2022-2023学年贵州省黔西南州兴仁市市黔龙、黔峰、金成学校人教版九年级（上）期中数学试卷（a卷）(解析版)

这是一份2022-2023学年贵州省黔西南州兴仁市市黔龙、黔峰、金成学校人教版九年级（上）期中数学试卷（a卷）(解析版)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省黔西南州兴仁市市黔龙、黔峰、金成学校九年级第一学期期中数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则2021+a+b＝（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CDB的度数是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
5．打开新华字典，恰好找到汉字“数”，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件
6．如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（　　）

A．105° B．110° C．115° D．120°
8．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象为（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　）

A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
11．如图，A，B两点在双曲线上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，若阴影部分的面积为2，则S1+S2的值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
12．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1顺时针旋转180°得到C2；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若P（2013，m）在这条曲线上，则m的值为（　　）

A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
14．已知点A（2，a）和点B（b，1）关于原点对称，则ab＝　 　．
15．设α、β是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为 　 　．
16．如图，A（1，0）、B（5，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点，当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　 　．

三、解答题（共98分）
17．解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣3）（x﹣4）＝x﹣3．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．
（1）若∠BCD＝32°，求∠ABD的度数．
（2）若∠BCD＝30°，⊙O的半径r＝4，求BD的长．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 　 　；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

20．为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4；D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 　 　人，条形统计图中的m＝　 　；
（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．

21．如图，已知点A（a，2），B（﹣1，b）是直线y＝2x﹣6与反比例函数y＝图象的交点，且该直线与y轴交于点C．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式2x﹣6的解集．

22．图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）试判断直线DE与⊙A的位置关系，并证明你的判断．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

23．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
24．乒乓球台的横截面如图所示，桌面长AB＝274cm，位于球桌中线的球网高MN＝15.25cm，以BA的延长线上距A点23cm的O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系．从O点发出的球经过点C（50，），且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为100cm的地方，球达到最高点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）此球是否可以击中球台且不触网？请说明理由．

25．综合与实践
实践操作：如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．

问题解决：（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D；
拓展探究：（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′存在两次全等，请你帮助小军直接写出当△DCD′与△CBD′全等时，旋转角α的值．



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则2021+a+b＝（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】先把把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2021+a+b＝2021﹣1＝2020．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
解：将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：y＝5（x+2）2+3．
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CDB的度数是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】根据正六边形的性质即可得到结论．
解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BOC＝＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°，
故选：D．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的内角和是解题的关键．
5．打开新华字典，恰好找到汉字“数”，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：打开新华字典，恰好找到汉字“数”，这个事件是随机事件，
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：∵点A与B关于原点对称，
∴A点的坐标为（2，3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（　　）

A．105° B．110° C．115° D．120°
【分析】首先利用圆周角与圆心角的关系求出∠AOD，然后利用邻补角的性质即可求出∠BOD的度数．
解：∵∠ACD与∠AOD都对着，
∴∠AOD＝2∠ACD，
而∠ACD＝35°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弦、弧关系定理，同时也利用了邻补角的性质，有一定的综合性．
8．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：＝．
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＞0．
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数（c≠0）在二、四象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
10．如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　）

A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
【分析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，根据垂径定理求出BN＝BM＝3，根据勾股定理求出AB，求出OB，即可得出答案．
解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，

∵AB过A，
∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB＝＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出BM和BN是解此题的关键．
11．如图，A，B两点在双曲线上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，若阴影部分的面积为2，则S1+S2的值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S1+S阴影＝6，S2+S阴影＝6，根据阴影部分的面积为2，可得S1和S2的值，进一步求解即可．
解：∵A，B两点在双曲线上，
∴S1+S阴影＝6，S2+S阴影＝6，
∵阴影部分的面积为2，
∴S1＝4，S2＝4，
∴S1+S2＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
12．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1顺时针旋转180°得到C2；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若P（2013，m）在这条曲线上，则m的值为（　　）

A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），再利用旋转的性质得到图象C2与x轴交点坐标为：（4，0），（8，0），则抛物线C2：y＝（x﹣4）（x﹣8）（4≤x≤8），于是可推出抛物线C504：y＝（x﹣4×503）（x﹣4×504）（2012≤x≤2016），由于2013＝4×503+1，则可判断P（2013，m）在抛物线y＝（x﹣4×503）（x﹣504）（2012≤x≤2016）上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算m的值．
解：∵一段抛物线C1：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），
∴图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
∴抛物线C2：y＝（x﹣4）（x﹣8）（4≤x≤8），
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，
∴抛物线C504：y＝（x﹣4×503）（x﹣4×504）（2012≤x≤2016），
∵2013＝4×503+1，
∴P（2013，m）在抛物线y＝（x﹣4×503）（x﹣504）（2012≤x≤2016）上，
∴当x＝2013时，m＝（2013﹣2012）（2013﹣2016）＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换，正确记忆旋转的特点，找到图形变换的规律是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣2　．
【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．
解：∵方程（m﹣2）+3x＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0．
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．
14．已知点A（2，a）和点B（b，1）关于原点对称，则ab＝　2　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
解：∵点A（2，a）、点B（b，1）关于原点对称，
∴b＝﹣2，a＝﹣1，
则ab＝（﹣2）×（﹣1）＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
15．设α、β是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为 　2021　．
【分析】根据题意可得α2+α﹣2022＝0，进一步可得α2+α＝2022，根据根与系数的关系可得α+β＝﹣1，即可求出代数式的值．
解：根据题意，得α2+α﹣2022＝0，
∴α2+α＝2022，
∵α+β＝﹣1，
∴α2+2α+β＝2022+（﹣1）＝2021，
故答案为：2021．
【点评】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
16．如图，A（1，0）、B（5，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点，当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　1　．

