北师大版九年级下册第三章 圆5 确定圆的条件当堂达标检测题

5　确定圆的条件

基础过关全练

知识点1　确定圆的条件

1.(2021天津河西期末)下列说法错误的是 (　　)

A.已知圆心和半径可以作一个圆

B.经过一个已知点A的圆能作无数个

C.经过两个已知点A,B的圆能作两个

D.经过不在同一直线上的三个点A,B,C只能作一个圆

2.如图,点A、B、C在同一条直线上,点D在直线外,过这四点中的任意3个点,能画圆的个数是              (　　)

A.1　　　　B.2

C.3　　　　D.4

知识点2　三角形的外接圆及三角形的外心

3.小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了,需要配一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是              (　　)

A.AB,AC边上的中线的交点

B.AB,AC边上的垂直平分线的交点

C.AB,AC边上的高所在直线的交点

D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点

4.下列说法中,正确的个数是 (　　)

①任何三角形有且只有一个外接圆;②任何圆有且只有一个内接三角形;③三角形的外心不一定在三角形内部;④三角形的外心到三角形三边的距离相等;⑤经过三点可确定一个圆.

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

5.【教材变式·P87T1变式】如图所示,在5×5的正方形网格中,如果一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心为              (　　)

A.点P　　　　B.点Q　　　　C.点R　　　　D.点M

6.(2022湖南邵阳中考)如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是              (　　)

A.

7.尺规作图:如图,已知△ABC.

(1)求作:△ABC的外接圆☉O(保留作图痕迹,不写作法);

(2)若AC=4,∠B=30°,则△ABC的外接圆☉O的半径为　　　　. 

能力提升全练

8.(2020湖北荆州中考,10,)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格线的交点处,☉O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值为　              (　　)

A.

C.

9.(2022江苏常州中考,16,)如图,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=45°,AC=,则☉O的半径是　　　　. 

10.(2022广西玉林中考,17,)如图,在5×7的网格中,各小正方形的边长均为1,点O,A,B,C,D,E均在格点处,点O是△ABC的外心,在不添加其他字母的情况下,把你认为外心也是O的三角形(△ABC除外)都写出来:　　　　　　　　　　　　. 

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11.【推理能力】(2020四川凉山州中考)如图,☉O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.

(1)求证:=2R;

(2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=4,利用(1)中的结论求AB的长和sin B的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.C　经过两个已知点A,B的圆能作无数个,原说法错误.故选C.

2.C　从A、B、C三点中任取两点,有3种情况,这3种情况中的每一种情况都与点D构成不在同一直线上的三点,故能画出3个圆.

3.B　由题意可得,所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆,∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点,故选B.

4.B　①③正确.任何一个圆都有无数个内接三角形,故②错误;三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,故④错误;经过不在同一直线上的三点可确定一个圆,故⑤错误.故选B.

5.B　连接AB,BC,AC(图略),这条圆弧的圆心为△ABC的外接圆的圆心,所以圆心应为线段AB、线段BC的垂直平分线的交点,通过作图可知交点为点Q.故选B.

6.C　作直径AD,连接CD,如图,

∵△ABC为等边三角形,

∴AC=AB=3,∠B=60°,

∵AD为直径,∴∠ACD=90°,

∵∠D=∠B=60°,则∠DAC=30°,∴CD=AD,

∵AD2=CD2+AC2,∴AD2=+32,

∴AD=2,∴OA=,

即☉O的半径为.故选C.

7.解析　(1)如图所示,☉O即为所求作的圆.

(2)如图,连接OA,OC,∵∠B=30°,∴∠AOC=60°,

又∵OA=OC,∴△OAC为等边三角形,

∴OA=OC=AC=4,∴△ABC的外接圆☉O的半径为4.

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8.B　如图,作直径BD,连接CD,由勾股定理得BD=,

在Rt△BDC中,cos∠BDC=,∵∠BAC=∠BDC,

∴cos∠BAC=cos∠BDC=.故选B.

9.1

解析　连接AO并延长交☉O于点D,连接CD,∵AD是☉O的直径,

∴∠ACD=90°,∵∠ABC=45°,∴∠ADC=45°,

∴AD==2,∴OA=AD=1,

∴☉O的半径是1,故答案为1.

10.△ABD,△ACD,△BCD

解析　由题图可知OA=,

OB=,OC=,OD=,OE=,∴OA=OB=OC=OD≠OE,∴除△ABC外,△ABD,△ACD,△BCD的外心都是点O,

故答案为△ABD,△ACD,△BCD.

素养探究全练

11.解析　(1)证明:作直径BE,连接CE,如图所示,则∠BCE=90°,∠E=∠A,∴sin A=sin E=,∴=2R,同理=2R,=2R,

∴=2R.

(2)由(1)得=2R,即=2R,

∴AB=,2R==8,如图,过点B作BH⊥AC于H,

∵∠AHB=∠BHC=90°,∴AH=AB·cos 60°=4,

CH=BC·cos 45°=,∴AC=AH+CH=2(),

∴sin∠ABC=.