第3章 圆锥曲线的方程 章末测试（提升）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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第3章 圆锥曲线的方程 章末测试（提升）一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2022安徽）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（　　）A．3 B．4 C．7 D．13【答案】B【解析】因为，则准线方程为，依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.故答案为：B.2．（2022广东月考）直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 （　　）  A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】因为抛物线   的焦点坐标为F ， 又直线y=x-1 过抛物线 的焦点 ， 所以p=2 ，抛物线C的方程为y2=4x ，设AB的横坐标为xA，xB， 由 ，得x2-6x+1=0 ， 所以xA+xB=6 ， 所以xA+xB+p=6+2=8 ．故选：D3．（2022湖北）椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是（　　）A．11 B． C． D．9【答案】A【解析】依题意得所求即为椭圆上的点到圆的圆心距离的最大值加上1，设椭圆上的点为，则椭圆上的点到圆的圆心距离为，∴时，椭圆上的点到圆的圆心距离的最大值为10，∴椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值为11，故答案为：A.4．（2022遂宁期末）已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（　　）A．                              B．双曲线C的渐近线方程为C．若，则的面积为       D．曲线的离心率为【答案】D【解析】由，可得， 设，则，即，∴，设，则，，所以，即，又，，所以，∴，即，A不符合题意；所以双曲线，，双曲线C的渐近线方程为，离心率为，B不符合题意，D符合题意；若，则，所以，的面积为1，C不符合题意. 故答案为：D.5．（2022合肥）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】，是的中点，所以，，则，，解得，所以双曲线方程为．故答案为：D．6．（2022阜阳）已知双曲线的两个焦点分别为，，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】， 则，又因为，，即，所以，，所以，则，故答案为：B.7．（2022·马鞍山）若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则的中点与的中点重合，设此点为，则当，即，时，取最大值， 令，，，，由，得，由，得，.故答案为：C．8．（2022·安徽）已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为，由题意得，直线l的倾斜角为，且经过双曲线的左焦点，当点P位于第三象限时，，又，连接，此时为正三角形，不符合题意，则点P位于第二象限，故，连接，由双曲线的定义知， 为等腰三角形，，．故答案为：A．二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022大理）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（　　）  A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为【答案】ABC【解析】设 ， ，则 ， 由双曲线的定义的得 ，所以 ， ，所以 是等边三角形，选项A正确；在 中， ，即 ， ，所以选项B正确，由 得 ，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，渐近线方程为 ，所以选项C正确，点 到直线 的距离为 ，故答案为：ABC.10．（2022镇江）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（　　）A．|PQ|的最大值为B．为定值C．椭圆上不存在点M，使得D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为【答案】BD【解析】如图所示：A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.故答案为：BD11．（2022湖北）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BCD【解析】易知点的坐标为，A不符合题意；根据抛物线的性质知，过焦点时，，B符合题意；若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，为，即，C符合题意，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，所以，．所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，D符合题意．故答案为：BCD12．（2022·菏泽）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（　　）  A．若直线CA的斜率为 ，BD的斜率 ，则 B．存在唯一的实数m使得 为等腰直角三角形C． 取值范围为 D． 周长的最大值为 【答案】BD【解析】将 代入椭圆方程，求出 ，其中 ， 则 ，A不符合题意；由题意得： ，当 时， ，此时 ，所以当 ， 是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于 ，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得 为等腰直角三角形，B符合题意；不妨设 ，则 ，因为 ，所以 ，C不符合题意；如图，当直线 经过焦点 时，此时 的周长最大，等于 ，其他位置都比 小，例如当直线 与椭圆相交于 ，与x轴交于C点时，连接 ，由椭圆定义可知： ，显然 ，同理可知： ，故 周长的最大值为 ，D符合题意故答案为：BD三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022上海）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于　     　.【答案】【解析】由双曲线，得其渐近线方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，所以，得，所以双曲线的焦距为，故答案为：14．（2022大理月考）直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A、B两点，则的最小值为　     　；  【答案】【解析】已知 ，即 ，所以 ， 所以 .当且仅当 时取等号.15．（2022昆明）已知D是椭圆C：的上顶点，F是C的一个焦点，直线DF与椭圆C的另一个交点为点E，且，则C的离心率为　     　【答案】【解析】由题意，，不妨设F是C的右焦点，所以，设，， 则，因为，所以，，，解得，代入椭圆方程可得，即，所以。故答案为： 。16．（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则直线l的方程为　          　．  【答案】【解析】记 的中点为 ，因为 ，所以 ， 设 ， ，则 ， ，所以 ，即 所以 ，即 ，设直线 ， ， ，令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，即 ，解得 或 （舍去），又 ，即 ，解得 或 （舍去），所以直线 ，即 ；故答案为： 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022大同）已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试分析是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由题意知，，所以椭圆方程为.（2）解：设，则可得：代入椭圆方程整理得由代入上式得，是方程的一个解∴点C的横坐标，又因为在直线上∴，同理：∵，∴，即∴为定值，定值.18．（2022甘孜）已知椭圆 与轴的正半轴交于点，且离心率（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 过点与椭圆交于两点， 求面积的最大值并求此时的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）椭圆与轴的正半轴交于点，则 ，则椭圆 的方程为： （2）解：当直线 的斜率为 0 时，三点共线， 显然不满足题意.当直线 的斜率不为 0 时，设 代入，得到设令 令 ， 在单调递增，当为最大， 此时的方程为：19．（2022凉山）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．（1）求C的方程；（2）直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．【答案】见解析【解析】（1）解：由题意知，解得，，，所以C的方程为．（2）解：证明：设点（不妨设，则点，由，消去y得，所以，，所以直线AE的方程为．因为直线AE与y轴交于点M，令得，即点，同理可得点．所以，，所以，所以，同理．则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．综上所述，M，，N，四点共圆．20．（2022广州期末）已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】（1）解：由题意可得，解得，故椭圆方程为．（2）解：设直线为，设，，因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以．联立直线与椭圆的方程，得，所以，，，，所以，得．存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：四边形为平行四边形，则点，点在椭圆上，则因为，，所以，即，当，时，满足，所以直线的方程为或或或．21．（2022玉溪）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．【答案】见解析【解析】（1）解：圆的圆心为，半径，由点在的垂直平分线上，得，所以，所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，所以，，，所以的方程为（2）证明：①当直线的斜率不存在时，易知，②当直线的斜率存在时，设：，，，则把代入得，显然，有，，，所以，综上所述，为定值-122．（2022高二下·虹口期末）已知椭圆的两个顶点，，且其离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点的直线与其相交于，两点，若（为坐标原点），求直线的方程；（3）设为椭圆上的一个异于，的动点，直线，分别与直线相交于点，，试求的最小值【答案】见解析【解析】（1）解：由条件，解得，．故椭圆的方程为．（2）解：易知椭圆右焦点的坐标为，设直线的方程为，，，则由，得，显然．于是，①因，故，即，于是②将①代入②：，解得．故直线的方程为：．（或写成．）（3）解：解法1：设，，，则．因，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为；又，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为．于是，即．故．当且仅当，即点坐标为或时，取得最小值．          解法2：设，，，则，故．于是由，得．故．当且仅当时，即点坐标为或时，取得最小值．