2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高二上学期期中质量调查数学试题含解析

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2022-2023年度第一学期高二年级期中质量调查（数学）试卷 满分： 150分 时长：100分钟 第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）直线的倾斜角为(    )A. B. C. D. 圆的圆心到直线的距离是(    )A.  0 B. 1 C. D. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值是(    )A. B. C. D. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线l交椭圆于两点，若的周长为8，则椭圆方程为(    )A. B. C. D. 已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是(    )A. 8 B. 28 C. 12 D. 8或28若点在圆 的内部，则a的取值范围是(    )A. B. C. D. 是方程表示双曲线的(    )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件P是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为  (    )A. B. C. D. 若点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(    )A. B. C. D. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是(    )A. 内切 B. 相离 C. 外切 D. 相交以下四个命题表述错误的的是(    )A. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数m的取值范围为C. 已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则的最小值为2D. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过点已知椭圆C：的左焦点为F，点A是椭圆C的上顶点，直线l：与椭圆C相交于M，N两点．若点A到直线l的距离是1，且，则椭圆C的离心率的取值范围是(    )A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）以点为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是__________.设m是常数，若点是双曲线的一个焦点，则__________.已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为__________.在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是__________.直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________.设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是__________.已知F为双曲线-的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作一直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，使得，则的内切圆的半径为__________.三、解答题（本大题共4小题，共50.分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题12分已知直线经过点，求直线的方程；若直线：与互相垂直，求直线与两坐标轴围成三角形的面积．本小题12分设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为，离心率为求这个椭圆的方程；若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求的长及的面积.本小题13分已知圆：和：求证：圆和圆相交；求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．本小题13分已知椭圆C：的右焦点为，且经过点求椭圆C的方程；设O为原点，直线l：与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点若，求证：直线l经过定点．答案和解析1.【答案】 本题考查直线的倾斜角与斜率的知识点，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围和特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围求出倾斜角．【解答】解：由题意，直线的斜率为，即直线倾斜角的正切值是，设倾斜角为，则，又因为，所以，故直线的倾斜角为，故选D．2.【答案】 本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：圆的圆心到直线的距离，故选：．3.【答案】 本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知，求得，再把代入，即可求解．【解答】解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，解得，把代入，可得，解得，又，故，故选C．  4.【答案】 本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查分析推理能力，属于基础题．由题得，再根据的周长得，进而求出的值得解．【解答】解：，是椭圆的两个焦点，，又根据椭圆的定义，的周长，得，进而得，所以椭圆方程为．故答案为． 5.【答案】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，注意检验的位置，属于基础题．求得双曲线的，，，运用双曲线的定义，可得，解方程可得所求值，检验在两支的情况即可．【解答】解：双曲线的，，，由双曲线的定义可得，即为，解得或．检验若在右支上，可得，，所以成立；若在左支上，可得，成立．故选D．  6.【答案】 本题考查点与圆的位置关系，属于基础题．根据题意可得，解不等式即可求得结果．【解答】解：圆的圆心为，半径为，点在圆的内部，，解得，即实数的取值范围为．故选A． 7.【答案】 本题考查充分条件、必要条件的判断，方程表示双曲线的条件，是基础题．根据方程表示双曲线的条件以及充分、必要条件的定义，进行判断即可．【解答】解：，，，方程表示双曲线，反过来，若方程表示双曲线，则，解得或，是方程表示双曲线的充分不必要条件．故选B．  8.【答案】 本题考察了椭圆的定义，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解，属于基础题．根据椭圆的定义可判断，平方得出，再利用余弦定理求解即可．【解答】、分别是椭圆的左、右焦点，，，，，在中，1/2，，故选A．  9.【答案】 本题给出直线与线段总有公共点，求的斜率的取值范围，着重考查了直线的斜率与倾斜角等知识，属于基础题．