初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数习题

这是一份初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数习题，共21页。试卷主要包含了方程组无解时与没有交点等内容，欢迎下载使用。
一．二次函数与一次函数综合
一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程组的解的数目来确定：
1．方程组有两组不同的解时与有两个交点；
2．方程组只有一组解时与只有一个交点；
3．方程组无解时与没有交点．
二．二次函数与不等式综合
二次函数与不等式的联系．如下表（以为例）：
三．二次函数与方程及代数式综合
二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数式的化简求值，与方程综合注意分类讨论以及整数解问题，与代数式综合的解题思想是“消元降次，整体代入”．
三点剖析
一．考点：二次函数代数综合．

二．重难点：二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式综合，二次函数与方程及代数式综合．
三．易错点：
1．二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围的上限或者下限；
2．二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算，要结合函数图像，利用函数的增减性来求解参数的取值范围；
3．二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外，一般情况下都是通过“消元降次，整体代入”的方法来求解；
4．二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论．
题模精讲
题模一：与不等式综合
例1.1 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
例1.2 已知一次函数（k≠0）的图象经过，两点，二次函数（其中a＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若，求当且≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足且≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围．
题模二：与一次函数综合
例2.1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为．
（1）求点坐标；
（2）直线经过点．
①求直线和抛物线的解析式；
②点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为．将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是________．
例2.2 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在这一段位于直线l的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
例2.3 在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
题模三：与代数式综合
例3.1 已知关于的方程．
（1）求证：不论为任意实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；
（3）若点P（，）与点Q（，）在（2）中抛物线上，（点P、Q不重合），且，求代数式的值．
习题大演练
随练1 如图，二次函数的图象与x轴相交于点、，交y轴点C， C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式及点D的坐标；
（2）根据图象写出时，x的取值范围．
随练2 已知：抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G．点在图象G上，且．
①求的取值范围；
②若点也在图象G上，且满足恒成立，则k的取值范围为_________．
随练3 已知抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；
（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若△是等腰三角形，求抛物线的
解析式；
（3）已知一次函数，点是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作
垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．
随练4 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时m的值．
y
x
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
随练5 已知二次函数在与的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求m与k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧 ），将二次函数的图象B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。
随练6 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线．求抛物线的解析式；
（3）点和都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式的值．
二次函数代数综合
题模精讲
题模一：与不等式综合
例2.1.1
【答案】 （1）y=x2-x-1（2）（-1，0）（3）-1＜x＜4
【解析】
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，
∴，∴a=，b=-，c=-1，
∴二次函数的解析式为y=x2-x-1；
（2）当y=0时，得x2-x-1=0；
解得x1=2，x2=-1，
∴点D坐标为（-1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4．
例2.1.2
【答案】 （1）；（2）；
【解析】 （1）∵ 一次函数（k≠0）的图象经过，两点，
∴ ，解得…………………………… 1分
∴-------------------------------------------2分
∵ ，
∴ 二次函数图象的顶点坐标为．………… 3分
（2）①当时，．………… 4分
如图10，因为且，由图象得．…… 6分
②．……………………………7分
题模二：与一次函数综合
例2.2.1
【答案】 （1）（2）；（3）
【解析】 该题考查的是函数综合．
（1）依题意，可得抛物线的对称轴为．………………………1分
∵抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，
∴点的坐标为………………………2分
（2）∵点B在直线上，
∴①
∵点A在二次函数的图象上，
∴② ………………………3分
由①，②可得，………………………4分
∴抛物线的解析式为，直线的解析式为……………5分
（3）………………………7分
例2.2.2
【答案】 （1）（2）（3）
【解析】 该题考察的是一次函数和二次函数综合．
（1）当时，
∴ 点A的坐标为， …………………1分
将配方，得
，
∴ 抛物线的对称轴为直线，
∴ 点B的坐标为， …………………2分
（2）由题意，点A关于直线对称点的坐标为．………………………………3分
设直线l的解析式为
∵ 点和点在直线l上，
∴ ， 解得
∴ 直线l的解析式为．………………………………………………4分
（3）由题意可知，抛物线关于直线对称，直线AB和直线l也关于直线对称
∵ 抛物线在这一段位于直线AB的下方，
∴ 抛物线在这一段位于直线l的下方，
又∵ 抛物线在这一段位于直线l的上方，
∴ 抛物线与直线l的一个交点横坐标为 ， …………………………………5分
∴ 由直线l的解析式 可得这个店的坐标为，………………6分
∵ 抛物线经过点，
∴．
∴ 所求抛物线的解析式为． …………………………………7分
例2.2.3
【答案】 （1）A（3，2），B（﹣1，2）．
（2）y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）．
【解析】 （1）当y=2时，则2=x﹣1，
解得：x=3，
∴A（3，2），
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：
解得：
∴y=x2﹣2x﹣1．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a=2，
解得：a=，
代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，
解得：a=2，
∴．
题模三：与代数式综合
例2.3.1
【答案】 （1）见解析（2）（3）
【解析】 （1）当时，原方程化为 此时方程有实数根 x = -3.
