专题2.11 等腰三角形的对称性（知识讲解1）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题2.11 等腰三角形的对称性（知识讲解1）
【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　
特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【典型例题】
类型一、等腰三角形定义
1．如图在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A=40°，则
（1）求∠DBC的度数，
（2）若AB=12，BC=7,求△BCD的周长

【答案】（1）30° （2）19
【分析】（1）由AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线DE交AC于点D，可得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，继而求得答案；（2）由AB=AC=12，BC=7，AD=BD，可得△BCD的周长等于AC+BC．
解：（1）在中，，，
∴.
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，∴，
∴.
答：的周长为19.

【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
举一反三：
【变式1】 已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长．
【答案】22
【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．
解：当4为腰，9为底时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
当腰为9时，
∵9+9＞4，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：9+9+4＝22．
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论.
【变式2】 已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．
【答案】，
【分析】已知条件没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，计算出结果后还需判定能否组成三角形．
解：（1）若该等腰三角形的腰长为，则另外两边的长为，，
根据三角形三边关系∵2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；
（2）若等腰三角形的底边长为，则腰长为，
即另外两边的长为，，能构成三角形；
综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为，．
故答案为：，．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目必须分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式3】 如图，在中，，，BD是的平分线，求的度数.

【答案】75°
【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠ABC=∠C=70°，已知BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，在△BDC中根据三角形内角和定理可求出∠BDC的度数.
解：∵AB=AC, ∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=∠A)= 70°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC==35°，
在△BDC中，∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-35°-70°=75°.
类型二、等腰三角形的性质与判定
2．如图所示，在中，为中线，，求的度数．

【答案】45°
【分析】延长AD至E，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB，，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数．
解：延长AD至E，使，连结，

∵BD=CD，∠ADB=∠EDC
∴，
∴EC=AB，，
∵AB=2AD，
∴AB=AE=EC
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°.
故答案为45°.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.
举一反三：
【变式1】 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
解：证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
【变式2】 如图，△ABC，△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上，求证：△CDA≌△CEB．

【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．
解：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，，
∴△CDA≌△CEB．
【点拨】本题考查全等三角形的判定；等腰直角三角形．
【变式3】 如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）25°．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C＝∠A，由平行线的性质可得∠C＝∠ADE，从而∠A＝∠ADE；
（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.
解：证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠ADE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）∵△ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB＝BC，D为AC中点，
∴∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键.
类型三、等边对等角求角
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

【答案】（1）作图见解析（2）∠BDC=72°
【解析】
解：（1）作图如下：

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°．
∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°．
∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．
（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：
①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D．
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可．
举一反三：
【变式1】 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？

【答案】∠C=40°
【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．
解：∵ ∴
又∴ ∵
∴ ∵ ∴解得
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.
11． 【变式2】 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE，
(1) 若∠BAC=90°,∠BAD=30°，求∠EDC的度数?
(2) 若∠BAC=a(a>30°),∠BAD=30°，求∠EDC的度数?
(3) 猜想∠EDC与∠BAD的数量关系?(不必证明)

【答案】(1)∠EDC的度数是15°；
(2)∠EDC的度数是15°；
(3)∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=12∠BAD.
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；
（2）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；
（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．
解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C= (180°−∠BAC)=45°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，
∵∠DAC=∠BAC−∠BAD=90°−30°=60°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= (180°−∠DAC)=60°
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=75°−60°=15°
答：∠EDC的度数是15°.
(2)与(1)类似：
∠B=∠C= (180°−∠BAC)=90°−α，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°−α+30°=120°−α，
∵∠DAC=∠BAC−∠BAD=α−30°，
∴∠ADE=∠AED= (180°−∠DAC)=105°−α，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=(120°−α)−(105°−α)=15°
答：∠EDC的度数是15°.
(3)∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=12∠BAD.
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质.
【变式3】 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD＝AE．
(1)若∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，求∠BAD与∠CDE的度数；
(2)设∠BAD＝α，∠CDE＝β，试写出α、β之间的关系并加以证明．

【答案】（1）20°，10°；（2）结论：α=2β，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据∠BAD=∠BAC-∠DAE，∠AED=∠CDE+∠C，进行计算即可解决问题；
（2）α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，同理求出∠ACB=和∠AED=，利用外角定理得：β=∠AED-∠ACB，代入可得结论．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=20°，
∵∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE=70°-60°=10°．
（2）结论：α=2β，理由是：
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=，
∴β=∠AED-∠ACB=-==，
∴α=2β；
【点拨】此题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、外角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
类型四、等边对等角证明
4．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．

【答案】详见解析
【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
解：证明：延长ED至G，使，连结GC，

∵在中，为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，

∴，
，，
，
，
．
又，
∴，
∴.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
举一反三：
【变式1】 如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．
求证：．

【答案】详见解析
【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得 ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.
解：证明：延长FD至G，使，连结CG，

∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，
∴，
，
，
，
又，
，
，
.
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．

【变式2】 如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．

【答案】
【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可．
解：如图，在上截取，连接．
∵平分，
．
∵，
，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
则．
∵在中，，
解得，
∴．

【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】 如图，在中，，为的中点，，，垂足为、，
求证：．

【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据为的中点，得到，再根据，，得到，利用全等三角形的性质和判定即可证明．
解：，
，
，，
，
为的中点，
，
在与中
，
≌，
∴．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，找到全等的条件是解题的关键．
类型五、三线合一求解
5．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．

【答案】30°．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形外角的性质即可求解．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三线合一的运用，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据三线合一的性质得到相等的量．
举一反三：
【变式1】 如图，在中，，平分，交于点，过点作于点.
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数.

【答案】（1）见解析（2）120°.
【分析】（1）由角平分线得出∠ACD＝∠ECD，再由∠CED＝∠A和公共边，根据AAS证明≌即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出BD＝CD，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠DCE，因此∠ACD＋∠DCE＋∠B＝90°，即可得到∠B的度数，即可求解．
解：（1）证明：∵平分，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEA＝∠C，
在和中，
，
∴≌（AAS）．
（2）解：∵，，
∴DE垂直平分BC
∴BD＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠ACD＝∠ECD，
∴∠ACD＝∠ECD＝∠B，
∵∠ACD+∠ECD＋∠B＝90°，
∴∠B＝30°
∴∠BDE=90°-∠B=60°，
∴∠ADE=180°-∠BDE=120°.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式2】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，AD与CE相交于点F．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）若AF＝6，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）先证明∠EAF＝∠ECB，再由ASA证明△AEF≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案．
解：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠EAF＝∠ECB，
在和中，
，
∴（ASA）；
（2）解：∵，
∴，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式3】 在等腰中，，，，是的平分线，交于，，点是的中点，连接．
（1）求的度数；
（2）求三角形的面积．

【答案】（1）40°；（2）4
【分析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；
（2）根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，根据中线的性质求得答案即可．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°−∠BAC）＝40°；
（2）∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC=4，
∵点E是AB的中点，
∴S△AED＝S△BED＝S△ABD＝×AD•BD＝××4×4＝4．
【点拨】此题主要是运用了等腰三角形的性质和三角形的中线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
类型六、三线合一证明
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．

【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等的性质，可得DE=DF．
解：连接AD

∵AB=AC，点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE=DF
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，及角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等．
举一反三：
【变式1】 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．求证：CE=AB．

【答案】答案见解析．
试题分析：由等腰三角形三线合一性质可得∠BAE=∠CAE，由CE∥AB可得∠E=∠BAE，进而可得∠E=∠CAE，所以AC=CE，又因为AB=AC，所以CE=AB即可证明.
试题解析：
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴∠BAE=∠CAE，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAE，
∴∠E=∠CAE，
∴CE=AC，
∵AB=AC，
∴CE=AB．
点拨：本题主要掌握等腰三角形三线合一性质记忆平行线的性质.
【变式2】 已知：如图，等腰直角三角形中，，为中点，、分别为、上的点，且满足．连接．求证：．

【分析】连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得，平分，，从而得出，再利用SAS证出，即可得出结论．
解：连接AD

∵为等腰直角三角形，为中点，
∴，平分，，
∴，
在和中
，
∴，
∴
【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
【变式3】 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.
求证： AE=BE.

解：分析：
由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，结合∠CAB=∠BDE可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE⊥AB，再由∠DAB=∠B证得AD=BD即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.
详解：
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CAB=∠BDE，
∴∠BDE +∠B=90°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥AB，
∵∠DAB=∠B，
∴DA=DB，
∴AE=BE.
点拨：由∠CAB=∠BDE结合∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE⊥AB是解答本题的关键.
类型七、根据格点画等腰三角形
7．如图，在4×4方格中，按要求作出以AB为边，第三个顶点在格点上的等腰三角形ABC．

（1）面积为2
（2）面积为2.5
（3）面积为　 　（要求不与1、2图形全等）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1.5.
【分析】（1）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；
（2）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；
（3）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案．
解：（1）如图（1）所示：△ABC即为所求；
（2）如图（2）所示：△ABC即为所求；
（3）如图（3）所示：△ABC即为所求．
故答案为：1.5．

【点拨】此题主要考查网格中三角形的综合问题，熟练掌握，即可解题.
举一反三：
【变式1】 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下列要求画图：

（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画等腰三角形ABC （只画一个即可）；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形.
【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析.
【分析】（1）以AB为腰，找到C点使BC=AB，连接即可；
（2）将AB绕A点顺时针旋转90°，将AB绕B点逆时针旋转90°，即可找到正方形的另外两个顶点.
解：（1）如图所示，

