人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精练

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1.4 空间向量的应用（精讲）   考点一 法向量的求法【例1-1】（2022·湖北黄冈）若在直线上，则直线的一个方向向量为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵ 在直线上，∴ 直线的一个方向向量，又∵，∴是直线的一个方向向量．故选：D．【例1-2】（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，因为平面，所以为平面的一个法向量，所以平面的一个法向量为，(2)设平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以平面的一个法向量为，(3)设平面的法向量为，因为，所以，令，则所以平面的一个法向量为【一隅三反】1．（2022·全国·高二期末）直线的一个方向向量为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线的一个法向量为，设直线一个方向向量为，则有，故只有D满足条件.故选：D.2．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，．设平面的法向量为．由题意知，，所以，解得，令，得平面的一个法向量是．故选：A3．（2022·江苏·高二课时练习）如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面的法向量；(2)求平面的法向量．【答案】(1)(2)【解析】(1)因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．(2)因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，．设是平面的法向量，则，．所以所以取，则，．于是是平面的一个法向量．考点二 空间向量证平行【例2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．【答案】证明见解析.【解析】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则、、、、、、、，由题意知、、、，∴，．∴，又，不共线，∴.【例2-2】（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【解析】以点D为原点，分别以､与的方向为x､y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则､､､､､､､，M是棱的中点得，.设面的一个法向量为，，，则令，则.又，因为平面，所以平面.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点．求证：，并且．【答案】证明见解析【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为，则,,,;因为，且，所以，并且．2．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【解析】以点D为原点，分别以､与的方向为x､y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则､､､､､､､，M是棱的中点得，.设面的一个法向量为，，，则令，则.又，因为平面，所以平面.3．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.【答案】证明见解析【解析】由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,,,,设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以所以∴平面∥平面.考点三 空间向量证垂直【例3-1】（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（       ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由题意得：，所以，解得：故选：C【例3-2】（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．【答案】证明见解析【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，由于，所以平面.【一隅三反】1．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（       ）A．//  B．  C．//平面  D．平面【答案】B【解析】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B2．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.【答案】证明见解析【解析】设，，，则为空间的一个基底且，，.因为AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以，.在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得.所以，.所以是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1.3．（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：．【答案】证明见解析【解析】证明：由题意，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，．以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系：则，，，，．因为Q为PD的中点，所以，所以，，所以，所以．考点四 空间向量求空间角【例4】（2022·浙江衢州·高二阶段练习）（多选）已知三棱锥的底面是正三角形，则下列各选项正确的是（       ）A．与平面所成角的最大值为B．与平面所成角的最小值为C．若平面平面，则二面角的最小值为D．若、都不小于，则二面角为锐二面角【答案】AC【解析】对于A选项，设点在平面内的射影点为，取的中点，连接、、、，设等边的边长为，则，平面，所以，直线与平面所成角为，平面，平面，则，为等边三角形，为的中点，则，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，，所以，，则，即当平面平面时，取得最大值，A对；对于B选项，由A选项可知，与平面所成角的最大值为，B错；对于C选项，取的中点，过点在平面内作，垂足为点，连接、，则，为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，平面，平面，，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故当平面平面时，则二面角的最小值为，C对；对于D选项，过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，则二面角的平面角为，设，，，，，，取，则，此时为钝角，即二面角为钝二面角，D错.故选：AC.【一隅三反】1．（2022·江西省信丰中学）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)60°(3)【解析】(1)证明：连接，与交于，则为的中点，又分别为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.(2)设是的中点，连接，∵是正方形，为正三角形，∴.又∵面面，交线为，∴平面.以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，令.则，得.设直线与平面所成角为，∴，即直线与平面所成角的正弦值，故所求角大小为60°.(3)由（2）可知，设平面的法向量为，则，令.则，，.设面与面夹角为，∴，∴面与面夹角的余弦值为.2．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：取的中点，连接，，又是的中点，所以，且．因为四边形是矩形，所以且，所以，且．因为是的中点，所以，所以且，所以四边形是平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．(2)因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）．设，所以，．因为，分别为，的中点，所以，，，所以，，．设平面的一个法向量为，由即令，则，，所以．设平面的一个法向量为，由即令，则，，所以．所以．由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面．又平面，所以．又因为，，所以，所以．又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．(2)以 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，，，，．设平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，且，，，，因为所以令，则，，所以．又因为所以令，则，，所以．所以．设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值为．考点五 空间向量求距离【例5】（2022·北京·清华附中高二阶段练习）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】(1)证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，显然平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；(2)解：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；(3)解：由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离；    【一隅三反】1．（2021·广东·广州市玉岩中学高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点.(1)求证：平面；(2)求点C到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有设平面的一个法向量为则即令，则所以，平面的一个法向量为，所以所以面，(2)解：，设平面的一个法向量为，则有即，令，则所以平面的一个法向量为，又所以点C到平面的距高2．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E，F分别为，AC，的中点，，． (1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求点D与平面的距离；(3)求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】(1)由于是的中点，所以，由于分别是的中点，所以,所以平面，所以，由于，所以平面.(2)由（1）可知两两相互垂直，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，设平面的法向量为，则，故可设，，所以到平面的距离为.(3)平面的法向量为，，设平面的法向量为，则，故可设.设二面角的二面角为，由图可知，为钝角，所以，.3．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．(1)求证：；(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【解析】(1)因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB，所以EFDC．又因为EF平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF平面PCD．又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，所以EFGH，又因为EFAB，所以ABGH.(2)因为，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由，则，所以，.设平面PAB的一个法向量为，则可取设平面PDC的一个法向量为＝(x，y，z)，由，，得，取z＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝，所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为．(3)由点到平面的距离公式可得，即点A到平面PCD的距离为.