2022-2023学年宁夏银川市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题含解析

      绝密★启用前

银川二中2022-2023学年第一学期高二年级期中考试

 理科数学（解析版）

注意事项： 

1. 本试卷共22道题，满分150分。考试时间为120分钟。
2. 答案写在答题卡上的指定位置。考试结束后，交回答题卡。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知命题，则为（   D     ）

A．      B．      C．    D．

2.已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    C    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3.已知等差数列满足，，则的前项的和为（   C    ）

A．       B．         C．         D．

4.若，，则下列不等式恒成立的是（ D   ）

A．           B．        C．         D．

5.命题“若，则中至少有一个大于”的否命题为（ B  ）

A．若中至少有一个大于，则  B．若，则都不大于

C．若，则中至少有一个大于  D．若，则中至多有一个大于

6.滕王阁始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小华同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小华估算滕王阁的高度为（ D     ）（，精确到1m）

A． B． C． D．

解:由题意得，在中，，

在中，，，

所以，由正弦定理，

得，

又，

在中，.

7.已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（  A     ）

A．     B．    C．  D．或 

解:由题意得：，解得：，

设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，

显然，所以，所以，所以

8.设等比数列的前n项和为，若，，则　B　

A．144     B．81    C．45  D．63

解：由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为

由题意得：       

9.若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（ B      ）

A．          B．          C．     D．

10.已知关于的不等式的解集为，则的最大值（   A   ）

A．     B．    C．  D．

【解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故

因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为.

11.历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新

的数列，则的值为 ( A    )

A．72          B．71        C．73      D．74

解：由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，所以.

12. 已知数列的前项和为且满足若对于任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为 (   A     )        

A.                       B.

C.                        D.

解：因为，
当时，，即，
当时，，
则由可得：
，所以，所以，满足上式，所以数列的通项公式为，所以，
所以，因为恒成立，所以恒成立，所以在上恒成立，

设，，
所以，即，解得或，所以实数的取值范围为．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知实数满足约束条件，则的最大值是_________.【答案】18

14.在中，分别是角的对边．若成等比数列，且，则A的大小是___________.【答案】

由已知得，由，得，所以，得，由余弦定理得，又，所以.

15.写出一个同时具有下列性质①②③的数列的通项公式：_______．【答案】，答案不唯一.

①是无穷数列；     ②是单调递减数列；     ③.

16.设数列的前n项和为，已知，则_________.【答案】960

三、解答题：本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设命题:实数满足，命题:实数满足，其中.

(1)若，且为真，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

解：(1)由题设，则为真有，而为真有，

所以p∧q为真，即有.

(2)由且，可得，

所以为真有，而为真有，

又p是q的充分不必要条件，即，则.

18.（本小题满分12分）

在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．

已知等差数列的各项均为正数，，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知正项等比数列的前项和为，，_________，求．（注：如果选择两个条件并分别作答，只按第一个解答计分.）

解：(1)设等差数列的公差为d，则，因为，且成等比数列，所以，解得：或（舍），

所以．

(2)选择①：设等比数列的公比为q，因为，所以，

又，即，所以或（舍），所以．

选择②：设等比数列的公比为q，因为，，即，可得或（舍），所以．

19.（本小题满分12分） 

中，分别是角的对边，已知，的平分线交于点，且．

(1)求；

(2)若，求．

解：(1)由及正弦定理可得，、，则，所以，，解得，所以.

(2)因为，即，

所以，因为，则，所以，所以。

20.（本小题满分12分）

已知函数．

(1)若，且，求的最小值；

(2)若，解关于的不等式 .

解：，，又，，所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为．
     因为，可得，即可得，即，当时，方程的根，，

故不等式的解集为
当时，方程的根，，
若，即时，即可得；

若，即时，即可得；

若，即时，即可得；
    综上所得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 

21.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，，当时，.

(1)求；

(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.   

解：(1)当时，由，得.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以，即.

(2)由（1）知，，所以，①

所以，②

①-②得，，

所以，，

所以，，所以，即，即，

因为，当且仅当时，等号成立，所以.

22.（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设，证明：.

解：(1)当时，，即 ；

由，则；

两式相减可得，即；

所以，即，所以数列为等比数列。

(2)由（1）可得，所以，，

则，

所以。