专题2.17 几何最值问题（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题2.17  几何最值问题（知识讲解）【学习目标】能运用轴对称的性质（将军饮马问题），解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】要点一、将军饮马问题的基本作图和解题方法
几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短）             图一                             图二   几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．几何模型3（1）：两定两动型（两点之间线段最短）在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。几何模型3（2）：两定两动型（将军过桥）（两点之间线段最短）图1                   图2             图3【将军过桥】已知将军在图1中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（如图2）．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（如图3）．几何模型4：一定两动型（点线之间垂线段最短）在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）【典型例题】1、传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位将军专程去拜访他，想他请叫一个百思不得其解的问题。将军每天都从军营A出发（如图），先到河边C处饮马，然后再去河岸的同侧B开会，他应该怎样走才能使路程最短？ 据说当时海轮略加思索就解决了它。【答案】答案见解析【解析】根据在直线上的同侧有两个点，在直线上有到的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．试题解析：如图所示，从点出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上取点 关于河岸的对称点连接，与河岸相交于点，则点就是饮马的地方，将军只要从点出发，沿着直线走到，饮马后，再由点沿直线走到,所走的路程就是最短的.要解决此题应先利用轴对称把两条线段转化到同一条直线上来，再利用“两点之间线段最短”这一性质来求解.点拨：两点之间，线段最短.举一反三：【变式1】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得PA十PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B．请利用上述模型解决下列问题；（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值．【答案】（1）见解析；（2）ΔPMN的周长的最小值为【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点，连接，交BC于P，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为；（2）作点P关于直线OA的对称点，作点这P关于直线OB的对称点，连接，分别交OA、OB于M、N，根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为，利用等边三角形的判定和性质即可求解．解答：（1）作点A关于直线BC的对称点，连接，交BC于P，如图所示，点P即为所求；（2）作点P关于直线OA的对称点，作点这P关于直线OB的对称点，连接，分别交OA、OB于M、N，如图：根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为，由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30，OP= 5，∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2，OF=OG=5，∴△FOG为边长为5的等边三角形，，答：ΔPMN的周长的最小值为．【点拨】本题考查了轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质，将实际问题抽象或转化为数学模型，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键．【变式2】将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?【答案与解析】见下图作法：作N关于OB的对称点，再作∥BO且＝(在的左侧)；连接交OB于点P，再在OB上取点Q使得PQ＝(Q在P的右侧)，此时，MP＋PQ＋QN最小．【点拨】：MP＋PQ＋QN最小，其中PQ是定值，问题转化为MP＋QN最小.因为将军要沿河走一段线段，如果能把这段提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从沿平行的方向走至，连接即可.2、如图，牧马人从地出发，先到草地边的某处点牧马，再到河边的某处点饮马，然后回到处，若从到走的是最短路径，与的延长线交于点，设锐角，则的的大小为______.（用含的式子表示）【答案】.【分析】先求出∠NCD+∠NDC=，由MN垂直平分，EF垂直平分，则有∠NCD=∠NCG，∠NDC=∠NDI，则，，则得到，即可得到.解：根据题意，如图，最短距离为：.在△NCD中，∠NCD+∠NDC=，∵MN垂直平分，EF垂直平分，∴MN平分，即MN平分，则∠NCD=∠NCG；EF平分，即EF平分，则∠NDC=∠NDI；∴，，∴；由三角形内角和定理，得：；故答案为：.【点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，以及最短距离问题，解题的关键是熟练掌握轴对称性质求最短距离.【变式1】在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）【解析】试题分析:作点A关于草地所在直线的对称点E,作点B关于小河所在直线的对称点F,连接EF,交河流所在直线于点D,交草地所在直线于点C,连接AC,CD,DB,根据轴对称性质,AC+CD+DB的最小值即为EF的长.试题解析:沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示:证明:在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR,BR,RT,ET,AT,∵A,E关于ON对称,∴AC＝EC,同理BD＝FD,FR＝BR,AT＝ET,∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF,AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR,∵ET＋TR＋FR＞EF,∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR,即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线,【变式2】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【分析】作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ＋PQ＋BP是最短路线．解答：如图所示AQ＋PQ＋BP为所求．【点拨】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称−最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．