2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方郭中学人教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方郭中学人教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方郭中学九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共24分）
1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
2．若关于x的方程（a﹣1）x2+2ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（　　）
A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0
3．关于x的一元二次方程x2+2x+4＝0，方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的顶点是（　　）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）
5．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数＝x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系
是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
6．如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1，当直线y＝b﹣1（b为常数）与图形C1有三或四个公共点时，则b的取值范围是（　　）

A．0＜b＜4 B．1＜b≤4 C．1＜b≤5 D．0≤b＜5
7．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．汽车刹车后到停下来前进了（　　）秒．
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），y与x的部分对应值如表所示：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
m
﹣4
﹣3
0
5
…
下面四个结论中，正确的有（　　）
①a＜0；
②抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点为（2，﹣4）；
③关于x的方程ax2+bx＝5的解为x1＝﹣1，x2＝5；
④m＝﹣3．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共24分）
9．方程（x+1）2＝4的根是　 　．
10．若关于x的一元二次方程（3a﹣6）x2+（a2﹣4）x+a+9＝0没有一次项，则a＝　 　．
11．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一个根为x＝1，写出满足条件的实数a，b的值 　 　．
12．二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣2，y1）、B（2，y2）、C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．
13．已知二次函数y＝x2﹣（2m+1）x﹣3m，在﹣2≤x≤3上有最大值6，则m的值为 　 　．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当﹣2≤x≤1时最大值为4，则m的值为 　 　．
15．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，则汽车刹车后前进了 　 　m停下来．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④a2+ab+c的最小值为﹣．其中正确结论的是 　 　．

三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10；
（2）x2﹣2x+1＝0；
（3）2x2+x＝﹣4．
18．商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？
19．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC的一条边BC的长为，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．当k＝2时，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）设方程两实数根分别为x1、x2，且＝x1x2﹣4，求实数k的值．
20．如图，直线y1＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y2＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线解析式；
（2）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．

21．一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．

（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 　 　．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
22．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．

23．小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？
（3）如果增种的桃树x（棵）满足：20≤x≤40，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克？

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求b的值及B，C两点坐标；
（Ⅱ）M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D．
①当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标；
②连接CM，当线段CM＝CD时，求点M坐标．



参考答案
一、单选题（每题3分，共24分）
1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，从而得出答案．
解：∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴x2﹣6x＝7，
则x2﹣6x+9＝7+9，即（x﹣3）2＝16，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．若关于x的方程（a﹣1）x2+2ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（　　）
A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+2ax﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解得a≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3．关于x的一元二次方程x2+2x+4＝0，方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先求出Δ，判断Δ的正负，即可得出选项．
解：x2+2x+4＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴方程没有实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
4．二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的顶点是（　　）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）
【分析】利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标．
解：∵y＝（x﹣4）2+5，
∴顶点坐标为（4，5）．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
5．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数＝x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系
是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1，a＝1＞0可知，距离对称轴越近函数值越小即可．
解：∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
且a＝1＞0，
∴A到对称轴直线x＝﹣1的距离为1，
B到对称轴直线x＝﹣1的距离为0，
C到对称轴直线x＝﹣1的距离为3，
∵0＜1＜3，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据开口向上，离对称轴越近函数值越小是解决问题的关键．
6．如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1，当直线y＝b﹣1（b为常数）与图形C1有三或四个公共点时，则b的取值范围是（　　）

A．0＜b＜4 B．1＜b≤4 C．1＜b≤5 D．0≤b＜5
【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），再利用配方法得到抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折后的图象解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x＜3），然后结合函数图象，当0＜b﹣1≤4时，直线y＝b﹣1（b为常数）与图形C1有三或四个公共点，从而得到b的范围．
解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），
∵点（1，﹣4）关于x轴的对称点的坐标为（1，4），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折后的图象解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x＜3），
∵直线y＝b﹣1（b为常数）与图形C1有三或四个公共点，
∴b﹣1＝4时，有3个交点；当0＜b﹣1＜4时，有4个交点，如图，

