2022-2023学年七年级数学上学期期末专题05 经典难点之动点与数轴（五大考点）

这是一份2022-2023学年七年级数学上学期期末专题05 经典难点之动点与数轴（五大考点），共39页。试卷主要包含了操作探究，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面等内容，欢迎下载使用。
经典难点之动点与数轴（五大考点）
一．跳蚤类-点的跳动
1．如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为 　 　；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为 　 　．

2．如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（　　）

A．﹣5 B．0 C．5 D．10
3．点P从原点向距离原点左侧1个单位的A点处跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到AA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到AA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，P点表示的数为　 　．

4．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（　　）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
二．折叠类---可用中点公式（距离公式）
5．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数﹣1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：
（1）表示数﹣2的点与表示数 　 　的点重合；表示数7的点与表示数 　 　的点重合．
（2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 　 　；点B表示的数是 　 　；
（3）已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？
6．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
操作一：
（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与　 　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　 　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．

7．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：

若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）
①则数轴上数3表示的点与数 　 　表示的点重合．
②若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是 　 　．
③若数轴上M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是 　 　．则N点表示的数是 　 　．
8．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 　 　．

9．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．

三．距离类
10．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．
（1）当x＝　 　秒时，点P到达点A．
（2）运动过程中点P表示的数是　 　（用含x的代数式表示）；
（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．

11．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝　 　；PC＝　 　．
（2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t＝　 　，点P、Q相遇，此时点Q运动了　 　秒．
②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长．

12．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．

13．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　 　，点P表示的数是　 　（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

四．新定义类
14．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．

（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；
（2）①若点P运动到原点O时，此时点P　 　关于A→B的“好点”（填是或者不是）；
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；
（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．
15．在一张长方形纸条上画一条数轴，我们定义：点M，N为数轴上任意两点，若折叠纸条使点M与点N刚好重合，折痕与数轴的交点为点Q，我们称点Q为点M和点N的“折点”．
例如：若折叠纸条，使数轴上表示﹣2的点M与表示2的点N重合，则原点为点M和点N的“折点”．

如图2，数轴上依次有三点A，B，C，它们在数轴上表示的数依次为﹣1，3，5．
（1）若将数轴折叠，使A，C两点重合，则点A和点C的“折点”表示的数是 　 　，此时与点B重合的点表示的数是 　 　；
（2）若线段BC以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，运动时间为t秒．
当t为何值时，A，B，C三个点中，恰好一点为另外两点的“折点”？
16．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？

17．如图1，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“长中点”，线段AC、BC称作互为“长中点”伴侣线段．

（1）若点C为图1中线段AB的“长中点”AC＝12（AC＜BC），则AB＝　 　；
（2）若点D也是图1中线段AB的“长中点”（不同于点C），则AC　 　BD（填“＝”或“≠”）．
【解决问题】如图2，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；
（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“长中点”，求线段MN的长；
（4）图2中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“长中点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．

五．线段和差类
18．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝　 　cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为　 　；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　 　；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．

19．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝　 　；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．

20．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m﹣n．
如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 　 　，点P表示的数为 　 　（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR﹣OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离）

21．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点M是A，B之间的一个动点，其对应的数为m，请化简|2m|（请写出化简过程）；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

六．中点类
22．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．
（1）点B表示的数是　 　；
（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是　 　；
（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．

23．已知数轴上的点A和点B之间的距离为16个单位长度，点A在原点的左边，距离原点4个单位长度，点B在原点的右边．
（1）点A所对应的数是 　 　，点B对应的数是 　 　．
（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，求当EF＝4时，点E对应的数（列方程解答）
（3）若已知在数轴上的点M从点A出发向右运动，速度为每秒a个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2a个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动过程中，线段OP的值减去线段AM的值是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
24．如图，点A表示的数为﹣3，线段AB＝12（点B在点A右侧），动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点N从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动）．当点M到达B点时，M、N两点都停止运动．设点M的运动时间为x秒．
（1）当x＝2时，线段MN的长为 　 　．
（2）当M、N两点第一次重合时，求线段BN的长；
（3）是否存在某一时刻，使点BN的中点恰好与点M重合，若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