算出直线、的斜率，并根据斜率变化过程中直线倾斜角总是锐角，即可得到的斜率的取值范围．【解答】解：，直线的斜率，同理可得直线的斜率，直线过点且与线段相交，且在斜率变化过程中倾斜角总是锐角，的斜率的取值范围是故选C．  10.【答案】 本题考查直线和圆相交的弦长公式，以及两圆位置关系的判断，属于中档题．求出圆心到直线的距离，根据直线与圆相交的弦长公式为，求出的值，求出圆心距，与半径和、半径差比大小，即可判断两圆位置关系．【解答】解：圆的标准方程为：，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆：截直线所得线段的长度是，，即，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故选D．11.【答案】 本题考查直线与圆以及圆与圆的综合应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断．【解答】选项A：圆的圆心为 ，半径 圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线 表示圆心为，半径 的圆，方程可化为，因为圆 与曲线 有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径  同时两圆的位置关系为外离，有 ，即 ，解得，故B错误；选项C：圆的圆心 ，半径 ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离由切线的性质知， 为直角三角形， ，当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为，故选项C正确；选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即，和圆的方程两式相减得到直线方程为，所以直线过定点，D正确，故选B．12.【答案】 本题考查椭圆的几何意义，属于基础题．根据点到直线的距离公式求出，再根据定义和对称性得到的取值范围即可求解．【解答】解：，则，解得，设右焦点为，由对称性可知，，则，，又，所以故选A．13.【答案】 本题给出圆满足的条件，求圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．根据圆与轴相切，圆的半径等于点到轴的距离，求出半径，即可求出圆的标准方程．【解答】解：设圆的方程为，圆与轴相切，半径等于圆心到轴的距离，即，因此，圆的方程为，故答案为．  【答案】 本题考查双曲线定义的应用，属于基础题．由题意可知双曲线的焦点落在轴上，，且，求出的值即可．【解答】解：由点是双曲线的一个焦点，可知双曲线的焦点落在轴上，所以，且，解得．故答案为：．15.【答案】或 本题考查学生会根据条件求直线的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的一般方程．属于基础题．由直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍可知直线的斜率，直线过，得到直线的解析式．同时考虑到特殊情况即直线过原点．最后得到所有满足的直线方程即可．  【解答】解：当此直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距都等于，显然成立， 所以直线斜率为且过原点，所以直线解析式为，化简得； 当直线不过原点时，由在轴上的截距是在轴上的截距的倍得到直线的斜率为，直线过，所以直线解析式为，化简得： 故答案为或 16.【答案】 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．把已知点的坐标代入双曲线方程，求得，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：双曲线经过点，，解得，即．又，该双曲线的渐近线方程是．故答案为：．  17.【答案】或 本题考查圆的切线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆心到直线的距离，求出斜率，由此能出直线的方程．【解答】解：直线过点且与圆相切，圆的圆心，半径，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，解得，直线的方程为，即．综上，直线的方程为或．故答案为：或．18.【答案】 本题考查圆的一般方程，属于中档题．设的中点的坐标为，，根据求出圆心坐标，即可得，由点在圆上，代入化简即可求得．【解答】解：设的中点的坐标为，，圆的圆心为坐标为，由已知有，则又点在圆上，所以，所以，即．故答案为．  19.【答案】 本题考查双曲线的几何性质以及离心率的求法．分别求出，点坐标，再根据条件列方程即可求解．【解答】解：由题意可知，在双曲线的右支上，且在轴上方，垂直于轴，把代入，得， 点坐标为，又点坐标为，，化简得，即，解得或舍，故．故答案为．  20.【答案】 本题考查双曲线的概念和标准方程，涉及直角三角形的内切圆，属中档题．设，则，设，则，在中，利用勾股定理求得的值，即可算出内切圆半径．【解答】解： ，，设，则，设，则，，，，内切圆半径，故答案为．  21.【答案】解：Ⅰ直线的斜率，     由直线的点斜式方程得，      即直线的方程为：Ⅱ直线，          设直线与轴，轴的交点分别为，，令得，                            令得，                             ，所求三角形的面积为 【解析】本题考查了直线方程问题，考查三角形的面积，考查两直线垂直的判定，是一道基础题．Ⅰ求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程求出的方程即可； Ⅱ求出直线的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可．22.【答案】解：设椭圆的方程为，由题意，，，，，椭圆的方程为．左焦点，右焦点，设，，则直线的方程为，联立方程，消去得：，，，，点到直线的距离，． 【解析】设椭圆的方程为，由题意可知的值，再利用离心率求出的值，进而求出的值，得到椭圆的方程．由椭圆方程求出，的坐标，再利用点斜式求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出，再利用三角形面积公式求出的面积．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系．考查了弦长公式和三角形面积公式，是中档题．23.【答案】证明：圆的标准方程：，的圆心为，半径，圆的标准方程：，圆心，半径，两圆圆心距，又，，，所以圆和相交；解：圆和圆的方程左右分别相减，得圆和圆的公共弦所在直线的方程，圆心到直线的距离，故公共弦长为． 【解析】本题考查了两圆位置关系的判断以及公共弦长的求法，属于中档题．由圆的一般式方程得出圆心坐标及圆的半径，求出两圆圆心距及两半径之和与两半径之差的绝对值，比较大小得出两圆的位置关系；两圆方程作差得出公共弦所在的直线方程，再由圆心到公共弦的距离及圆的半径求出公共弦长．24.【答案】解：Ⅰ椭圆：的右焦点为在轴上，且经过点，可得，，则椭圆方程为；Ⅱ证明：设，，则直线的方程为．令，得点的横坐标．又，从而同理，由得，则，．所以又，所以．解得，所以直线经过定点． 【解析】本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于拔高题．Ⅰ由题意可得，由，，的关系，可得，进而得到所求椭圆方程；Ⅱ与椭圆方程联立，运用根与系数的关系，化简整理，求出，可得结论．