人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时训练

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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精练）
1 直线与圆的位置关系
1．（2022·山东滨州）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（       ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】D
【解析】直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
2（2021·黑龙江 ）直线与圆的位置关系是（       ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【解析】圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切．
故选：B
3．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）直线与圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】直线恒过定点，又，即点在圆内部，所以直线与圆相交；故选：A
4．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）直线与圆的位置关系是（       ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】C
【解析】直线即，过定点，
因为圆的方程为，则，所以点在圆内，则直线与圆相交.
故选：C
5．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设过点的直线为l.
（1）当l的斜率不存在时，直线l：.圆的圆心到l的距离为，所以不是圆的切线，不合题意.
（2）当l的斜率存在时，直线l：.由题意可得：，解得：k=2.
因为l与直线垂直，所以，解得：m=-2.
故选：C
6．（2022·全国·高二课时练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.

当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.
设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.
故选：C.
7．（2022·贵州遵义·高二期末（文））若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
8．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由直线可化为，则直线l过定点，
因为直线l：与圆C：有公共点，
所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，
故选：B
9．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，圆心到直线的距离，即，解得
故选：D
10．（2022·浙江·温州中学高二期末）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与圆有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：B.


2 直线与圆的弦长
1．（2021·浙江高二期末）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：D.
2（2022·贵溪市）直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．与k的取值有关
【答案】A
【解析】由于圆的圆心在直线上，
所以截得弦为圆的直径，又其半径为，故截得的弦长为.故选：A
3．（2022·江苏·高二）过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（       ）
A．x+y+1=0 B．x+y-1=0 C．x-y+1=0 D．x-y-1=0
【答案】A
【解析】由题意得，圆的方程为，∴圆心坐标为．
∵直线被圆截得的弦长最大，∴直线过圆心，
又直线过点（-2，1），所以所求直线的方程为，即．故选：A．
4．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知直线：，圆：，则（       ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相交
C．圆被轴截得的弦长为 D．当圆被直线截得的弦最短时，
【答案】BD
【解析】依题意，直线：可化为，
由解得，，即直线过定点，A不正确；
圆：的圆心，半径，，
即点P在圆内，直线与圆恒相交，B正确；
圆心到x轴的距离，则圆被轴截得的弦长为，C不正确；
由于直线过定点，圆心，则直线PC的斜率，
当圆被直线截得的弦最短时，由圆的性质知，，于是得，解得，D正确.
故选：BD
5．（2022·湖北恩施·高二期末）（多选）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（       ）
A．6 B．7 C．8 D．5
【答案】BC
【解析】由，得，
令解得故直线l恒过点.圆心，半径，
，则，
即.
故选：BC.

6.（2022·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆，直线.
（1）证明：直线与圆相交.
（2）设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）证明：直线过定点，
因为，所以点在圆的内部，故直线与圆相交.
（2）圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为，且圆心到直线的距离
因为，所以由，得
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
3 圆与圆的位置关系
1．（2022·西藏 ）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【解析】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径
圆心到直线2x+y+1＝0的距离
由，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
2．（2022·陕西渭南）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（       ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【答案】D
【解析】圆：的圆心为,
圆：的圆心为,
，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，
故或，从而或，
所以或，解得：或
所以实数a等于34或14
故选：D
3．（2022广东）圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】A
【解析】圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆.
圆，表示以为圆心，半径等于3的圆.
两圆的圆心距，，故两个圆相内切.故选：A.
4．（2022·江西 ）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】B
【解析】即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，解得，，圆心，半径为，
，圆心，半径为，
圆心间距离为，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，故选：B.
5．（2022云南）已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】C
【解析】由题意可得，圆的圆心为，半径为5
因为圆关于直线对称，
所以，得，
所以圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距，因为，所以圆与圆的位置关系是相交，
故选：C.
6．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（       ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
7．（2022·湖南岳阳·高二期末）圆与圆外切，则实数_________．
【答案】9
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则
根据题意可得：，即，∴
故答案为：9．
8．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆和圆内切，则m的值为___________．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有，
解得.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．
【答案】
【解析】由题可知：
，即
且
由两圆向外切可知，解得
所以
到直线的距离为，设圆的半径为
则直线被圆所截的弦长为
故答案为：
4 圆与圆的弦长
1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆：与圆：交于、两点，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．
故选：D

2．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆和圆的公共点为，，则（ ）
A． B．直线的方程是
C． D．
【答案】ABD
【解析】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，
，故A正确；
两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B正确；
，，，，所以不正确，故C不正确；
圆心到直线的距离，，故D正确.
故选：ABD
3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为 B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为
，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD
4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】(1)证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
(2)解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
(3)由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
5．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）已知圆：，圆：.
(1)证明：圆与圆相交；
(2)若圆与圆相交于A，B两点，求.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)圆的标准方程为，圆心为，半径为2，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
∴圆和圆的圆心之间的距离为，
由，可知：圆和圆相交，得证.
(2)由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为，
圆的圆心到直线AB的距离为，
∴.
6．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆和圆.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在直线的方程；
(3)求公共弦的长度.
【答案】(1)相交
(2)
(3)
【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为
，,
则圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径.
，，，
，两圆相交.
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.
(3)
由,
解得或,
两圆的交点坐标为和.
两圆的公共弦的长度为.
5 切线问题
1．（2022·全国·高二课时练习）设圆，圆，则圆，的公切线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．故选：B．
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（       ）
A．－4 B．－2 C． D．3
【答案】AD
【解析】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．
故选：AD．
3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（       ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【解析】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
4．（2022·全国·高二专题练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．
【答案】或
【解析】当直线l的斜率不存在时，因为过点，
所以直线，
此时圆心到直线的距离为1=r，
此时直线与圆相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
所以，即，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以直线l的方程为.
综上：直线的方程为或
故答案为：或
5．（2022·全国·高二专题练习）求过点 的圆 的切线方程__________.
【答案】或
【解析】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；
当斜率存在，设其为k，则切线可设为.
所以，解得：或.
所以切线方程为：或.
6（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
【答案】
【解析】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，
即，解得，
所以的值为.
故答案为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.
【答案】34或14
【解析】设圆，圆的半径分别为，.
圆的方程可化为，圆的方程可化为.
由两圆相切，得或.
因为，，所以或，可得或或（舍去），
因此或，解得或.
故答案为：34或14
8．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
【答案】3
【解析】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴
故答案为：3
6 最值问题
1．（2022·广东·高三阶段练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
【答案】
【解析】：的标准方程为，
则圆心，半径．
因为四边形的面积，
要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，
直线的方程为，即，
联立，解得．则,
则以为直径的圆的方程为，
与的方程作差可得直线的方程为．
故答案为：.
2．（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知圆和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为（       ）
A．1 B．6 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由得点在圆上，
所以，点在圆上，又在圆上，
所以，两圆有交点，
因为圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为.
所以，，即
所以，的最小值为.
故选：D
3．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（       ）
A． B．10 C． D．5
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，则 ，
因为，
故点在圆内，
过点的最长弦一定是圆的直径，当时，最短，
此时，
则，
故选：A．
4．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为
故选：B
5．（2022·江苏·高二专题练习）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线整理可得，，即直线恒过，
同理可得，直线恒过，
又，
直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，
圆心距，
两圆相离，
，
的取值范围是．
故选：B．