25．问题探究：
（1）如图①，将两根长度为6cm的木棒放置在数轴（单位长度为1cm）上，第一根的两端分别与数轴上表示2的点和点A重合，第二根的两端分别与数轴上点A和点B重合，则图中点A所表示的数是 　 　，点B所表示的数是 　 　；

（2）如图②，将一根未知长度的木棒放置在数轴（单位长度为1cm）上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与数轴上的点D重合．若将木棒沿数轴向右移动，当它的左端移动到点D时，右端在数轴上所对应的数为26；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端移动到点C时，左端在数轴上所对应的数为2．由此可得这根木棒的长为 　 　cm；

（3）在（2）的条件下，若数轴上有一点P，点P到木棒CD中点的距离为16个单位长度，则点P所表示的数是 　 　．


26．如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．

（1）点B在数轴上表示的数是　 　，点C在数轴上表示的数是　 　，线段BC的长＝　 　；
（2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
（3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？

一．跳蚤类-点的跳动
1．如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为 　5　；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为 　58　．

试题分析：OA＝10个单位，A1是OA的中点，故A1表示的数是5，距离原点的距离就是5；依次类推，四次跳动后，距离原点的距离为10×124=58．
答案详解：解：根据题意，A1是OA的中点，而OA＝10，
所以A1表示的数是10×12=5；
A2表示的数是10×12×12=10×122；
A3表示的数是10×123；
A4表示的数是10×124=10×116=58；
所以答案是：5；58．
2．如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（　　）

A．﹣5 B．0 C．5 D．10
试题分析：设P0所表示的数是x，归纳出Pn＝x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，再根据P10＝0，求出x的值即可．
答案详解：解：设P0所表示的数是x，
由题意知，P1所表示的数是x+1，
P2所表示的数是x+1﹣2，
P3所表示的数是x+1﹣2+3，
...，
Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，
∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10，
∵P10＝0，
即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0，
∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0，
即x﹣5＝0，
解得x＝5，
所以选：C．
3．点P从原点向距离原点左侧1个单位的A点处跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到AA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到AA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，P点表示的数为　−6364　．

试题分析：根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的12处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的(12)2处，则跳动6次后，即跳到了离原点的126处，依此即可求解．
答案详解：解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的12处，
第二次从A1点跳动到A2处，即在离A点的（12）2处，
…
则第6次跳动后，该质点离点A的距离为（12）6=164．
1−164=6364，
所以答案是：−6364．
4．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（　　）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
试题分析：数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
答案详解：解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]
＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040）
＝﹣2020，
所以选：C．
二．折叠类---可用中点公式（距离公式）
5．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数﹣1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：
（1）表示数﹣2的点与表示数 　6　的点重合；表示数7的点与表示数 　﹣3　的点重合．
（2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 　﹣4　；点B表示的数是 　8　；
（3）已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？
试题分析：（1）先判断出表示数﹣1的点与表示数5的点关于表示数2的点对称，即可得出结论；
（2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论；
（3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得出结论．
答案详解：解：（1）由折叠知，表示数﹣1的点与表示数5的点关于表示数2的点对称，
∴表示数﹣2的点与表示数6的点关于表示数2的点对称，
表示数7的点与表示数﹣3的点关于表示数2的点对称，
所以答案是：6，﹣3；
（2）∵折叠后点A与点B重合，
∴点A和点B关于表示数2的点对称，
∵A，B两点之间距离为12，
∴点A和点B到表示数2的点的距离都为12×12＝6，
∴点A表示的数为2﹣6＝﹣4，点B表示的数为2+6＝8，
所以答案是：﹣4，8；
（3）如图，由（2）知，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为8，
设点M表示的数为m，

①当点M在点A左侧时，m＜0，
∴（MO+BO）+（MO﹣AO）＝2020，
∴（﹣m+8）+（﹣m﹣4）＝2020，
∴m＝﹣1008，
②当点M在点B的右侧时，m＞0，
∴（MO+BO）+MO﹣AO）＝2022，
∴（m﹣8）+（m+4）＝2020，
∴m＝1012，
即点M表示的数为1012或﹣1008．
6．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
操作一：
（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与　3　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　﹣3　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．