即0＜b﹣1≤4，
解得1＜b≤5．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．汽车刹车后到停下来前进了（　　）秒．
A． B． C． D．
【分析】求出函数的最大值时自变量的值即可得．
解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，S取得最大值，
即汽车刹车后到停下来前进了秒，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），y与x的部分对应值如表所示：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
m
﹣4
﹣3
0
5
…
下面四个结论中，正确的有（　　）
①a＜0；
②抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点为（2，﹣4）；
③关于x的方程ax2+bx＝5的解为x1＝﹣1，x2＝5；
④m＝﹣3．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据图象图象经过点（0，0），（4，0）可求图象对称轴，由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上，从而可判断①②；由抛物线对称性求得（5，5）的对称点（﹣1，50，则图象经过（﹣1，5），（5，5）可得ax2+bx＝5的解为x1＝﹣1，x2＝5从而判断③；根据抛物线的对称性即可求得m＝﹣3从而判断④．
解：∵y＝ax2+bx（a≠0），
∴x＝0时，y＝0，
∴图象经过点（0，0），
∵图象经过（4，0），
∴图象对称轴为直线x＝＝2，
由表格可得，x＞2时，y随x的增大而增大，
∴抛物线图象开口向上，a＞0，故①不正确；
∵图象对称轴为直线x＝2，
∴抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点为（2，﹣4），故②正确；
∵图象对称轴为直线x＝2，
∴点（5，5）关于直线x＝2的对称点为（﹣1，5），
∴抛物线经过（﹣1，5），（5，5），
∴关于x的方程ax2+bx＝5的解为x1＝﹣1，x2＝5，故③正确；
∵抛物线经过（3，﹣3），抛物线对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过点（1，﹣3），
∴m＝﹣3，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据表格判断出抛物线开口方向与对称轴．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．方程（x+1）2＝4的根是　x1＝1，x2＝﹣3　．
【分析】先求4的平方根，然后解关于x的一元一次方程．
解：由原方程，得x+1＝±2．
解得．
故答案是：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
10．若关于x的一元二次方程（3a﹣6）x2+（a2﹣4）x+a+9＝0没有一次项，则a＝　﹣2　．
【分析】根据没有一次项可得a2﹣4＝0，且3a﹣6≠0再解即可．
解：由题意得：a2﹣4＝0，且3a﹣6≠0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
11．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一个根为x＝1，写出满足条件的实数a，b的值 　a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）　．
【分析】把x＝1代入方程得到a与b的关系式，确定出一对a与b的值即可．
解：把x＝1代入方程得：a+b﹣2019＝0，
当a＝2019时，b＝0，
则满足条件的实数a，b的值为a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
故答案为：a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12．二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣2，y1）、B（2，y2）、C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　y1＜y3＜y2　．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的图象的开口向下，对称轴是直线x＝，根据x＜时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
解：∵y＝ax2﹣3ax+c（a＜0，a，c均为常数），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝，
∴B（2，y2）关于直线x＝的对称点是（1，y2），
∵﹣2＜0＜1＜，
∴y1＜y3＜y2，
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
13．已知二次函数y＝x2﹣（2m+1）x﹣3m，在﹣2≤x≤3上有最大值6，则m的值为 　0　．
【分析】分三种情况讨论，得到关于m的方程，解方程求得m的值，看是否符合题意即可．
解：∵y＝x2﹣（2m+1）x﹣3m．
∴对称轴为：x＝，
①当＞3，即m＞，则x＝﹣2时，y＝6，
∴4+4m+2﹣3m＝6，
∴m＝0（舍去）．
②当﹣2≤≤3时，即﹣≤m≤，
若x＝﹣2时，y取最大值6，
∴4+4m+2﹣3m＝6，
解得m＝0．
若x＝3时，y取最大值6，
则9﹣3（2m+1）﹣3m＝6，
解得：m＝0；
③当＜﹣2，即m＜﹣时，
若x＝3时，y取最大值，
∴9﹣3（2m+1）﹣3m＝6，解得：m＝0（舍去），
综上：m的值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当﹣2≤x≤1时最大值为4，则m的值为 　﹣或2　．
【分析】分三种情况：①当m≤﹣2时，②当﹣2≤m≤1时，③当m≥1时，根据二次函数的性质即可求解．
解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1对称轴的直线为x＝m，a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
①当m≤﹣2时，若﹣2≤x≤1，y随x的增大而减小，
∴x＝﹣2时，二次函数y＝﹣x2+2mx+1有最大值4，
∴﹣（﹣2）2+2×（﹣2）m+1＝4，解得m＝﹣，
∵﹣＞﹣2，
∴m＝﹣，不符合题意；
②当﹣2≤m≤1时，
∵顶点D点的坐标为（m，m2+1），
∴x＝m时，二次函数y＝﹣x2+2mx+1有最大值4，
∴m2+1＝4，解得m＝±（＞1，不符合题意，舍去），
∴m＝﹣；
③当m≥1时，若﹣2≤x≤1，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，二次函数y＝﹣x2+2mx+1有最大值4，
∴﹣12+2m+1＝4，解得m＝2，
综上，当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+2mx+1有最大值4，m的值为﹣或2．
故答案为：﹣或2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，题目比较好，有一定的难度．
15．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，则汽车刹车后前进了 　　m停下来．
【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∵﹣6＜0，
∴当t＝时，s有最大值，最大值为，
∴汽车刹车后到停下来前进了m．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④a2+ab+c的最小值为﹣．其中正确结论的是 　②③④⑤　．

