第1章 空间向量与立体几何 章末测试（基础）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第1章 空间向量与立体几何 章末测试（基础）

一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)

1．（2022·全国·高二专题练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，∴，故选：C．

2．（2022·全国·高二单元测试）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（       ）

A．45° B．60° C．90° D．135°

【答案】A

【解析】依题意，如图所示，根据正方体的性质可知，平面，

∴即为直线与平面所成的角，

又∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故选：A．

3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式：

①．

②．

③．

④．

其中运算结果为向量的共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】对①，；

对②，；

对③，；

对④，，

∴以上4个算式运算的结果都是向量．

故选：D．

4．（2022·重庆南开中学）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】故选：A

5．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】因为，所以，所以，，所以，解得，.故选：C.

6．（2022·山东济南）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，

所以，

因为M为BC中点，N为AD中点，

所以有，

，

根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，

故选：B

7．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设， ，故，,，,

由可知，，即，

又因为为钝角，所以，

由,,可知，，

，整理得，

解得，故选：D.

8．（2022·全国·高二单元测试）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：

①；

②与成角；

③与成异面直线且；

④若与面所成角为，则.

其中正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；

连接、将平移到，则与所成角，即可,故②正确；同理成角，故③错误；

所成角不为， 故④正确.故选:B

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）

9．（2022·山东青岛·高一期末）已知空间向量，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．向量与向量共线

C．向量关于轴对称的向量为

D．向量关于平面对称的向量为

【答案】ABC

【解析】A：因为，所以本选项说法正确；

B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；

C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，

因为点关于轴对称的点的坐标为，

所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；

D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，

因为点关于平面对称点的坐标为，

所以向量关于平面对称的向量为，

故选：ABC

10．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C．为钝角 D．在方向上的投影向量为

【答案】BD

【解析】因为，所以，不垂直，A错，

因为，所以，B对，

因为，所以，所以不是钝角，C错，

因为在方向上的投影向量，D对，

故选：BD.

11．（2022·江苏南通·高二期末）在平行六面体中，，，点在线段上，则（       ）

A．

B．到和的距离相等

C．与所成角的余弦值最小为

D．与平面所成角的正弦值最大为

【答案】BCD

【解析】

对于A，若，易得四边形为菱形，则，又，面，

可知面，则面，显然矛盾，故A错误；

对于B，其中 点在线段 上， 平分 ，且 为线段的垂直平分线 ，又，

可知 上所有点到 与 的距离相等，故 B 正确 ；

对于C，设平行六面体 的边长为 ，易得 ，其中 ，

可得 ，又，

则与所成角即为，当 点运动到 点处时，此时 最小，即 与 所成角的余弦值最小，

  ，故 C 正确；

 易得当 点运动到 点处时，此时 与平面 所成角最大，即正弦值最大，

又

，则，又，，面，则面，

作，垂足为，则，又面且相交，则面，则即为与平面所成角，

则有 ，故正弦值最大为 ， D 正确．

故选：BCD.

12．（2022·江苏宿迁·高二期末）在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】如图建立空间直角坐标系，则、、、

、、、、、，

所以、、、，

所以，故A正确；

，故B正确；

，，，，

所以，，故，即C正确；

因为，所以与不垂直，故D错误；

故选：ABC

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______.

【答案】

【解析】是的中点，

．

故答案为：．

14．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体中，，，则点B到平面的距离为________．

【答案】

【解析】在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，所以，， ，，，，

设平面的法向量为：

，

，令得：

又

点B到平面的距离为：.

故答案为：.

15．（2022·江苏南通·高二期末）试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．

【答案】（答案不唯一）

【解析】根据题意可得，设 ，则设，

即

故 ，不妨令，则，故．

故答案为：

16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．

【答案】

【解析】

则

即线段的长为

故答案为：

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）

17．（2022·四川凉山·高二期末（理））如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．

(1)若E为PA的中点，求证平面PBC；

(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

（1）证明：如图所示，设PB中点为F，连接EF，FC．∵E为PA的中点，∴且．又∵，，∴EFCD为平行四边形，即，且平面PBC，平面PBC，所以，平面PBC．

（2）解：在中，，在中，，∵，，∴．则，所以，又因平面ABCD，以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：所以，，，，所以，，．设平面PAD的一个法向量为，则，取，所以．设直线BP与平面PAD所成的角为，则．所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值是．

18．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．

(1)以为一组基底表示向量；

(2)若，，，求．

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴

；

（2）

．

19．（2022·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，为的中点．

(1)证明：平面AD1E

(2)求直线到平面的距离；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】（1），，四边形为平行四边形，，面，面，平面．

（2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，

则，，，，，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，直线到平面的距离为.

20．（2022·福建泉州·高二期末）在四棱锥中，，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）作于点，平面平面，平面平面∴平面，平面，则又，平面平面，则，平面

（2）取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为则，则今，则设平面的法向量为则，则令，则故故二面角的正弦值为

21．（2022·四川甘孜·高二期末（理））如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.

(1)若为的中点， 证明：平面；

(2)若，，若二面角的大小为，试求的值.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】.（1）证明：连接交于，连接，因为四边形为矩形，为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.

（2）解：由题设平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，平面，平面，，所以，，则、、、，设，其中，则，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，由题可得，因为，解得，此时.

22．（2022·全国·高二专题练习）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【解析】（1），为的中点，，侧面底面，侧面底面，平面，平面；

（2）底面为直角梯形，其中，，，，又平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，易得平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，设二面角夹角为，则，则，二面角的正弦值为；

（3）设线段上存在，使得它到平面的距离为，，到平面的距离，解得或(舍去)，则，则．