试题分析：（1）1与﹣1重合，可以发现1与﹣1互为相反数，因此﹣3表示的点与3表示的点重合；
（2）①﹣1表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数﹣3表示的点重合；
②由①知折痕点为1，且A、B两点之间距离为11，则A表示1﹣5.5＝﹣4.5，B点表示1+5.5＝6.5．
答案详解：解：（1）∵1与﹣1重合，
∴折痕点为原点，
∴﹣3表示的点与3表示的点重合．
所以答案是：3．

（2）①∵由表示﹣1的点与表示3的点重合，
∴可确定折痕点是表示1的点，
∴5表示的点与数﹣3表示的点重合．
所以答案是：﹣3．
②由题意可得，A、B两点距离折痕点的距离为11÷2＝5.5，
∵折痕点是表示1的点，
∴A、B两点表示的数分别是﹣4.5，6.5．
7．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：

若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）
①则数轴上数3表示的点与数 　﹣5　表示的点重合．
②若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是 　﹣7或3　．
③若数轴上M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是 　1008　．则N点表示的数是 　﹣1010　．
试题分析：①数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，可得数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合；
②点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是﹣7或3；
③依据M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1008，N点表示的数是﹣1010．
答案详解：解：①∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，
所以数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合；
所以答案是：﹣5；
②点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，
∵A、B两点经折叠后重合，
∴当点A表示﹣5时，﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣1+4＝3，
当点A表示5时，5﹣（﹣1）＝6，﹣1﹣6＝﹣7，
∴B点表示的数是﹣7或3；
所以答案是：﹣7或3；
③M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，
∴﹣1+12×2018＝1008，﹣1−12×2018＝﹣1010，
又∵M点表示的数比N点表示的数大，
∴M点表示的数是1008，N点表示的数是﹣1010，
所以答案是：1008，﹣1010．
8．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 　﹣2　．

试题分析：设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，可以表示出AC的距离，在根据A′B＝3，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程求解即可．
答案详解：解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B点表示的数为9，
∴点A′表示的数为9+3＝12，
根据折叠得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
所以答案是：﹣2．
9．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．

试题分析：（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；
（2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
答案详解：解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x=163．
故相遇点M所对应的数是163．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
三．距离类
10．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．
（1）当x＝　5　秒时，点P到达点A．
（2）运动过程中点P表示的数是　2x﹣4　（用含x的代数式表示）；
（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．

试题分析：（1）直接得出AB的长，进而利用P点运动速度得出答案；
（2）根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案；
（3）利用当点P运动到点C左侧2个单位长度时，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，分别得出答案．
答案详解：解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，
∴AB＝10，
∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动时间为10÷2＝5（秒），
所以答案是：5；

（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；
所以答案是：2x﹣4；

（3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1，
当点P运动到点C左侧2个单位长度时，
2x﹣4＝1﹣2
解得：x＝1.5，
当点P运动到点C右侧2个单位长度时，
2x﹣4＝1+2
解得：x＝3.5
综上所述，x＝1.5或3.5．
11．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝　t　；PC＝　36﹣t　．
（2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t＝　21　，点P、Q相遇，此时点Q运动了　5　秒．
②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长．

试题分析：（1）根据题意容易得出结果；
（2）①根据路程和＝20，列出方程即可求解；
②根据两点间的距离，要对t分类讨论，t不同范围，可得不同PQ．
答案详解：解：（1）PA＝t；PC＝36﹣t；
所以答案是：t，36﹣t；

（2）①有依题意有
t+3（t﹣16）﹣16＝20，
解得：t＝21，
t﹣16＝21﹣16＝5．
故当t＝21，点P、Q相遇，此时点Q运动了5秒．
所以答案是：21，5；

②当16≤t≤21时 PQ＝36﹣t﹣3（t﹣16）＝84﹣4t；
当21＜t≤28时 PQ＝3（t﹣16）+t﹣36＝4t﹣84．
12．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．

