高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程一课一练

第2章 直线和圆的方程 章末重难点归纳总结

重点一 直线的倾斜角与斜率

【例1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．

由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，

因此直线的倾斜角的取值范围是．

故选：C

【例1-2】（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号）

①若直线的倾斜角为，则；

②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；

③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．

【答案】①②③

【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误；

对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且；

当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误；

对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误.

故答案为：①②③.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（       ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

【答案】BCD

【解析】由题意得，即，所以，故选：BCD．

2．（2022·黑龙江黑河）直线经过点和以为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

画出图象如下图所示，

由图可知，直线l的斜率满足或

所以直线的斜率的取值范围是.

故选：D

3．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】直线过点，

画出图象如下图所示，

，，

由于直线与线段AB没有公共点，

当时，直线与线段有公共点，不符合题意，

当时，直线的斜率为，

根据图象可知的取值范围是，

所以的取值范围是.

故选：A

重点二 直线的位置关系

【例2-1】（2022·江西）已知条件p：直线与直线平行，条件q：，则p是q的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若直线与直线平行，则，故或．

当时，即为，此时直线与直线平行；当时，为，即，此时直线2x＋y－4＝0与直线重合，不符合，即，故p是q的充要条件．

故选：A．

【例2-2】．（2022·河南）已知直线：，：，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当时，，，，所以；

当时，可得，解得或，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题

①若，则斜率；   ②若斜率，则；

③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；

其中正确命题的个数是______．

【答案】

【解析】因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.

①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；

②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；

③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；

④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；

所以正确的命题个数是4．

故答案为：．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，则的充要条件是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为直线，直线，易知时，两直线垂直，

所以的充要条件是，即．

故选：A．

3．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）（多选）若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；

B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；

C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；

D：不在上，不符合.

故选：ABC

4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线，则下述正确的是（       ）

A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在

C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等

【答案】BD

【解析】因为直线，

若，则直线的斜率不存在，故B正确；

若，则直线的斜率存在，且斜率，不可能为，故A错误；

将点代入直线方程得，故C错误；

令，则直线方程为，横纵截距均为，故D正确．

故选：BD

5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若直线与直线垂直，则实数a的值可能为（       ）

A．－1 B．1 C．－3 D．3

【答案】AD

【解析】由题意得，即.

解得或．

故选：AD．

6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，下列命题中正确的有（       ）

A．当时，与重合 B．若，则

C．过定点 D．一定不与坐标轴平行

【答案】AC

【解析】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确；

当时，有且，解得，故B错误；

因为，所以直线过定点，故C正确；

当时，直线与x轴平行，故D错误；

故选：AC．

重点三 直线与圆的位置关系

【例3-1】（2022·全国·高二单元测试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设直线的倾斜角为，则，

又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，

所以直线的倾斜角为，

故直线的斜率为，

故直线的方程是，即，

故选：D．

【例3-2】（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题设，与直线垂直的直线斜率为，且过，

所以，整理得.

故选：B

【例3-3】（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】圆：，圆心，

直线平分圆：，

直线过圆心，即，

，

当且仅当，即，的最大值为.

故选：B

【一隅三反】

1（2022·云南曲靖·高二期末）（多选）已知圆与直线，则（       ）

A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交

C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切

【答案】AC

【解析】由题意，圆的圆心，半径，

直线变形得，得直线过定点，

∵，

∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；

由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，

此时弦长为，故C对；

故选：AC．

2．（2022·全国·高二课时练习）方程表示（       ）

A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线

C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线

【答案】C

【解析】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点．

故选：C

3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，则下列说法正确的是（       ）

A．直线的斜率可以等于0 B．直线的斜率有可能不存在

C．直线可能过点 D．直线在轴、轴上的截距不可能相等

【答案】B

【解析】若，则直线的斜率不存在，故B正确；

若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故A错误；

将点代入直线方程得：，故C错误；

令，则直线方程为：，横纵截距均为，故D错误.故选：B.

重点四 圆与圆的位置关系

【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若圆与圆相切，

当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；

当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．

当时，圆与圆相切，

所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．

当圆与圆相切时，不一定成立，

所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．

所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．

故选：A

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆和，则两圆的位置关系是（       ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

【答案】C

【解析】由题意，知圆的圆心，半径.

圆的方程可化为，则其圆心，半径.

因为两圆的圆心距，故两圆外切.

故选：C.

2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（       ）

A．外离 B．外切 C．内含 D．内切

【答案】ABD

【解析】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．

故选：ABD．

3．（2022·山东青岛·二模）（多选）已知，则下述正确的是（       ）

A．圆C的半径 B．点在圆C的内部

C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交

【答案】ACD

【解析】由，得，则圆心，半径，

所以A正确，

对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，

对于C，因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆C相切，所以C正确，

对于D，圆的圆心为，半径，

因为，，

所以圆与圆C相交，所以D正确，

故选：ACD

重点五 切线问题

【例5-1】（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，

因为直线是圆的一条对称轴，

所以圆心在直线上，

所以有，

因为过点向圆作切线，切点为，

所以

所以，

故选：C

【例5-2】．（2022·全国·高三专题练习）直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】圆的圆心为，半径为，

因为直线平分圆的周长，

所以直线经过，所以，故，

由已知，，，圆的半径为3，

所以，

故选：B.

【一隅三反】

1．（2023·全国·高三专题练习）设点为直线上一点，则由该点向圆所作的切线长的最小值是（     ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【解析】由题知，

圆化简为：，则圆心，半径为，

所以由点向圆所作的切线长为：

，

当时，切线长取得最小值4.

故选：C.

2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为点A，B，圆C的圆心为C，当四边形的面积最小时，（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆C化为，∴圆心为，半径为4.

若使四边形的面积最小，则需使的面积最小，即最小，

∴最小，即求C到直线l的距离，，

此时，，

，

∴.

故选：D

3．（2022·全国·高二专题练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如下图所示，设直线交轴于点，

由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，

则，，，

，为的中点，为的中点，，

由勾股定理可得.

故选：C.

4．（2022·广东）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．

【答案】

【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，

所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，

所以，

所以直线的方程为，即；

方法2：设，，则由，可得，

同理可得，

所以直线的方程为.

故答案为：

5．（2022·全国·高二课时练习）设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.

【答案】或

【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，

由，得或，

此时，符合题意.

当直线l的斜率存在时，设直线，

因为圆的圆心，半径，

所以圆心C到直线l的距离.

因为，所以，解得，

所以直线l的方程为，即.

综上，直线l的方程为或.

故答案为：或

6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）过圆上一点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.

【答案】4

【解析】由题意，半径为，

，

，圆的半径为，所以，

所以．

故答案为：4．