2022-2023学年广东省深圳市龙岗区联邦学校等两校八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区联邦学校等两校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 四个实数，，，中，最小的无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列各组数中，是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

8. 如图所示，每个小方格的边长都为，在直角坐标系中，如果图书馆的横坐标与实验楼的横坐标互为相反数，大门的纵坐标与实验楼的纵坐标互为相反数，则图书馆的位置是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若，满足，则的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在中，，是上异于，的一点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 通过估算，比较大小： ______
12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿，与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从处沿内壁到达处的最短距离为______．
14. 如图，把半径等于的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点表示的数是______ ．

15. 已知在四边形中，若，且，则四边形叫做平行四边形．若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，且第四个顶点在第四象限，则第四个顶点的坐标是______．

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 计算：
    ；
     
17. 已知，．
    填空：______，______；
    求的值．
18. 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：
    请直接写出，，三点的坐标______，______，______．
    作出关于轴对称的；
    的面积为______．

19. 如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，．
    求证：是直角三角形；
    求的周长

20. 一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是．
    此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
    为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？

21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点的坐标分别为，，如图所示，其中，，满足关系式，．
    
    求，，的值；
    如果在第二象限内有一点，请用含的代数式表示的面积；
    在的条件下，是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有：．
    例：化简．
    解：首先把化为，这里，，由于，．
    即，．
    ．
    请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
    填空：______，______；
    化简：；写出计算过程
    化简：为正整数
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
直接根据平方根的定义解答即可．
本题考查的是平方根，熟知正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
点位于第四象限．
故选：．
根据点的横纵坐标值与的大小关系判定即可．
本题主要考查了平面直角坐标系点的坐标知识点，熟练把握四个象限的符号特点是解本题的关键，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：：，不是同类二次根式，不能合并，故A错．
：，合并同类二次根式，故B错．
：，二次根式的乘法法则，故C正确．
：，二次根式的除法法则，故D错．
故选：．
根据二次根式的运算法则可得答案．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，
是直角三角形，
的面积

，
故选：．
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后再进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：和是有理数，故和不是，
与中的被开方数，
故．
故选：．
题目求的是最小的无理数，和是有理数，剩下两个根据无理数大小的比较方法得出答案．
本题考查的是实数大小的比较，与是有理数，只需要比较与即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，此选项不符合题意；
B、，此选项符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图书馆的横坐标与实验楼的横坐标互为相反数，大门的纵坐标与实验楼的纵坐标互为相反数，得
，
图书馆的坐标，
故选：．
根据横坐标互为相反数，可得轴，根据纵坐标互为相反数，可得轴，根据点在平面直角坐标系中的位置，可得答案．
本题考查了坐标确定位置，利用横坐标互为相反数得出轴，纵坐标互为相反数得出轴是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
，
的平方根是．
故选：．
根据非负数的性质求出和的值，再代入计算可得答案．
本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，
，，
，，，
．
故选：．
首先过点作于，可得，又由，根据三线合一的性质，可得，由勾股定理可得，，然后由，即可求得答案．
本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质的正确及灵活运用．注意得到是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，即．
，即．
，即．
故答案为：．
由，得，根据不等式的性质得，那么，可得结论．
本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，

圆柱形容器，高，底面周长为，
，
．
蚂蚁处到达处的最短距离为，
故答案为：．
先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可．
本题考查的是平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】或． 

【解析】解：由半径为的圆从数轴上表示的点沿着数轴滚动一周到达点，得
点与之间的距离是．
由两点间的距离是大数减小数，得
当点在的左边时表示的数是，当点在的右边时表示的数是．
故答案为：或．
根据半径为的圆从数轴上表示的点沿着数轴滚动一周到达点，再由圆的周长公式得出周长为，根据两点间的距离是大数减小数，可得答案．
本题主要考查了实数与数轴，解题时利用了数轴上两点间的距离是大数减小数．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：如图所示，

第个顶点的坐标为或或．
故答案为：或或．
根据题意画出平面直角坐标系，然后描出，，的位置，再找第四个顶点坐标．
此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】利用二次根式的性质化简运算即可；
利用二次根式的性质，立方根的意义和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义和绝对值的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：，，
，，
故答案为：；；






．
根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式、多项式乘多项式，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】       

【解析】解：，，；
故答案为：，，；
如图，为所作；

的面积．
故答案为：．
根据点的坐标的表示方法求解；
利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
 

19.【答案】证明：，，，
为直角三角形；
解：设，
是等腰三角形，
，
，
解得：，
的周长． 

【解析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．
由，，，知道，所以为直角三角形，
由可求出的长，周长即可求出．
 

20.【答案】解：如图，，为卡车的宽度，
过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足，
米，米，
由作法得，米，
又米，
在中，米，
．
这辆卡车能通过．
如图：
根据题意可知：米，米，米，
米
根据勾股定理有：米，
米，
桥洞的宽至少增加到米． 

【解析】过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；
根据已知条件求出的长，再根据勾股定理求出的长，从而得出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，，
，
；
由得，
点在第二象限，
，
到线段的距离为，
；
存在点，使的面积与的面积相等，
理由如下：由得，，，
，点到的距离为，
，
的面积与的面积相等，
，解得，
存在点，使的面积与的面积相等． 

【解析】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，三角形的面积，熟练掌握各性质是解题的关键．
由非负数的性质可求得结论；
由到线段的距离为，由三角形的面积公式可求得结论；
根据的面积与的面积相等列式，即可得到结论．
 

22.【答案】  

【解析】解：这里，，
，，
即：，
；
这里，，
，，
即：，，
，
故答案为：；；
，
这里，，
，，
即：，，
，
；
，
，
，
，
，
原式
．
利用题干中的方法解答即可；
利用题干中的方法解答即可；
利用题干中的方法将每个二次根式转化成两个二次根式的差后，利用加法的运算律解答即可．
本题主要考查了二次根式的化简与性质，数字变化的规律，本题是阅读型题目，理解题干中的解题方法并熟练应用是解题的关键．