高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用练习题

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1.4 空间向量的应用（精练） 法向量的求法1．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ）A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(       )A． B． C． D． 3．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量．        4．（2022·全国·高二）已知，，．(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)写出平面ABC的一个法向量．   空间向量证平行1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（       ）A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内 2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．  3．（2021·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：.   4．（2022·全国·高二）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE． 5．（2022·全国·高二）如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：． 6．（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．7．（2022广东）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角.求证：CM∥平面PAD. 8．（2022·吉林）如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D． 9．（2021·全国·高二课时练习）四边形为正方形，平面，，.求证：平面.10．（2022福建）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点．求证：直线MN∥平面OCD； 11．（2021·青海）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的点，若平面，试确定点的位置，并说明理由． 空间向量证垂直1．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（       ）A． B． C． D．或 2．（2022·福建泉州）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（       ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面 3．（2022·江苏·连云港高中高二期中）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（       ）A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直B．若直线的方向向量，平面的法向量，则C．若平面，的法向量分别为，，则D．若存在实数使则点共面 4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）给定下列命题，其中正确的命题是（       ）A．若，分别是平面，的法向量，则B．若，分别是平面，的法向量，则C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 5．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）（多选）已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（       ）A． B．C． D． 6．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）（多选）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（       ）A． B．C． D．   7．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，和相交于点O，求证：． 8．（2022西安）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD； 9．（2022·北京）如图，在正三棱柱中，，，分别是，上的点，且，，求证：平面平面．10．（2022·全国·专题练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．        11．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点．求证：（1）；（2）平面．     12．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，．求证：平面．       空间向量求空间角1．（2022·贵州·遵义市第五中学）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D． 2．（2022·青海·海东市第一中学如图，在三棱柱中，，．(1)证明：平面平面．(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．3．（2022·广西）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．        4．（2022·江苏南京·高二期末）如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱的中点，平面．(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．  5．（2022·内蒙古）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．(1)证明：平面平面(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．                6．（2022·四川·成都七中）如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．           空间向量求距离1．（2022·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．(1)证明：平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．                2（2022·上海交大附中）已知正四棱柱，其中．(1)若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．(2)求点到平面的距离3．（2022·北京）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.    4．（2022·北京市第五中学三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .(1)求证： ;(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;(3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.  5．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点E到平面的距离. 6．（2022·山东临沂）在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．(1)点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；(2)若，求点D到平面AEF的最大距离．