2021-2022学年青海省西宁市大通县、湟源县高二下学期期末考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年青海省西宁市大通县、湟源县高二下学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时

A．y平均增加3个单位 B．y平均减少3个单位

C．y平均增加5个单位 D．y平均减少5个单位

【答案】D

【分析】根据回归方程中变量的系数可得结论．

【详解】由题意可得，在回归方程中，当变量增加一个单位时，平均减少5个单位．

故选D．

【点睛】本题考查对线性回归方程的理解，解题时根据方程中变量的系数可得结论，即当的系数为正时，随的增大而增大；当的系数为负时，随的增大而减小．

2．在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数为(　　)

A．0.95 B．0.81 C．0.74 D．0.36

【答案】A

【分析】比较相关指数的大小，越接近于1，模型的拟合效果越好．

【详解】在两个变量与的回归模型中，它们的相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，在题目所给的四个数据中0.95是最大的相关指数，所以选A．

【点睛】本题考查相关指数，在回归模型中，相关指数 越接近于1，模型的拟合效果越好，属于简单题．

3．按照图1~图3的规律，第10个图中圆点的个数为个．

A．36 B．40 C．44 D．48

【答案】B

【分析】求出前4个图中的点数，归纳出“点数图序号”，由此求出第10个图中圆点的个数.

【详解】图1中的点数为，

图2中的点数为，

图3中的点数为，

图4中的点数为，

...

由此，可归纳猜想：点数图序号，

则图10中的点数为.

故选：B.

【点睛】本题考查了归纳推理的应用，属于基础题.

4．用反证法证明命题：“若、，能被5整除，则、中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是（       ）

A．、都能被5整除 B．、都不能被5整除

C．、有一个能被5整除 D．、有一个不能被5整除

【答案】B

【分析】本题可根据反证法的性质得出结果.

【详解】由命题和反证法易知，

假设的内容是“、都不能被5整除”，

故选：B.

5．复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．无解

【答案】C

【分析】根据复数对应的点在第三象限，让实部虚部均小于0，计算得解.

【详解】解：化简可得：复数，

因为其对应的点在第三象限内，所以，解得．

故选：C.

6．

A．2 B．6 C．10 D．8

【答案】B

【详解】解：由微积分基本定理可知： .

本题选择B选项.

7．函数在处有极值10，则点为（　　）

A． B．

C．或 D．不存在

【答案】B

【详解】试题分析：，则，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,为极小值点,符合,故选B

【解析】1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.

【易错点睛】

本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A，认为两组解都符合，一定要注意检验.

8．在的展开式中，的系数为12，则的值为（       ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】先写出通项公式，即可求出a.

【详解】的展开式的通项为，

∵的系数为12，

∴当6-2r=4时，解得r=1，

有，即-6a=12，解得：a=-2.

故选：B

【点睛】方法点睛：二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．

9．若，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：令，令

，故选B.

【解析】二项式展开式.

10．已知，则等于（       ）

A．0 B． C．2 D．1

【答案】B

【分析】对函数求导，在导函数中代入，即得.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴．

故选：B.

11．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）

A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】C

【分析】【详解】恰有2个空座位相邻，相当于2个空位与第3个空位不相邻，

先排3个人，将2个空位看作一个整体，然后插空，

从而不同的坐法共有.

12．已知直线的参数方程：（为参数），曲线的极坐标方程：，求直线被曲线截得的弦长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据参数方程与普通方程互化、极坐标与直角坐标互化的方法可得直线和曲线的直角坐标方程，由此可求得曲线的圆心到直线的距离和曲线的半径，利用垂径定理可求得结果.

【详解】由直线参数方程得其普通方程为：；

由得：，

，即曲线的直角坐标方程为：，

则曲线是以为圆心，半径的圆，

圆心到直线的距离，

直线被曲线截得的弦长为.

故选：B.

二、填空题

13．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.

【答案】

【解析】根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.

【详解】,

.