当时，原方程为一元二次方程.
∵．
∴此时方程有两个实数根．
综上，不论m为任何实数时，方程 总有实数根．
（2）∵令, 则 ．
解得 ，．
∵ 抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，
∴. ∴抛物线的解析式为.
（3）∵点与在抛物线上，
∴.
∵，∴.
可得 ，即 ．
∵ 点P, Q不重合，∴ ．∴ .
∴
随堂练习
随练2.1
【答案】 （1）（2）或
【解析】 本题考查了一次函数和二次函数综合应用．
（1）∵二次函数经过，
设二次函数解析式为，代入，解得，
二次函数解析式为
∵C、D是二次函数图象上的一对对称点，二次函数对称轴为
∴
（2）两函数的交点为，，所以当时，根据图象可得或．
随练2.2
【答案】 （1）（2）①或②或
【解析】 该题考查的是二次函数综合．
（1）∵抛物线过点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为． --------------2分
（2）①当时，．
∴或2．
∴抛物线与x轴交于点， ．-----3分
当时， ．
∴或1．
∴抛物线与直线交于点，．
∴C，D关于直线的对称点，．----4分
∴根据图象可得或．----------------5分
②的取值范围为或．----------------7分
随练2.3
【答案】 （1）;（2）（3）
【解析】 该题考查的是二次函数综合．
（1）令，有．
∴． ∴．
∴，．
∵点B在点A的右侧，
∴，．…………………………………………2分
（2）∵点B在原点的右侧且在点A的右侧，点C在原点的下方，抛物线开口向下，
．∴．
∴．
令，有．
∴．
∵△BOC是等腰三角形，且，
∴．即．
∴．
∴，（舍去）．
∴．
∴抛物线的解析式为．………………………………4分
（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标为和．
将交点坐标分别代入一次函数解析式中，
得解得
一次函数的解析式为．…………………………………………7分
随练2.4
【答案】 （1）（2）或（3）或
【解析】 该题考查抛物线的性质与几何变换
由题意，得，
∴
∴k的取值范围为．…………2分
（2）∵，且k取最小的整数，∴
∴
则抛物线的顶点坐标为…………………3分
∵的图象与轴相交，
∴∴
∴抛物线与轴相交于,…………4分
（3）翻折后所得新图象如图所示.…………5分
平移直线知: 直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于时，此时过点
，即………………6分
②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点，
∴方程，
即有两个相等实根，∴
即………………7分
当时，满足
由①②知或．
随练2.5
【答案】 （1）（2）；（3）
【解析】该题考察的是二次函数综合．
（1）由题意得 ．
解得 ．
∴ 二次函数的解析式为．
（2）∵ 点在二次函数的图象上，
∴．
∴点A的坐标为．
∵ 点A在一次函数的图象上，
∴ ．
（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为，．
平移后，点B，C的对应点分别为，．
将直线平移后得到直线．
如图1，当直线经过点时，
图象G（点除外）在该直线右侧，可得；
如图2，当直线经过点时，
图象G（点除外）在该直线左侧，可得．
∴ 由图象可知，符合题意的的取值范围是．
随练2.6
【答案】 （1）见解析（2）（3）
【解析】 该题考查的是二次函数的综合．
（1）证明：∵，而，
∴，即．
∴无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵当时，，
∴．
∴，即．∵，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∴抛物线的顶点为．
∴抛物线的顶点为．
∴抛物线的解析式为．
（3）解：∵点和都在抛物线上，
∴，且．
∴．
∴．
∴．
∵A、B两点不重合，即，
∴．
∴．
∵，，
∴
．判别式:
二次函数
的图象
不等式的解集
或
任意实数
无解
无解