试题分析：（1）根据左减右加可求点B所对应的数；
（2）先根据时间＝路程÷速度，求出运动时间，再根据路程＝速度×时间求解即可；
（3）分两种情况：运动后的B点在A点右边4个单位长度；运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可．
答案详解：解：（1）﹣2+4＝2．
故点B所对应的数是2；
（2）（﹣2+6）÷2＝2（秒），
4+（2+2）×2＝12（个单位长度）．
故A，B两点间距离是12个单位长度．
（3）运动后的B点在A点右边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x＝12﹣4，
解得x＝4；
运动后的B点在A点左边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x＝12+4，
解得x＝8．
故经过4秒或8秒A，B两点相距4个单位长度．
13．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　﹣4　，点P表示的数是　6﹣6t　（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

试题分析：（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5；
②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可．
答案详解：解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
四．新定义类
14．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．

（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；
（2）①若点P运动到原点O时，此时点P　不是　关于A→B的“好点”（填是或者不是）；
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；
（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．
试题分析：（1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离即可得到结论；
（2）①先根据数轴上两点的距离表示出PA和PB的长，再根据好点的定义即可求解；
②根据题意可得PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，再根据好点的定义即可求解；
（3）分五种情况进行讨论：当点A是关于P→B的“好点”时；当点A是关于B→P的“好点”时；当点P是关于A→B的“好点”时；当点P是关于B→A的“好点”时；当点B是关于P→A的“好点”时，分别代入计算即可．
答案详解：解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，
∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴P为AB的中点，
∴BP＝PA=12AB＝6，
∴点P表示的数是﹣2；
（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，
∵PA≠3PB，
∴点P不是关于A→B的“好点”；
所以答案是：不是；
②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，
PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，
∴t+8＝3|4﹣t|，
解得t＝1或t＝10，
所以点P的运动时间为1秒或10秒；
（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，
PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，
分五种情况进行讨论：
①当点A是关于P→B的“好点”时，
|PA|＝3|AB|，
即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；
②当点A是关于B→P的“好点”时，
|AB|＝3|AP|，
即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；
或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；
③当点P是关于A→B的“好点”时，
|PA|＝3|PB|，
即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；
④当点P是关于B→A的“好点”时，
|PB|＝3|AP|，
即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；
或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；
⑤当点B是关于P→A的“好点”时，
|PB|＝3|AB|，
即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．
综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．
15．在一张长方形纸条上画一条数轴，我们定义：点M，N为数轴上任意两点，若折叠纸条使点M与点N刚好重合，折痕与数轴的交点为点Q，我们称点Q为点M和点N的“折点”．
例如：若折叠纸条，使数轴上表示﹣2的点M与表示2的点N重合，则原点为点M和点N的“折点”．

如图2，数轴上依次有三点A，B，C，它们在数轴上表示的数依次为﹣1，3，5．
（1）若将数轴折叠，使A，C两点重合，则点A和点C的“折点”表示的数是 　2　，此时与点B重合的点表示的数是 　1　；
（2）若线段BC以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，运动时间为t秒．
当t为何值时，A，B，C三个点中，恰好一点为另外两点的“折点”？
试题分析：（1）先找出折点表示的数，然后用数轴上两点间距离计算即可；
（2）分三种情况，点B为折点，点C为折点，点A为折点．然后用两个点表示的数相加除以2等于折点表示的数来计算即可．
答案详解：解：（1）∵−1+52=2，
∴点A和点C的“折点”表示的数是2，
设与点B重合的点表示的数是x，
2﹣x＝3﹣2，
∴x＝1，
与点B重合的点表示的数是1，
所以答案是：2，1；
（2）由题意得：点B向左运动后表示的数是：3﹣t，点C向左运动后表示的数是：5﹣t，
当点B为折点时，−1+5−t2=3﹣t，则t＝2，
当点C为折点时，−1+3−t2=5﹣t，则t＝8，
当点A为折点时，3−t+5−t2=−1，则t＝5，
答：t的值为2，8或5．
16．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　G　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　﹣4或﹣16　．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？

试题分析：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
答案详解：解：（1）根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，
所以答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16．
所以答案是﹣4或﹣16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，

当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，

当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，

当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；

第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，

当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，

N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
17．如图1，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“长中点”，线段AC、BC称作互为“长中点”伴侣线段．

