2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县湘教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县湘教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案）
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
3．已知3x＝2y，那么下列等式一定成立的是（　　）
A．x＝2，y＝3 B． C． D．3x+2y＝0
4．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
7．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB
8．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
9．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（　　）
（1）菱形都相似；
（2）等腰直角三角形都相似；
（3）正方形都相似；
（4）矩形都相似；
（5）正六边形都相似；
（6）等腰三角形都相似．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
11．下面是李刚同学在一次测验中解答的题目，其中答对的是（　　）
A．若x2＝4，则x＝2
B．方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解为x＝1
C．若方程﹣0.5x2+x+k＝0一根等于1，则k＝﹣0.5
D．若分式的值为0，则x＝1或2
12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE＝30°；②S△ABE＝4S△BCF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（每小题3分，共18分）
13．若代数式有意义，则x必须满足条件是 　 　．
14．关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是 　 　．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为 　 　．
16．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　 　米．

17．如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 　 　cm2．

18．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为　 　．

三、解答题（共8小题，满分66分）
19．计算：（+2）（﹣2）﹣×+
20．解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
21．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
22．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．

23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
24．如图，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，且a，b，c满足a2+b2＝c2，已知a＝4﹣，b＝4+
（1）求斜边c及斜边上的高h的长；
（2）在△ACB的内部有一点P，使点P到三边的距离都相等，这个距离是　 　．

25．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
26．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案）
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝|x|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故A错误；
B、ax2+bx+c＝0，a＝0时是一元一次方程，故B错误；
C、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故C正确；
D、+﹣2＝0是分式方程，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．已知3x＝2y，那么下列等式一定成立的是（　　）
A．x＝2，y＝3 B． C． D．3x+2y＝0
【分析】已知3x＝2y，根据内项之积等于外项之积，即若，则ad＝bc列出比例式判断即可．
解：∵3x＝2y，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质并灵活运用．
4．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式、二次根式的除法、二次根式的性质逐一判断即可．
解：A．＝2，与不是同类二次根式，此选项错误；
B．÷＝＝，此选项错误；
C．＝|﹣2|＝2，此选项错误；
D．＝＝×＝2，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
6．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
7．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB
【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解．
解：由题意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD＝∠BAC，
若∠ACD＝∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；
若∠ADC＝∠ACB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；
若AC2＝AD•AB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项C不合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（　　）
（1）菱形都相似；
（2）等腰直角三角形都相似；
（3）正方形都相似；
（4）矩形都相似；
（5）正六边形都相似；
（6）等腰三角形都相似．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据真命题与假命题的定义解答．
解：（1）菱形角度可能不一样，不一定相似，是假命题；
（2）等腰直角三角形都有两个角相等是45°，都相似，是真命题；
（3）正方形四个角都是90°，对应边一定成比例，都相似，是真命题；
（4）不同矩形边长不一定成比例，不一定相似，是假命题；
（5）正六边形各角都相等，各边成比例，是真命题；
（6）等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似，是假命题．
可得真命题有3个，故选B．
【点评】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握真假命题的定义是解题的关键．
10．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】由平行可证△ANQ∽△AOB，由面积比等于相似比的平方求出△AOB的面积，则可求出k的值．
解：∵MQ∥NP∥OB，
∴△ANQ∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴＝，
∴S△ANQ：S△AOB＝1：9，
∵△ANQ的面积为1，
∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，以及相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方是解题的关键．
11．下面是李刚同学在一次测验中解答的题目，其中答对的是（　　）
A．若x2＝4，则x＝2
B．方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解为x＝1
C．若方程﹣0.5x2+x+k＝0一根等于1，则k＝﹣0.5
D．若分式的值为0，则x＝1或2
【分析】A、4的平方根为±2，故x＝±2；
B、通过整理，解一元二次方程得，x的值不只为1，还有；
C，将x＝1代入方程中，解出k的值即可判断其是否正确；
D、根据分母不能为0，得x﹣1≠0，再进行判断即可．
解：A、通过解方程得，x＝±2，所以A不正确；
B、通过解方程得，x＝1或x＝，所以B不正确；
C、直接将x＝1代入方程中，解关于k的方程即可求得k＝﹣0.5，所以C正确；
D、因为分式中的分母不能为0，所以x不能等于1，所以D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，分式值为零的条件等知识，解题的会客室熟练掌握一元二次方程的解法，属于中考常考题型．
12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE＝30°；②S△ABE＝4S△BCF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝（）2＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故②正确；
∴CF＝EC＝CD，故③错误；
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝，＝＝，
∴，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二.填空题（每小题3分，共18分）
13．若代数式有意义，则x必须满足条件是 　x＞2　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
解：代数式有意义，则x必须满足条件是：3x﹣6＞0，
解得：x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
14．关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是 　2　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到k2﹣4＝0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
解：把x＝0代入一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0，得
k2﹣4＝0，
解得k1＝2，k2＝﹣2，
而k+2≠0，即k≠﹣2．
所以k的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为 　8　．
【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，将其代入2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2中，即可求出结论．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，
∴2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2﹣（﹣4）＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
16．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　7　米．

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
17．如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 　24　cm2．

【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，
∴大正方形边长为：+＝2+3＝5（cm），
∴大正方形面积为（5）2＝50（cm2），
∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm2）．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．
18．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为　　．

【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出＝，代入求出即可．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴＝，
∵AB＝BC＝3，CP＝BC﹣BP＝3﹣1＝2，BP＝1，
即＝，
解得：CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．计算：（+2）（﹣2）﹣×+
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝3﹣4﹣+
＝﹣1
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算性质，本题属于基础题型．
20．解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
21．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定解答即可．
【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝9
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴＝，
∴CD＝＝＝，
（2）证明：∵＝＝，＝＝
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【分析】（1）根据判别式的意义可得m≥2，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，接着利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝28得到m2+5﹣2（m+1）+1＝28，解得m1＝6，m2＝﹣4，于是可得m的值为6；
（2）分类讨论：若x1＝7时，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m1＝10，m2＝4，当m＝10时，由根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，根据三角形三边的关系，m＝10舍去；当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，根据三角形三边的关系，m＝2舍去．
解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
24．如图，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，且a，b，c满足a2+b2＝c2，已知a＝4﹣，b＝4+
（1）求斜边c及斜边上的高h的长；
（2）在△ACB的内部有一点P，使点P到三边的距离都相等，这个距离是　1　．

【分析】（1）根据勾股定理计算c的长，利用面积法计算h的长；
（2）根据面积法可得这个距离．
解：（1）∵a2+b2＝c2，且a＝4﹣，b＝4+，
∴c＝＝6，
∵S△ABC＝，
∴ab＝ch，即（4﹣）（4+）＝6h，
h＝；

（2）如图，连接PC、AP、PB，

∵PE＝PF＝PG，且PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，
∴S△ABC＝ch＝S△BPC+S△APB+S△APC，
∴＝++，
∴PF＝1，即这个距离为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形的面积以及平方差公式，能运用面积法计算线段的长是关键．
25．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到＝1，整理即可得到b2＝a2+4a．
解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；

（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；

（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
26．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD．
（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE＝EF，可求出DG，则答案可求出．
解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．