【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②③；由a（x+5）（x一1）＝﹣1有两个根x1和x2且x1＜x2，即可判断④；和判断⑤．
解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，①错误；
抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣，，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，②正确；
9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，③正确；
抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1两个根x1和x2且x1＜x2，则一5＜x1＜x2＜1．④正确；
当x＝﹣2时，y＝ax2+bx+c有最小值﹣9a，a2+ab+c＝a2+a×4a﹣5a＝5a2﹣5a＝5，最小值为﹣．故⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10；
（2）x2﹣2x+1＝0；
（3）2x2+x＝﹣4．
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可；
（3）方程整理后，利用公式法求出解即可．
解：（1）移项得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
分解因式得：（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
所以2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝2；
（2）这里a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝20﹣4＝16＞0，
∴x＝，
解得：x1＝+2，x2＝﹣2；
（3）方程整理得：2x2+x+4＝0，
这里a＝2，b＝1，c＝4，
∵Δ＝1﹣4×2×4＝1﹣32＝﹣31＜0，
∴此方程没有实数根．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？
【分析】设每件商品售价定为x元，商场日盈利可达1500元，根据总利润＝单件利润×销售数量，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设每件商品售价定为x元，商场日盈利可达1500元，
由题意，得：（x﹣120）[70﹣（x﹣130）]＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x1＝150，x2＝170，
答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场日盈利可达1500元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC的一条边BC的长为，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．当k＝2时，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）设方程两实数根分别为x1、x2，且＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理的逆定理即可求出答案；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
解得k≤3．
故k的取值范围为：k≤3；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
当k＝2时，
原方程化为：x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝3或x＝1，
∴32+12＝（）2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴，
代入x1+x2和x1x2的值，可得：，
解得：k1＝﹣3，k2＝5，
∵k≤3．
∴k＝﹣3，
经检验，k＝﹣3是原方程的根，
故k＝﹣3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，解分式方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式．
20．如图，直线y1＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y2＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线解析式；
（2）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．

【分析】（1）判断出A、B两点坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1即可；
（2）根据图象即可求得．
解：（1）由题意B（3，0），C（0，3），
∵抛物线的对称轴x＝2，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，
∴A（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得到a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．

（2）当y1＜y2时，x＜0或x＞3．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
21．一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．

（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 　（30﹣2x）（12﹣2x）＝144；　．
（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可．
解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，
依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，
依题意，得：（﹣y）（12﹣2y）＝104，
整理，得：y2﹣21y+38＝0，
解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），
∴y＝2．
答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，正方形的边长为2cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．

【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
解：
（1）当t＝2时，则AP＝2，BQ＝2t＝4，
∵AB＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ＝＝＝2（cm），
即PQ的长为2cm；
（2）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝8，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即8﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝10，
当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣2t＝16﹣2t，
∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣（16﹣2t）＝2t﹣6，
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，
①当BQ＝BC＝6时，如图1，过B作BD⊥AC，
则CD＝CQ＝t﹣3，在Rt△ABC中，求得BD＝，

在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2＝BD2+CD2，即62＝（）2+（t﹣3）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；
②当CQ＝BC＝6时，则2t﹣6＝6，解得t＝6；
③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，
∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，
∴∠A＝∠QBA，
∴QB＝QA，
∴CQ＝AC＝5，即2t﹣6＝5，解得t＝5.5；
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形时．
【点评】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
23．小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？
（3）如果增种的桃树x（棵）满足：20≤x≤40，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克？

【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．
（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．
（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得，
解得，
∴该函数的表达式为y＝﹣x+80；
（2）根据题意，得，
（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，
解得，x1＝10，x2＝70
∵投入成本最低．
∴x2＝70不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克；
（3）根据题意，得
w＝（﹣0.5x+80）（80+x）
＝﹣0.5 x2+40 x+6400
＝﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值，
∵20≤x≤40，
∴当x＝20时，w最小值＝7000kg；
∴桃园的总产量最少是7000千克．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求b的值及B，C两点坐标；
（Ⅱ）M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D．
①当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标；
②连接CM，当线段CM＝CD时，求点M坐标．

【分析】（Ⅰ）根据题意列方程求得b＝，于是得到抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4，解方程即可得到结论；
（Ⅱ）①设直线BC的表达式为y＝mx+n，解方程组得到直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点M的坐标为（x，﹣x2+x+4），则点D的坐标为（x，﹣x+4），得到MD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，根据二次函数的性质即可得到结论；
②由①知，直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点M的坐标为（x，﹣x2+x+4），则点D的坐标为（x，﹣x+4），根据题意列方程即可得到结论．
解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，
故x＝2＝﹣＝﹣，
解得b＝，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4，
令y＝0，即﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4）；

（Ⅱ）①设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点M的坐标为（x，﹣x2+x+4），则点D的坐标为（x，﹣x+4），
∴MD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，
∴当线段MD的长取最大值时，x＝3，
∴M（3，5）；
②由①知，直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点M的坐标为（x，﹣x2+x+4），则点D的坐标为（x，﹣x+4），
当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝（yM+yD），
即4＝[﹣x2+x+4+（﹣x+4）]，
解得x＝0（舍去）或2，
故点M的坐标为（2，）．
【点评】主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．