（1）若点C为图1中线段AB的“长中点”AC＝12（AC＜BC），则AB＝　36　；
（2）若点D也是图1中线段AB的“长中点”（不同于点C），则AC　＝　BD（填“＝”或“≠”）．
【解决问题】如图2，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；
（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“长中点”，求线段MN的长；
（4）图2中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“长中点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．

试题分析：（1）由BC＝2AC即可得答案；
（2）求出BD即可得答案；
（3）画出图形分类讨论；
（4）画出图形分情况讨论即可．
答案详解：解：（1）∵点C为线段AB的“长中点”，AC＝12（AC＜BC），
∴BC＝2AC，
∵AC＝12，
∴BC＝24，
∴AB＝AC+BC＝36，
所以答案是：36；
（2）∵点D也是线段AB的“长中点”（不同于点C），
∴AD＝2BD，
而AD+BD＝36，
∴BD＝12，
∵AC＝12，
∴AC＝BD，
所以答案是：＝；
（3）∵数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F，
∴OF＝1+5＝6，
M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“长中点”，
①M、N为线段OF的同一个“长中点”时，MN＝0，
②M、N为线段OF的不同“长中点”，且MF＝2OM，ON＝2FN，如答图1：

∵MF＝2OM，OM+FM＝6，
∴OM＝2，
∵ON＝2FN，ON+FN＝6，
∴ON＝4，
∴MN＝ON﹣OM＝2，
③M、N为线段OF的不同“长中点”，且OM＝2FM，FN＝2ON，如答图2：

∵OM＝2FM，OM+FM＝6，
∴OM＝4，
∵FN＝2ON，ON+FN＝6，
∴ON＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝2，
总上所述，MN的长为0或2；
（4）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“长中点”伴侣线段，分以下四种情况：
①G在线段EF上，EG＝2FG，如答图3：

∵EG＝2FG，EG+FG＝5，
∴EG=103，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+103=133，
②G在线段EF上，且FG＝2EG，如答图4：

∵FG＝2EG，EG+FG＝5，
∴EG=53，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+53=83，
③G在线段EF外，且EF＝2FG，如答图5：

∵EF＝2FG，EF＝5，
∴FG＝2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5＝8.5，
④G在EF外，且FG＝2EF，如答图6：

∵FG＝2EF，EF＝5，
∴FG＝10，
∴G表示的数为1+5+10＝16，
总上所述，G表示的数为：133或83或8.5或16．
五．线段和差类
18．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝　5　cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为　﹣5或3　；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　﹣1+x　；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．

试题分析：（1）根据题意容易画出图形；
（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论．
答案详解：解：（1）如图所示：
（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；
设D表示的数为a，
∵AD＝4cm，
∴|﹣1﹣a|＝4，
解得：a＝﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
所以答案是：5，﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
所以答案是：﹣1+x；
（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝（5+3t）cm，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝（2+3t）cm，
∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3（cm），
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．

19．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝　1　；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．

试题分析：（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
答案详解：解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
所以答案是：1；
（2）∵AP+BP＝8
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8
∴x＝﹣3
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8
∴x＝5
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2
AP＝t+6+3t＝4t+6
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
20．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m﹣n．
如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 　﹣8　，点P表示的数为 　10﹣5t　（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR﹣OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离）

试题分析：（1）根据两点间的距离公式，以及路程＝速度×时间即可求解；
（2）①根据时间＝路程差÷速度差，列出算式计算即可求解；
②分两种情况：相遇前相距6个单位长度；相遇后相距6个单位长度；进行讨论可求点P表示的数；
（3）用含t的式子表示出QR﹣OP+mOR，根据与t无关求得m值以及QR﹣OP+mOR的定值．
答案详解：解：（1）由题意得，点B表示的数是10﹣18＝﹣8，点P表示的数是10﹣5t，
所以答案是：﹣8，10﹣5t；
（2）①18÷（5﹣3）＝9（秒）．故点P运动9秒时追上点Q；
②相遇前相距6个单位长度，
依题意得5t﹣3t＝18﹣6，解得t＝6，
10﹣6×5＝﹣20．则点P表示的数为﹣20；
相遇后相距6个单位长度，
依题意得5t﹣3t＝18+6，解得t＝12，
10﹣12×5＝﹣50．则点P表示的数为﹣50．
综上所述，点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为﹣20，﹣50；
（3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：﹣8+3t，4t，10+5t，
因为点﹣8+3t＜4t＜10+5t，
所以QR＝4t﹣（﹣8+3t）＝4t+8﹣3t＝t+8，OP＝10+5t，OR＝4t，
所以QR﹣OP+mOR＝t+8﹣（10+5t）+4mt＝t+8﹣10﹣5t+4mt＝（4m﹣4）t﹣2，
所以当4m﹣4＝0，即m＝1时，QR﹣OP+mOR的值与时间t无关，是个定值，这个定值为﹣2．
21．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a＝　﹣1　，b＝　1　，c＝　5　；
（2）数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点M是A，B之间的一个动点，其对应的数为m，请化简|2m|（请写出化简过程）；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