【分析】连接MD，如图，利用垂径定理得到MD⊥EF，则∠ODM＝90°，再根据勾股定理得到点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝1．
解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以OM为直径的圆上，
∵A（1，0）、B（5，0），M为AB中点，
∴M点坐标为（3，0），
令OM的中点为G，
∴G坐标为（，0）
连接CG、CM，
则△CGM为直角三角形，
根据勾股定理求得CG＝，当D点为CG与⊙G的交点时，CD的值最小，此时CD＝CG﹣DG＝﹣＝1，

【点评】本题考查了旋转的性质，垂径定理和勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共98分）
17．解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣3）（x﹣4）＝x﹣3．
【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到（x﹣3）（x﹣4）﹣（x﹣3）＝0，再把方程转化为x﹣3＝0或x﹣4﹣1＝0，然后解一元一次方程即可．
解：（1）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）（x﹣3）（x﹣4）＝x﹣3，
（x﹣3）（x﹣4）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣4﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．
（1）若∠BCD＝32°，求∠ABD的度数．
（2）若∠BCD＝30°，⊙O的半径r＝4，求BD的长．

【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝32°，然后利用互余求∠ABD的度数．
（2）根据圆周角定理和直角三角形的性质解答即可．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝32°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣32°＝58°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝30°，r＝4，
∴BD＝AB＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 　65°　；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF＝＝4．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20．为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4；D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 　100　人，条形统计图中的m＝　42　；
（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值；
（2）用360°乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图；
（3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）这次抽样调查的总人数为28÷28%＝100（人），
所以m＝100×42%＝42；
故答案为：100；42；
（2）B组所在扇形圆心角的度数为360°×20%＝72°；
B组人数为100×20%＝20（人），
条形统计图补充完整为：

（3）1300×（28%+42%）＝910（人），
所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．如图，已知点A（a，2），B（﹣1，b）是直线y＝2x﹣6与反比例函数y＝图象的交点，且该直线与y轴交于点C．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式2x﹣6的解集．

【分析】（1）由一次函数的解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）由于直线AB与y轴交于点C，所以三角形AOB的面积是三角形AOC和三角形OCB的面积之和，依此列式计算即可；
（3）根据图象求解即可．
解：（1）∵点A（a，2），B（﹣1，b）是直线y＝2x﹣6上的点，
∴2＝2a﹣6，b＝﹣2﹣6，
∴a＝4，b＝﹣8，
∴A（4，2），B（﹣1，﹣8），
把A的坐标代入y＝得，2＝，
∴m＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）∵直线AB与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝﹣6．
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×4+＝15；

（3）观察图象，不等式2x﹣6的解集﹣1≤x＜0或x≥4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法确定反比例函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
22．图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）试判断直线DE与⊙A的位置关系，并证明你的判断．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：DE与⊙A相切，
连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，
∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF＝＝＝，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
23．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）＝售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150；

（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）＝4000，
解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；

（3）w与x的函数关系式为：
w＝（﹣x+150）（x﹣20）
＝﹣x2+170x﹣3000
＝﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x＝85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
24．乒乓球台的横截面如图所示，桌面长AB＝274cm，位于球桌中线的球网高MN＝15.25cm，以BA的延长线上距A点23cm的O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系．从O点发出的球经过点C（50，），且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为100cm的地方，球达到最高点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）此球是否可以击中球台且不触网？请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线过原点，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由在距O点水平距离为100cm的地方，球达到最高点就可以求出球的落点的坐标，由待定系数法就可以求出结论；
（2）由桌面长AB＝274cm就可以求出球网的横坐标为137+23＝160，当x＝160时代入（1）的解析式就可以求出结论．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由题意，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）当x＝+23＝160时，y＝﹣×1602+×160＝16＞15.25，
此球不触网；
∵当x＝200时，y＝0，且200＜274+23＝297，
∴此球可以击中球台．
∴此球可以击中球台且不触网．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答时运用待定系数法求出二次函数的解析式是关键．
25．综合与实践
实践操作：如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．

问题解决：（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D；
拓展探究：（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′存在两次全等，请你帮助小军直接写出当△DCD′与△CBD′全等时，旋转角α的值．

【分析】（1）根据旋转的性质得CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，则∠CD′E＝30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α＝30°；
（2）由G为BC中点可得CG＝CE，根据旋转的性质得∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′，则∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′＝E′D；
（3）根据正方形的性质得CB＝CD，而CD＝CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α＝135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α＝315°．
【解答】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′＝CD＝2，
在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，
∴∠CD′E＝30°，
∵CD∥EF，
∴∠α＝30°；

（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG＝1，
∴CG＝CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG，
∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′＝E′D；

（3）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，
∵CD＝CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α＝＝135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°
则α＝360°﹣＝315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形、矩形的性质，三角形全等的判定与性质，旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，正确寻找全等三角形解决问题．