直平分线可得，AD=DB，∠B=∠DAB=22.5°，∴∠CDA=45°，∴ △ACD为等腰直角三角形.则可选出正确答案.
解：∵∠ACB=90°，∠B=22.5，
∴∠BAC=180°-90°-22.5°=67.5°，
又AB的垂直平分线交BC于D，
∴DB=DA，故选项C正确；
∴∠BAD=∠B=22.5°，
∴∠DAC=67.5°-22.5°=45°，选项B正确，
∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项A正确，
在直角三角形ACD中，
∵AD＞CD，又AD=BD，
∴BD＞CD，选项D错误，
则不正确的选项为D．
故选D．
【点拨】垂直平分线往往都伴随着考查等腰三角形.
8．D
【分析】
根据角平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：由图可知：AD是∠BAC的平分线，
∴①点D到∠BAC的两边距离相等，正确；
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴②点D在AB的中垂线上，正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∴③AD＝2CD，正确；
∴AB＝2AC，AC＝CD，
∴④AB＝2CD，正确；
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图−基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
9．D
解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；
第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；
应用了垂直平分线的性质，填①．
应所以填①②①，故选D．
点睛：本题考查了垂直平分线的性质及判定．前提是在线段垂直平分线上，应使用性质；最后得到线段垂直平分线，应使用判定，分清这点是正确解答本题的关键．
10．D
解：①不正确；
②因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，∠EAD=∠FAD，AD公用，所以△ AED≌△AFD；∴AE=AF，所以AD垂直平分AO；
③因为∠A=∠AED=∠AFD=90°，可得四边形AEDF是矩形，由②得DE=DF，所以四边形ADEF是正方形；
④因为AE=AF，DE=DF，所以；所以选D．
11．C
【分析】
由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
12．D
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故①正确.
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确.
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD.∴点D在AB的中垂线上.故③正确.
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD.
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD.
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC．故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个．故选D.
13．B
【分析】
根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选B．
【点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
14．B
【分析】
由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
故选B
【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
15．D
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA=PB的点的位置，然后思考满足PB=PC的点的位置，答案可得．
解：∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
同理P在AC，BC的垂直平分线上．
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．
故选D．
【点拨】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．
16．D
解：【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
17．C
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
18．A
【分析】
作线段的垂直平分线可得线段的中点．
解：作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
19．B
【分析】
根据过直线外一点向直线作垂线即可．
解：已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选B．
【点拨】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
20．C
解：试题解析： ①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．
考点：基本作图.
21．24
【分析】
根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
解：∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点拨】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
22．32°
【分析】
先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．
解：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．
故答案为32°．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．
23．40°
解：∵MP与NQ分别垂直平分AB和AC
∴∠B＝∠BAP，∠QAC＝∠C
∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°
又∵∠APQ＝∠B＋∠BAP
∠AQP＝∠C＋∠QAC
∴∠APQ＋∠AQP＝2∠B＋2∠C＝140°
在△APQ中
∠PAQ＝180°－∠APQ－∠AQP
＝180°－140°＝40°
24．96°
解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°．
故答案为：96°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线证明Rt△DEB≌Rt△DFC是解题的关键．
25．108．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°．
又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°．
∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB．
∴∠ABO=∠BAO=27°．∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°．
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心．∴OB=OC．∴∠OCB=∠OBC=36°．
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=36°．
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．
26．①③④
【分析】
根据角平分线的意义及其性质可以对各项的正确性质作出判断．
解：由角平分线的定义可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正确，②错误；
又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正确；
故答案为①、③、④．
【点拨】本题考查三角形的应用，熟练掌握角平分线、中垂线的意义和性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键．
27．①②③④
【分析】
根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP//AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，无法判断△BRP≌△QSP；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，则RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP//AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D，
在△ARD和△ASD中，
，
∴△ARD≌△ASD，
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，
所以AP垂直平分RS，故④正确，
故答案为①②④．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．②③
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质由公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线得到CA=CD,BA=BD ,然后分别进行判断.
解：解:∵公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,
∴CA=CD,BA=BD,
即小明从家到书店与从家到学校一样远;小颖从家到书店与从家到学校一样远.
故答案为②③.
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,属于简单题,熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键.
29．30
【解析】
【分析】
由尺规作图得到MN为AB的垂直平分线，然后利用垂直平分线性质和勾股定理得到BC=12，所以S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
解：由作图可知，MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AC＝18，EC＝5，
∴AE＝BE＝13，
又∵∠C＝90°，
∴Rt△BCE中，BC＝
∴S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
故答案为：30．
【点拨】本题考查直角三角形和尺规作图，能够知道MN是AB的垂直平分线是解题关键
30．②③④．
【分析】
根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．
解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分线段CD，
∴CQ=DQ
∴CP=2QC
故②③④正确，
故答案为②③④．
【点拨】本题考查角平分线的作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
31．3
解：试题分析：连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案为3cm．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质；
32．18
【解析】
【分析】
如图作AH⊥BC于H,连接AD，由EG垂直平分线段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
解：
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
∵
∴AH=12
∵AB=AC,AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴
∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为：18.
【点拨】本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题.
33．
【分析】
由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出的周长.
解：∵在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD；
∴MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13；
故答案为13.
【点拨】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可.
34．32
【分析】
由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案为：32．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
35．17
【分析】
首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长．
解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案为17．
36．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上：两点确定走一条直线．
解：试题分析：本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，连接CD, 根据线段垂直平分线的性质和线的性质可得线段AB的垂直平分线.
考点：线段垂直平分线的作法；直线的性质
37．3
【分析】
直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，
∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．
故答案为3．
【点拨】此题考查基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．
38．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一
【解析】
【分析】
从作图方法以及作图结果入手考虑其作图依据..
解：依题意，AP＝AM，BP＝BM，根据垂直平分线的定义可知PM⊥直线l.因此易知小艾的作图依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.故答案为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
【点拨】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作图的常用方法是解题关键.
39．78
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，再利用对称的性质得到∠DAC=∠BAC，所以∠BAC=39°，然后根据三角形外角性质计算∠CPB的度数．
解：由作法得，MN垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵△ABC与△ADC关于AC成轴对称，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAB=×78°=39°，
∴∠CPB=∠PAB+∠PBA=2∠PAB=2×39°=78°．
故答案为：78°．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和对称的性质．
40．56°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAM＝34°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α．
解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作图知：AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°−∠BAM＝90°−34°＝56°，
∴α＝∠AMQ＝56°．
故答案为：56°．
【点拨】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
41．（1）∠B=20°；（2）△AEB的周长=11.25．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠B=∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出BC=4，设AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°；
（2）由勾股定理得，=4，
设AE=BE=x，则CE=4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
即32+（4﹣x）2=x2，
解得x=，
∴△AEB的周长=×2+5=11.25．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、勾股定理的运用，熟记性质并准确识图是解题的关键．
42．答案见解析.
【分析】
证△EDO和△ECO全等，推出OD=OC，根据线段垂直平分线性质得出即可．
解：证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，∠EDO=∠ECO=90°，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∵DE=EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键，难度适中．
43．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．
解：（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【点拨】考查线段的垂直平分线的作法以及角平分线的判定，熟练掌握线段的垂直平分弦的作法是解题的关键.
44．作图见解析.
解：【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得
【详解】如图所示，点P即为所求作的点.
【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.
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