试题分析：（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据（c﹣5）2+|a+b|＝0，即可求出a、c；
（2）先得出点A、C之间（不包括A点）的数是负数或0，得出m≤0，再化简|2m|即可；
（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．
答案详解：解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1．
∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴a＝﹣1，c＝5；
所以答案是：﹣1；1；5；

（2）由（1）知，a＝﹣1，b＝1，a、b在数轴上所对应的点分别为A、B，
①当﹣1＜m＜0时，|2m|＝﹣2m；
②当m≥0时，|2m|＝2m．

（3）BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴BC＝3t+4，AB＝3t+2，
∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2．

六．中点类
22．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．
（1）点B表示的数是　﹣4　；
（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是　0　；
（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．

试题分析：（1）根据数轴即可求解；
（2）根据﹣4+点B运动的速度×t＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；
（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据中点坐标公式即可求出此时的t值．综上即可得出结论．
答案详解：解：（1）点B表示的数是﹣4；
（2）2秒后点B表示的数是﹣4+2×2＝0；
（3）①当点O是线段AB的中点时，OB＝OA，
4﹣3t＝2+t，
解得t＝0.5；
②当点B是线段OA的中点时，OA＝2OB，
2+t＝2（3t﹣4），
解得t＝2；
③当点A是线段OB的中点时，OB＝2 OA，
3t﹣4＝2（2+t），
解得t＝8．
综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8．
所以答案是：﹣4；0．
23．已知数轴上的点A和点B之间的距离为16个单位长度，点A在原点的左边，距离原点4个单位长度，点B在原点的右边．
（1）点A所对应的数是 　﹣4　，点B对应的数是 　12　．
（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，求当EF＝4时，点E对应的数（列方程解答）
（3）若已知在数轴上的点M从点A出发向右运动，速度为每秒a个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2a个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动过程中，线段OP的值减去线段AM的值是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
试题分析：（1）根据题意找出A与B点对应的数即可；
（2）设经过x秒时，EF＝4．分两种情况进行讨论：①相遇前；②相遇后；
（3）设运动时间是t秒，根据题意列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果．
答案详解：解：（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣4；B对应的数是12．
所以答案是﹣4，12；

（2）设经过x秒时，EF＝4．分两种情况：
①相遇前，根据题意得：x+4+3x＝16，
解得：x＝3．
则点E对应的数为﹣4+1x3＝﹣1；
②相遇后，根据题意得：x﹣4+3x＝16，
解得：x＝5，
则点E对应的数为﹣4+5＝1；

（3）设运动时间是t秒，则AM＝at，PO=12ON=12+2at2，
则PO﹣AM=12+2at2−at＝6．
即PO﹣AM为定值，定值为6．
24．如图，点A表示的数为﹣3，线段AB＝12（点B在点A右侧），动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点N从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动）．当点M到达B点时，M、N两点都停止运动．设点M的运动时间为x秒．
（1）当x＝2时，线段MN的长为 　4　．
（2）当M、N两点第一次重合时，求线段BN的长；
（3）是否存在某一时刻，使点BN的中点恰好与点M重合，若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

