第3章 圆锥曲线的方程 章末重难点归纳总结-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册） 试卷

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第3章 圆锥曲线的方程 章末重难点归纳总结




重难点一 圆锥曲线的定义及应用
【例1-1】（2022期末）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．9
【答案】A
【解析】因为，
所以，又记，则，
②2-①整理得：，所以
故答案为：A
【例1-2】（2022遂宁）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（　　）
A．3 B．5 C． D．13
【答案】B
【解析】因为椭圆， 所以，，则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，
当点P在点处，取等号，所以的最大值为5，故答案为：B.
【例1-3】（2022遂宁）已知圆与抛物线的准线相切，则（　　）
A． B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
抛物线的准线为，所以，∴，故答案为：C.
【一隅三反】
1．（2022滁州）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（　　）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义有，①
根据余弦定理得，②
结合①②解得，所以的面积。
故答案为：C
2．（2022虹口）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为　 　．
【答案】
【解析】由题 设圆和圆的圆心分别为，半径分别为.
则椭圆的焦点为.又，.
故，当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故答案为：.

3．（2022龙潭）椭圆 的左右焦点分别为 ， ，一条直线经过 与椭圆交于 ， 两点，则 的周长为（　　）
A． B．6 C． D．12
【答案】C
【解析】由题意，根据椭圆定义，得到 ，
所以 的周长为： .故答案为：C
考点二 圆锥曲线的标准方程
【例2】（2022合肥）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，是的中点，所以，
，则，
，解得，所以双曲线方程为．故答案为：D．
【一隅三反】
1．（2022徐汇）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为　 　．
【答案】
【解析】考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下：
实轴在x轴时，设双曲线方程为： ，则有 …①
其渐近线方程为 ，即 …②
联立①②，解得 ，双曲线方程为 ；
实轴在y轴时，设双曲线方程为 ，则有…③
其渐近线方程为 ，即 …④
联立③④，无解；
故答案为： .
2．（2022成都开学考）已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由a2+b2=4b=3a 解得 ，所以双曲线方程为：故答案为：C.
3．（2022广东开学考）“k1 B.m>0
C.00)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为　 　.
【答案】y＝±x
【解析】因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 故答案为：y＝±x．
3.（2022,曲靖）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线与双曲线C的左支交于点A．若 ，则双曲线C的渐近线方程为　 　．
【答案】
【解析】因为 ，故 ，即 ，
故 ，根据双曲线的定义有 ，故 ，
又直线AF2斜率为 ，故 ， 所以 ，
根据等腰三角形的性质有 ， 即 ， 解得 ，
故 . 故双曲线 的渐近线方程为

故答案为：
4．（2022高二下·昆明期末）已知D是椭圆C：的上顶点，F是C的一个焦点，直线DF与椭圆C的另一个交点为点E，且，则C的离心率为　 　
【答案】
【解析】由题意，，不妨设F是C的右焦点，所以，设，，
则，
因为，所以，，，解得，
代入椭圆方程可得，即，所以。故答案为： 。
考点六 三定及最值问题
【例6-1】（2022高二下·遂宁期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点．
【答案】见解析
【解析】（1）解：设曲线C上任意一点P的坐标为，由题意知且有，即，化简得，所以曲线C的方程为
（2）证明：设，由题意知直线AB的斜率存在，设直线的方程为，联立方程y=kx+nx2=8y，整理得，所以，且，又由，即，可得，所以抛物线在点处的切线的方程为，即，同理直线的方程为，联立方程，解得，又因为直线与的交点恰好在直线上，所以，即，所以，解得.故直线的方程为，所以直线恒过定点
【例6-2】（2022南宁）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程．
（2）不过点的直线：与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值．若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：根据题意得：ca=13a2-b2=c21a2+649b2=1⇒a2=9b2=8c2=1，故椭圆的标准方程为
（2）解：因为直线不过点，且直线，的斜率存在，所以．
设，，联立方程组y=kx+3x29+y28=1，得，
则，.由，得且．
因为，
所以.
即为定值，且.
【例6-3】（2022高二下·韶关期末）已知椭圆：的离心率，椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于A，B两点，若的重心在直线上（为坐标原点），求面积的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题知，解得，∴椭圆的标准方程为.
（2）解：若直线的斜率不存在时，此时的中点在轴上，要使的重心在直线上（为坐标原点），
即的中点在直线上，所以即为的中点，此时直线方程为，所以，
所以；
若直线的斜率存在，当斜率为时，的中点在轴上，要使的重心在直线上（为坐标原点），
即的中点在直线上，所以即为的中点，此时直线方程为，所以，
所以；
当斜率存在且不为时，设直线：，与椭圆交于，，
由，得.
则，即，
又，，
所以
所以的中点，
又所在直线为，
依题意的中点在直线上，所以，所以，
所以，即，
所以直线：，
所以，
点到直线：的距离，
所以，
令，，
所以，
所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以；
【一隅三反】
1．（2022高二下·昆明期末）已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】见解析
【解析】（1）解：因为，所以，，
设双曲线C的焦距为2c，由双曲线的对称性知
设双曲线C的右焦点为F'，则，得，
则，故双曲线C的方程为
（2）解：由已知得，设直线MP与MQ的斜率分别为，，
①当直线PQ不垂直于x轴时：
设直线PQ的斜率为k，PQ的方程为，，，
由得，当时，
，，
那么
，得，符合题意.
所以直线PQ的方程为，恒过定点（-2，0）.
②当直线PQ垂直于x轴时：
设，因为P是C上的点，所以，
则，解得，
故直线PQ过点（-2，0）.
综上，直线PQ恒过定点（-2，0）.
2．（2022高二下·湛江期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若C，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，C为坐标原点.证明：为定值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：当P为短轴端点时，的面积最大，，故解得，故椭圆的方程为.
（2）解：由（1）知，，设直线，，，
联立整理得(2k2+1)x2+8k2xx2+8k2-4=0，
由得，，
，，
故为定值4.
3．（2022·柳州）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ．
【答案】见解析
【解析】（1）解：Q（x，y），由题意，得 ，
化简得 ，所以Q的轨迹方程C为
法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y＝－1的距离相等，由抛物线定义知Q的
轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 为准线的抛物线
所以Q的轨迹方程C为
（2）证明：不妨设 ，因为 ，所以 ，
从而直线PA的斜率为 ，解得 ，即A（2，1），
又F（0，1），所以 轴．要使 ，只需
设直线m的方程为 ，代入 并整理，得 ．
首先， ，解得 或 ．
其次，设M（ ， ），N（ ， ），则

故存在直线m，使得 ，
此时直线m的斜率的取值范围为
4．（2022高二下·焦作期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为曲线与x轴的两个交点．
（1）求C的方程；
（2）点P是圆上的动点，过点P作C的两条切线，两条切线与圆O分别交于点A，B（异于P），证明：为定值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：得
由题知，解得
所以椭圆C的标准方程为
（2）证明：设直线l斜率存在且与椭圆C相切，方程为
代入整理得
则，即…①
记，则，代入①整理得…②
当直线PA、PB斜率存在时，记其斜率分别为，易知为方程②的两根，
则有，
又，所以，即
所以AB为圆的直径，所以
当直线PA、PB有一条斜率不存在时，点P坐标为，易知此时A、B关于原点对称，AB为圆的直径.
综上，为定值.