数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率同步测试题

2.1 直线的倾斜角与斜率（精讲）

考点一 直线的倾斜角与斜率

【例1-1】（2022·贵州）直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为直线的倾斜角正切值为1，所以倾斜角为.故选：A.

【例1-2】（2022·重庆南开中学）过，两点的直线的倾斜角是（       ）

A．45 B．60° C．120° D．135°

【答案】D

【解析】由已知直线的斜率为，，所以倾斜角．故选：D

【例1-3】（2022·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（          ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；

故选：C

【例1-4】（2022·安徽省亳州市第一中学）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由知斜率为，设其倾斜角为，则，

将直线绕着原点逆时针旋转，则      

故新直线的斜率是.故选：B.

【一隅三反】

1．（2022·四川·成都七中高一期末）直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设倾斜角为，则，则.故选：C.

2．（2022·吉林·四平市第一高级中学）已知直线l：的倾斜角为，则（       ）

A． B．1 C． D．－1

【答案】A

【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.

故选：A

3．（2022·辽宁葫芦岛）已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，则直线的斜率为（       ）

A．－1 B． C． D．1

【答案】C

【解析】设直线的倾斜角为，所以，因为，所以，

因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，所以直线的倾斜角为，

则直线的斜率为.故选：C.

4．（2022·江苏·高二专题练习）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．

(1)；          (2)；

(3)；   (4)．

【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；

(2)存在，斜率为，倾斜角为；

(3)存在，斜率为，倾斜角为；

(4)不存在.

【解析】(1)解：因为，所以经过的直线斜率存在，

所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为

(2)解：因为，所以经过的直线斜率存在，

所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.

(3)解：因为，所以经过的直线斜率存在，

所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.

(4)解：因为，所以经过的直线斜率不存在，

考点二 直线的斜率或倾斜角的取值范围

【例2-1】（2022·江苏·高二专题练习）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，

则当时，，即，当时，，即，

所以直线的斜率k的取值范围是.

故选：D

【例2-2】（2021·北京市第十二中学高二阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】直线的斜率，

设直线的倾斜角为，则，解得.故选：A.

【例2-3】（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵直线过定点，且，，

由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，

解得，

故选：D

【一隅三反】

1．（2022·湖南·长沙一中高一期末）直线的倾斜角的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设直线的倾斜角为，可得，

所以的取值范围为故选：D

2．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为直线的斜率为，且，，因为，.

故选：A.

3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由直线的方程为，所以，

即直线的斜率，由.所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，

由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B

4．（2022·江苏·高二专题练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）

A．或 B．

C． D．

【答案】A

【解析】直线的斜率，直线的斜率，

因为直线l过点，且与线段相交，结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．

故选：A．

5．（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）

A．或 B．

C． D．以上都不对

【答案】A

【解析】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，

结合图形可知或故选：A

考点三 斜率比较大小

【例3】（2020·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由斜率的定义知，.故选：D.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由斜率的定义可知，.故选：A．

2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：

，所以，即，故选：A．

考点四 直线的位置关系

【例4-1】（2022·全国·高二专题练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：

(1)，，，；

(2)，，，；

(3)，，，；

(4)，，，．

【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行

【解析】(1)，，，不共线，因此与平行．

(2)，，又两直线不重合，直线与平行，

(3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；

(4),，直线与不平行，

【例4-2】．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：

(1)，；

(2)，；

(3)，．

【答案】(1)垂直，理由见解析

(2)垂直，理由见解析

(3)垂直，理由见解析

【解析】(1)解：设两条直线，的斜率分别为，，则，，

因为，所以；

(2)设两条直线，的斜率分别为，，则，，

因为，所以；

(3)解：由两个方程，可知轴，轴，所以．

【一隅三反】

1．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：

(1)，；

(2)，；

(3)，；

(4)，．

【答案】(1)平行，理由见解析；

(2)平行，理由见解析；

(3)不平行，理由见解析；

(4)平行，理由见解析；

【解析】(1)由题意得，两直线斜率，所以两直线平行，

又两直线在y轴上截距分别为1和3，所以两直线不重合，所以直线平行.

(2)直线变形可得，直线变形可得，

所以两直线斜率，所以两直线平行，

又两直线在y轴上截距分别为和，所以两直线不重合，所以直线平行.

(3)直线变形可得，直线变形可得，

两直线斜率，所以两直线不平行.

(4)直线变形可得，为横线，斜率，

直线变形可得，为横线，斜率，所以两直线平行，

因为，所以不重合，所以直线平行.

2．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：

(1)，；

(2)，；

(3)，；

(4)，．

【答案】(1)垂直

(2)垂直

(3)不垂直

(4)垂直

【解析】(1)，两直线垂直．

(2)，两直线垂直；

(3)，不垂直；

(4)斜率为0，斜率不存在，两直线垂直．

考点五 已知直线位置关系求参数

【例5-1】（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线与直线平行，则（       ）

A．或0 B． C．1或0 D．1

【答案】D

【解析】当时，两直线分别为，，此时两直线垂直，不平行，不合题意，

当时，因为直线与直线平行，所以，解得，

综上，，故选：D

【例5-2】（2022·四川资阳）已知直线与互相垂直，则（       ）

A． B． C．1 D．1或

【答案】C

【解析】因为直线与互相垂直，所以，解得.

故选：C

【一隅三反】

1．（2022·全国·专题练习）已知，，则满足的的值是（       ）

A． B．0 C．或0 D．或0

【答案】C

【解析】由可得，得或,

当时，，，符合题意；

当时，，，符合题意；

故满足的的值为0或．故选：C.

2．（2022·四川·成都七中）已知直线和直线互相垂直，则实数a的值为（       ）

A．0 B． C．0或 D．0或2

【答案】D

【解析】由题意得，，解得或2.故选：D.

3．（2022·河北保定·高一阶段练习）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】依题意，，解得或，

所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.

故选：A

考点六 直线斜率的运用

【例6-1】（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为___________.

【答案】或5

【解析】因为，所以该直线斜率存在，又，

根据题意得，解得或.故答案为：或.

【例6-2】（2022·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.

【答案】矩形

【解析】，且不在直线上，.

又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.

平行四边形为矩形.故答案为：矩形.

【一隅三反】

1．（2021·全国·高二课前预习）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．

【答案】直角梯形

【解析】由斜率公式，得，，，,

所以，又因为 ,说明与不重合，所以．

因为，所以与不平行．又因为，所以．

故四边形为直角梯形．

2．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.

【答案】或或.

【解析】由题，，

所以kAC=2，，kBC=－3，

设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：

①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，

所以，，，

得x=7，y=5，即

②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，

所以，，

得x=－1，y=9，即

③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC

所以，

得x=3，y=－3，即

所以D的坐标为或或.

3．（2022·全国·高二专题练习）已知，，.

（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；

（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.

【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.

【解析】（1）由题意得，

，，设.

若四边形是平行四边形，则，，

即，解得，即.

若四边形是平行四边形，

则，，

即，解得，即.

若四边形是平行四边形，

则，，

即，解得，即.

综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.

（2）若的坐标为（-1，6），

因为，，

所以，所以，

所以平行四边形为菱形.

若的坐标为（7，2），

因为，，

所以，所以平行四边形不是菱形.

若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.

因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.