试题分析：（1）结合图形，表示出AP、AQ的长，可得PQ；
（2）当P，Q两点第一次重合时，点P运动路程+点Q运动路程＝AB的长，列方程可求得；
（3）点Q落在线段AP的中点上有以下三种情况：①点Q从点B出发未到点A；②点Q到达点A后，从A到B；③点Q第一次返回到B后，从B到A，根据AP＝2AQ列方程可得．
答案详解：解：（1）根据题意，当x＝2时，
此时：AM＝2，BN＝3×2＝6，
MN＝AB﹣BN﹣AM＝12﹣2﹣6＝4，
所以答案是：4；
（2）设x秒后，MN、第一次重合，
得：x+3x＝12
解得：x＝3，
∴BN＝3x＝9；
（3）设x秒后，点BN的中点恰好与点M重合，根据题意，
①当点N从点B出发未到点A时，即0＜x＜4时，有
﹣3+x＝9−32x，
解得 x＝4.8（舍去）；
②当点N到达点A后，从A到B时，即4≤x＜8时，有
﹣3+x=32x﹣3，
解得 x＝0（舍去）；
③当点N第一次返回到B后，从B到A时，8≤x＜12时，有
﹣3+x＝21−32x，
解得 x＝9.6；
综上所述：当x＝9.6时，点Q恰好落在线段AP的中点上．
25．问题探究：
（1）如图①，将两根长度为6cm的木棒放置在数轴（单位长度为1cm）上，第一根的两端分别与数轴上表示2的点和点A重合，第二根的两端分别与数轴上点A和点B重合，则图中点A所表示的数是 　8　，点B所表示的数是 　14　；

（2）如图②，将一根未知长度的木棒放置在数轴（单位长度为1cm）上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与数轴上的点D重合．若将木棒沿数轴向右移动，当它的左端移动到点D时，右端在数轴上所对应的数为26；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端移动到点C时，左端在数轴上所对应的数为2．由此可得这根木棒的长为 　8　cm；

（3）在（2）的条件下，若数轴上有一点P，点P到木棒CD中点的距离为16个单位长度，则点P所表示的数是 　﹣2或30　．


试题分析：（1）用2加木棒的长度得点A表示的数，点A表示的数加木棒的长度得点B表示的数；
（2）由题意可得数2与数26之间的线段的长等于木棒长度的三倍，根据这一关系可求结论；
（3）根据（2）可知CD中点表示的数为2+262=14，即可求出点P所表示的数．
答案详解：解：（1）点A所表示的数是2+6＝8，点B所表示的数是8+6＝14；
所以答案是：8，14；
（2）∵数2与数26之间的线段的长等于木棒长度的三倍，
∴这根木棒的长为26−23=8（cm）；
所以答案是：8；
（3）根据（2）可知CD中点表示的数为2+262=14，
∴点P所表示的数为14﹣16＝﹣2或14+16＝30．
所以答案是：﹣2或30．
26．如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．

（1）点B在数轴上表示的数是　﹣10　，点C在数轴上表示的数是　14　，线段BC的长＝　24　；
（2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
（3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？
试题分析：（1）根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可找出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式可求出线段BC的长度；
（2）找出运动时间为t秒时，点B、C在数轴上表示的数，利用两点重合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）找出运动时间为t秒时，点A、B、C、D在数轴上表示的数，进而即可找出点M、N在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段MN的长．
答案详解：解：（1）∵AB＝2，点A在数轴上表示的数是﹣12，
∴点B在数轴上表示的数是﹣10；
∵CD＝1，点D在数轴上表示的数是15，
∴点C在数轴上表示的数是14．
∴BC＝14﹣（﹣10）＝24．
所以答案是：﹣10；14；24．
（2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为t﹣10，点C在数轴上表示的数为14﹣2t，
∵B、C重合，
∴t﹣10＝14﹣2t，
解得：t＝8．
答：当B、C重合时，t的值为8，在数轴上表示的数为﹣2．
（3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为﹣t﹣12，点B在数轴上表示的数为﹣t﹣10，点C在数轴上表示的数为14﹣2t，点D在数轴上表示的数为15﹣2t，
∵0＜t＜24，
∴点C一直在点B的右侧．
∵M为AC中点，N为BD中点，
∴点M在数轴上表示的数为2−3t2，点N在数轴上表示的数为5−3t2，
∴MN=5−3t2−2−3t2=32．
所以答案是：32．