故答案为：

【点睛】本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.

14．方程的根为______．

【答案】11

【分析】利用排列组合数公式即得.

【详解】因为，

所以，

所以，

解得或，又，

所以．

故答案为：11.

15．与曲线相切于处的切线方程是______．

【答案】

【分析】先求出曲线的导函数,然后求出在处的导数,从而求出切线的斜率,利用点斜式方程求出切线方程即可．

【详解】∵曲线,

∴,

∴在处切线的斜率为

∴曲线在点处切线方程为,即．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于基础题．

16．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.

【答案】20

【分析】利用导函数求函数的最值即得.

【详解】∵f′(x)＝3x2－3，

∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.

∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．

∴f(x)min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.

又∵f(0)＝－a，f（3）＝18－a，

∴f(0)＜f（3）．

∴f(x)max＝f（3）＝18－a＝m，

∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.

故答案为：20.

三、解答题

17．已知复数,,i为虚数单位.

（1）若z为纯虚数,求实数a的值;

（2）若z在复平面内对应的点在直线上求实数a的值.

【答案】(1)2;(2).

【解析】（1）根据纯虚数实部为零，虚部不为零列式，由此求得的值.

（2）将复数对应点的坐标代入直线，解方程求得的值.

【详解】(1)若z为纯虚数,则,且,解得.

(2)z在复平面内对应的点为,因为该点在直线上,所以,解得.

【点睛】本小题主要考查纯虚数的概念，考查复数对应点的坐标，属于基础题.

18．某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生就餐“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份调查问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下列联表：

（1）求表中x，y的值；

（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．

附：独立性检验统计量，其中．

【答案】（1）；（2）；理由见解析.

【分析】（1）由表格列方程组，即可求得x，y及m的值；

（2）据所给的数据列出列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较，即可求得最精确的P的值．

【详解】解：（1）由题意可知：，解得：，

∴，

（2），

，

所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即．

【点睛】本题考查列联表、独立性检验中的卡方系数计算，考查运算求解能力，属于基础题.

19．已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；

【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.

【详解】试题分析：（1）由导数几何意义得，求导数，列方程，解的值.再解导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间；（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即,利用导数确定函数最小值，最后解不等式即得实数的取值范围.

试题解析：（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，

所以，解得.所以，.

由解得；由解得，

所以的单调增区间是，单调减区间是.

（2），由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值，，

因为对于都有成立，所以只须即可，

即，解得.

20．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量X的概率分布及数学期望．

【答案】（1）6（2）=

【详解】（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，

由题意知=，即，化简得．

解得或（舍去） 故袋中原有白球的个数为6.

（2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4.

；；

；.

所以取球次数X的概率分布列为：

所求数学期望为E（X）=1+2+3+4=

21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)已知点，设直线与曲线C交于M，N两点，求的值.

【答案】(1)，；

(2)3.

【分析】（1）根据互化的公式即可得到曲线的直角坐标方程，直线的参数方程消去参数，可得直线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，利用韦达定理即得．

【详解】(1)曲线C的极坐标方程为，

整理得：，

所以，即；

直线的参数方程为（t为参数）．

转换为直角坐标方程为：．

(2)把直线的参数方程为（t为参数）．

代入圆的直角坐标方程得到：，

设M、N对应的参数为、，则，

所以．

22．已知函数.

（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【分析】（1）利用导数进行求解，即在上有解．可得在正数范围内至少有一个解，通过参变分离，转化为最值问题求解；

（2）函数在上单调递减转化为的导函数在上小于等于零恒成立，进而转化为最值求解．

【详解】解：（1）因为，，

所以，.

因为在上存在单调递减区间，

所以当时，有解，即有解.

设，所以只要即可.

而，所以.所以.

所以实数的取值范围为.

（2）因为在上单调递减，

所以当时，恒成立，即恒成立.

由（1）知，所以，

而，

因为，所以，所以（此时），所以，

所以实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解，考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．