2022-2023学年贵州省高二上学期期中联合考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年贵州省高二上学期期中联合考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省高二上学期期中联合考试数学试题 一、单选题1．双曲线的焦距为（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由双曲线的方程求得，再计算出即得．【详解】由双曲线方程知，所以，焦距为．故选：B．2．两平行直线与之间的距离为（    ）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】两平行直线与之间的距离．故选：B3．下列关于空间向量的说法中错误的是（    ）A．零向量与任意向量平行B．任意两个空间向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量【答案】C【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断.【详解】由已知，选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.故选：C.4．圆与直线的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【分析】运用几何法 与 的关系判断圆与直线位置关系即可.【详解】圆的圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系为相交.故选：A.5．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.【详解】由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长，所以轴，所以故选：D.6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】向量在向量上的投影为，投影向量为，其中为与同向的单位向量，分别计算，代入即可.【详解】因为，，所以.向量在向量上的投影为设为与同向的单位向量，则 向量在向量上的投影向量为故选：C7．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得出，再由离心率公式求解即可.【详解】不妨设点在第二象限，则.设， ， ，因为所以，故椭圆的离心率故选：A8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，则，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.易得，，因为平面，平面，，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上的点.由平面，平面，得，又，则，由平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，..因为，所以.故选：B. 二、多选题9．如图，在四棱锥中，，分别是和的中点，下列表达式化简正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据空间向量加减法的几何意义，可得答案.【详解】对于A，在中，由，分别是和的中点，则且，即，，故A正确；对于B，由，则，即，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，由为的中点，则，故D正确.故选：ACD.10．如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，所以又直线m最陡峭，则， 所以，，．故选项BCD正确.故选：BCD11．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且是等边三角形，则椭圆的方程可能为（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知，点为椭圆短轴上的顶点，根据等边三角形可得出a，b关系式，逐个检验即可.【详解】因为是等边三角形，则点为椭圆短轴上的顶点，所以，椭圆的焦点可以在轴或轴上，，，，满足条件.故选：ACD.12．已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，的中点为，，，在直线上的投影分别为，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】设直线的方程为，，，则，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出、的坐标，再根据选项利用两直线垂直斜率之积为判断即可.【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为.设直线的方程为，，，则，.联立方程组得，则，.因为，所以，，所以，所以，故A正确；因为，所以，故C正确，B错误；因为，所以，故D正确.故选：ACD 三、填空题13．直线的倾斜角______.【答案】150°【分析】当斜率存在时，根据斜率为倾斜角的正切值计算.【详解】直线的斜率为，则因为，所以故答案为：150°（或）14．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是_____．【答案】【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式，解之即可求得的取值范围.【详解】依题意，由可得，双曲线的渐近线方程为，因为双曲线与直线无交点，所以直线应在两条渐近线上下两部分之间，故，解得，即.故答案为：. .15．已知圆和圆的半径都为1，圆心分别为，，写出一个与圆和圆都相切的圆的方程：__________.【答案】（或或）【分析】圆和圆外切，所以与圆和圆均相切的圆有两种情况，外切或内切，本题为开放性试题，所以可以假设圆半径，根据相切的关系式求出圆的圆心即可【详解】与圆和圆都相切的圆如图所示，圆与圆和圆外切时，假设圆半径为1，设圆方程为，则 ，解得：或，所以圆方程为：或.圆和圆内切于圆时，假设圆半径为2，设圆方程为，则 ，解得：，所以圆方程为：故答案为：（或或），本试题为开放性试题，其他符合要求方程也可以16．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.点，分别在棱，上，且，，若过点，，的平面与直线交于点，且，则______.【答案】##0.4【分析】建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，根据，，，四点共面，设代入坐标得到方程组可解得答案.【详解】分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，因为，所以即，，，，因为，所以即，，因为点，，，共面，所以，则，解得.故答案为:. 四、解答题17．已知直线的方程为(1)若与直线平行，求的值；(2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值；（2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程.【详解】（1）因为与直线平行，所以且，解得：.（2）当时，：，不满足题意.当时，与轴，轴的交点分别为，因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得.故的方程为或.18．已知圆经过点，，.(1)求圆的标准方程；(2)过点向圆作切线，求切线方程.【答案】(1).(2)或. 【分析】（1）设圆的一般方程，由题意列出方程组，求得一般方程，即可化为标准方程；（2）讨论切线斜率是否存在，存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可求得答案.【详解】（1）设圆的方程为，则 ,解得，，，所以圆的方程为，故圆的标准方程为.（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，即,由，解得，所以切线方程为，即.综上所述，所求切线方程为或.19．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点.(1)证明：∥平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，连接，，由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，∵，分别是，的中点，∴∥，∵底面是矩形，是的中点，∴∥∥，∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面.（2）解：以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得.取平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则故平面与平面夹角的余弦值为.20．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点且倾斜角为的直线与交于两点，求的长度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题知，轨迹是椭圆根据，求出 即可求解.（2）先求直线，联立直线与椭圆方程，在运用弦长公式即可求解.【详解】（1）由题知： ， 轨迹是以点为左､右焦点的椭圆.设轨迹的方程为，则，解得， 轨迹的方程为.（2）由题知直线为，即.联立方程消去 整理得.设交点，则. 的长度为21．如图①所示，在中，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图②所示，是线段上的动点，且.(1)若，求直线与平面所成角的大小；(2)若平面平面，求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出相关向量坐标以及平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案;（2）用表示出平面的法向量，根据面面垂直则法向量的数量积等于0，列式计算，求得答案.【详解】（1）由题意可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.不妨设，则,，则，,，，，设平面的法向量为，则,即 ,取，得.因为，所以，,设与平面所成的角为，则,故与平面所成的角为.（2）由（1）知，，，，,设平面的法向量为,则 即 ,当时，可取，此时，不满足题意.当时，取，得,因为平面平面，所以，解得.22．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由已知可设，双曲线的标准方程为，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【详解】（1）设双曲线的标准方程为，焦点为，，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以.因为焦点到渐近线的距离为2，所以，从而，故双曲线的标准方程为（2）证明：设，.①当直线的斜率存在时，设的方程为，联立方程组化简得，则，即，且因为，所以，化简得所以或，且均满足.当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，联立方程组，得得，，此时直线过定点因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为该圆的半径，故存在定点，使得为定值【点睛】圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.