（2）如图所示，

【点拨】本题考查等腰三角形和正方形的性质，根据图形的性质即可完成作图.
【变式2】 如图，在6×6的方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．

（1）作，使得D为格点．
（2）在上取一点E，使得．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）取格点D，连接CD即可．
（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接EC，点E即为所求．
解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）如图，点E即为所求．

【点拨】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
类型八、找等腰三角形
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求证：AB+BE=CD．
（2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．

【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解．
解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∴DE+BE=BD，
∵BD=CD，
∴AB+BE=CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AD=EC，
∵AD=BC，BD=CD，
∴AD=BC=EC，
∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，已知中，，．
（1）根据要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接；
（2）写出图中一对全等的三角形，和一个等腰三角形．

【答案】（1）答案见解析；（2）△ACD≌△AED或△ACD≌△BED或△AED≌△BED，△ABD为等腰三角形
【解析】
【分析】（1）由题意直接根据垂直平分线的作图方法按照题意进行作图即可；
（2）根据全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义进行分析即可.
解：（1）作图如图所示：

（2）根据全等三角形的性质可知：
图中有△ACD≌△AED或△ACD≌△BED或△AED≌△BED，
根据等腰三角形的定义可知：△ABD为等腰三角形.
【点拨】本题考查的是作图-基本作图以及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的作法和全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义是解答此题的关键．
【变式2】 （1）如图1,△ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).
（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.

【答案】（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形.
【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形．那么只要作AC的垂直平分线就可以了．AC的垂直平分线与AB的交点就是AB的中点；
（2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形．
图2可以将∠B分成24°和48°．图3不能分成等腰三角形．
解：（1）如图,直线CE即为所求；
（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,
分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.
图3不能分割成两个等腰三角形.

【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
类型九、由等边对等角证明等腰三角形
9．如图，已知AD=BC，AC=BD．

（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．
试题解析：（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，
∴△ADB≌△BCA（SSS）；
（2）解：OA=OB，
理由是：∵△ADB≌△BCA，
∴∠ABD=∠BAC，
∴OA=OB．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
举一反三：
【变式1】 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE//BC分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：OD=DB．
（2）若DE=5，求DB+CE的值．

【答案】（1）见解析（2）5
【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出∠DBO=∠OBC，∠DOB=∠OBC，再由等式的性质得到∠DBO=∠DOB，由等角对等边即可得出结论；
（2）根据（1）的结论，同理可得OE=EC，即可得出结论．
解：（1）∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC．
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∴∠DOB=∠DBO，∴OD=DB．
（2）根据（1）得：OD=DB，同理可证：OE=EC，∴BD+EC=DO+OE=DE=5．
【点拨】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，有效的进行等量代换是正确解答本题的关键．

【变式2】 如图，点，，，在同一直线上，，交于点，，，.

（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据AF=CD，可以得到AC=DF，然后再根据题目中的条件，即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质、等腰三角形的性质，可以得到结论成立．
解：（1）证明：∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
∴AC=DF，
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）证明：由（1）知，Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠BCA=∠EFD，
∴∠MCF=∠MFC，
∴MF=MC．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3】 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．

【分析】根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．
解：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．
类型十、等角对等边证明线段相等
10．如图，∠AEF＝∠AFE，AC＝AD，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．

【答案】见解析.
【分析】先利用等角对等边得出AE＝AF，再根据SSS证明△AEC≌△AFD，然后利用全等三角形的性质即可得出结论.
解：证明：∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
在△AEC与△AFD中
，
∴△AEC≌△AFD（SSS），
∴∠C＝∠D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
举一反三：
【变式1】 已知 中，，于点，平分，交于点，于点，说明．

【分析】根据角平分线的性质定理的得出CE=EG，再根据等角对等边得出CF=CE，即可得到结论．
解：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EG⊥AB，
∴CE=EG，∠CAE=∠GAE，∠AEC=90°-∠CAE，
∵CD⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°-∠FAD，
∴∠AFD=∠AEC，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴CF=EG．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）若∠CAD＝45°，求∠BAD的度数；
（2）若点M在边AC上，MNAB交AD的延长线于点N．求证：AM＝MN．
【答案】（1）∠BAD＝45°；（2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得出，从而可得出答案；
（2）首先根据平行线的性质得出，然后通过等量代换得出，最后利用等角对等边即可证明．
解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
．
∵∠CAD＝45°，
；
（2）∵MNAB，
．
，
，
∴AM＝MN．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质及判定，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
【变式3】 已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，．
（1）求证：；
（2）求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）先证明，再利用边角边证明即可得到结论；
（2）利用等腰三角形的性质证明，可得 利用，可得 从而可得结论．
解：（1）∵平分，
∴，
∵，，
在与中，

∴；
（2）∵，，
∴

∵，
∴，
∴，
∵；
∴，
∴．
【点拨】本题考查的是三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．