人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理当堂达标检测题

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1.2  空间向量的基本定理（精练） 空间向量的基底1．（2022·全国·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.故选：D．2．（2022·江苏·高二课时练习）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】若，，共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得，即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是．故选：B3．（2021·全国·高二课时练习）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：因为，所以M，A，B，C四点共面，所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；B：，因为，所以M，A，B，C四点共面，所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；C ：因为，所以M，A，B，C四点不共面，所以，，不共面，则能成立空间的一个基底；D： ，所以A，B，C三点共线，这与已知矛盾，故不符合题意，故选：C4．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（       ）A．  B． C． D． 【答案】D【解析】由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，所以,因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；故选:D.5．（2021·北京铁路二中高二期中）已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与，构成基底的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以ABD错误；因为是空间向量的一个基底，所以，，构成基底.故选：C6．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（       ）．A．2 B． C．1 D．0【答案】D【解析】因为与共线，空间的一组基底，所以，所以解得，所以x＋y＝0.故选：D.7．（2022·江苏·沛县教师发展中心）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】ABD【解析】对于A，因为，故，，共面；对于B，因为，故，，共面；对于D，因为，故，，共面；对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，，故共面，这与构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD8．（2022·重庆·高二期末）（多选）若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【解析】对于A选项，若，则，解得，故共面；对于B选项，若，则，解得，故共面；对于C选项，若，则，无解，故不共面；对于D选项，若，则，解得，故共面；故选：ABD9．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）（多选）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（       ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.10（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①，，；             ②，，；③，，；                    ④，，．【答案】③【解析】由空间向量基本定理得：对于①，，所以，，三个向量共面；对于②，，所以，，三个向量共面；对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；对于④，，所以，，三个向量共面， 故答案为：③． 用基底表示向量1．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）A． B．C． D．【答案】A【解析】连接.故选：A2．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体中，，点在上，且为中点，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．3．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（            ）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，故选：B4．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为中点，所以所以即故选：B5．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为在平行六面体中，M为，的交点,，，，所以,故选：B6．（2021·四川凉山·高二期中（理））如图在三棱锥P－ABC中，点G是△ABC的重心，点E为线段PA中点，设，，，则（       ） A． B． C． D．【答案】A【解析】G是△ABC的重心，则，，，，所以，，所以，故选：A．7．（2022·江苏省响水中学高二期中）如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B8．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图．空间四边形中，，点M在上，且满足，点N为的中点，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题图，，而，，，所以.故选：D 空间向量的基本定理1．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：因为，，，所以，所以P是的重心，所以，即，所以，整理得．故选：C2．（2022·四川省绵阳南山中学）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面【答案】D【解析】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面故选：D3．（2022·全国·高二课时练习）已知O、A、B、C为空间四点，且对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则（       ）A．、、共线 B．、共线C．、共线 D．O、A、B、C四点共面【答案】D【解析】由空间向量基本定理，对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则是共面向量，因此四点四点共面，故选：D．4．（2021·重庆市实验中学高二阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】即，即故选：B5．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体中，已知BA，BC，为三条不共面的线段，若，则的值为（       ）．A．1 B． C． D．【答案】B【解析】根据向量的加法法则可得，又，且不共面，所以，解得，所以.故选：B.6．（2022·全国·高二期末）如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．【答案】【解析】解：因为成立，所以共面，即平面，如图，取中点，连接、、，根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，由勾股定理得，故答案为：.7．（2022·辽宁大连=）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)① (＋＋)2＝2()2 ；②·(－)＝0 ；③向量与的夹角是60°；④BD1与AC所成角的余弦值为.【答案】①②【解析】因为以为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为，不妨设棱长为，对于①，，因为，则，所以，故①正确；对于②，，故②正确；对于③，因为，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角为，向量与的夹角为，故③不正确；对于④，因为，，则，，所以，所以，故④不正确．故答案为：①②．8．（2021·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知四棱柱的底面是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________.【答案】【解析】如图，，所以，所以.故答案为：.9．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)的值.(2)线段AC1 的长【答案】(1)(2)【解析】(1)==.(2)选取作为一组基底，则，则======.