2021-2022学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期期末数学试题含解析

这是一份2021-2022学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期期末数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再求.【详解】由题知，，又，所以.故选：A.2．命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，，故选：B.3．“”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，故“”是“”的充分不必要条件．故选：B4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.故选：A.5．下列四组函数中导数相等的是(　　)A．f(x)＝1与f(x)＝xB．f(x)＝sin x与f(x)＝－cos xC．f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin xD．f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3【答案】D【详解】　由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等.故选D.6．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是A．24 B．48 C．12 D．60【答案】A【详解】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有，解得．∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为．选A．7．设数列是等差数列，若，则（    ）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】利用等差数列的性质可求．【详解】由等差数列的性质易得，从而，解得．故选：B8．已知各项均为正数的等比数列，，，则（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据等比数列中项的性质，找到已知条件与所求式子之间的中项关系，即可整体求解【详解】由，，有，又因为各项均为正数，所以，故选：C 二、多选题9．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）A． B．C．取得最小值时等于5 D．设，为的前项和，则【答案】ABD【分析】根据给定条件求出等差数列的公差d，再逐项分析计算即可判断作答.【详解】在等差数列中，因，，则公差，则，，A，B正确；，当且仅当，即时取“”，因，且，，，则取最小值时，等于6，C不正确；因，则，D正确.故选：ABD10．已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】因为为等比数列，所以也构成等比数列.根据条件给出的值，求得及公比.【详解】因为为等比数列，所以也构成等比数列.因为，所以，得.因为，所以，解得.因为，所以，，故A错误，B正确；因为，且，所以，故C正确，D错误.故选：BC11．设函数的导函数为，则（    ）A． B．是的极值点C．存在零点 D．在单调递增【答案】AD【解析】求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论．【详解】由题可知的定义域为，对于A，，则，故A正确；对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，，故函数不存在零点，故C错误．故选：AD．12．已知函数，其导函数为，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先令代入函数可得，再对函数求导后把代入导函数中可得，从而可求得【详解】因为，所以．因为，所以．故．故选：BC【点睛】此题考查导数的运算，属于基础题 三、填空题13．函数的导数是___________.【答案】【分析】运用求导法则求导即可.【详解】，故答案为：.14．已知函数，则___________.【答案】5【分析】先求导函数，再将代入计算即可.【详解】函数，则，所以.故答案为：.15．曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】解：，当时，，所以曲线在点处的切线方程为.故答案为：.16．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.【答案】##【分析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案．【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：. 四、解答题17．数列的通项公式是.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？【答案】(1)(2)是，第16项 【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项；（2）令，求出方程的解，即可判断．【详解】（1）解：数列的通项公式是．这个数列的第4项是：．（2）解：令，即，解得或（舍，是这个数列的项，是第16项．18．记为等差数列的前项和，已知，.（1）求公差及的通项公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1），；（2），最小值为.【解析】（1）设的公差为，由题意得，再由可得，从而可求出的通项公式；（2）由（1）得，从而可求出其最小值【详解】（1）设的公差为，由题意得.由得.所以的通项公式为.（2）由（1）得.所以时，取得最小值，最小值为19．已知数列的前项和为，且，数列的前项积为，且.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据求出，根据求出；（2）用错位相减法即可得到答案.【详解】（1）时，；时，，经检验，当时，满足，因此.时，；时，，经检验，当时，满足，因此.（2）由（1）知，，，两式相减得故.20．已知函数，求的解析式.【答案】.【分析】先对函数求导，再利用条件解得参数，从而得到的解析式.【详解】，，又，则有由①②解得：所以的解析式是21．已知函数，求函数的极值.【答案】见详解.【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进而求得极值.【详解】，定义域为R，.①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.②当时，令，得， .当， ；当 ， ；∴在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，极小值为，无极大值.综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.22．已知（且）．（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在上的最小值；（2）当时，求证：．【答案】（1）；2；（2）证明见解析．【分析】（1）求导并根据即可得，检验满足题意，再根据导函数求上的单调区间，即可求解；（2）令，进而证明函数的最小值大于0即可.【详解】（1）函数的定义域为，，，所以（经验证满足题意）所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取最小值为所以在的最小值为2；（2）当时，令，，令，因为恒成立，所以在上单调递增，，由零点存在性定理可得存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，，由二次函数性质可得，所以，即，得证．【点睛】本题考查导数求函数的最值，证明不等式问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为求函数的最小值问题，其中包含了隐零点的问题求解.