北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定综合训练题

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第1单元  菱形的性质与判定

一．菱形的性质

1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等 

C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行

2．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（　　）厘米．

A．8 B．5 C．10 D．4.8

3．已知菱形的周长为9.6cm，两个邻角的比是1：2，这个菱形较短的对角线的长是（　　）

A．2.1cm B．2.2cm C．2.3cm D．2.4cm

4．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（　　）

A．70° B．75° C．80° D．95°

5．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（　　）

A．75° B．45° C．60° D．30°

6．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

7．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为　   　．

8．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　   　．

9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为　   　．

10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　   　．

11．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　   　．

12．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F

（1）对角线AC的长是　   　，菱形ABCD的面积是　   　；

（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；

（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．

13．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．

（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．

（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．

14．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．

（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB＝4，求线段EC的长；

（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM＝2DQ．

二．菱形的判定

15．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形

16．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD

17．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

18．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（　　）

A．菱形 B．平行四边形 

C．长方形 D．对角线相等的四边形

19．如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（　　）

①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；

③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A．

A．1 B．2 C．3 D．4

20．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

21．已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是　   　（答案不唯一）．

22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

23．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF

（1）求证：FB＝AO；

（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．

三．菱形的判定与性质

24．下列说法中错误的是（　　）

A．四边相等的四边形是菱形 

B．菱形的对角线长度等于边长 

C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 

D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

25．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　）

A．9.5 B．10 C．10.5 D．11

26．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

27．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

28．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　   　．

29．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；

（3）在（2）的条件下折痕EF的长．

30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

参考答案

一．菱形的性质

1．A

2．B

3．D

4．C

5．C

6．B

7．

8．（）n﹣1

9．50°

10．﹣1

11．2

12．解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，

由勾股定理得，AG＝＝＝6，

∴AC＝2AG＝2×6＝12，

菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×16＝96；

故答案为：12；96；

（2）如图1，连接AO，则S△ABD＝S△ABO+S△ADO，

所以，BD•AG＝AB•OE+AD•OF，

即×16×6＝×10•OE+×10•OF，

解得OE+OF＝9.6是定值，不变；

（3）如图2，连接AO，则S△ABD＝S△ABO﹣S△ADO，

所以，BD•AG＝AB•OE﹣AD•OF，

即×16×6＝×10•OE﹣×10•OF，

解得OE﹣OF＝9.6，是定值，不变，

所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE﹣OF＝9.6．

13．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD

∵PD＝4，

∴PC＝6，

∵PB⊥CD，

∴PB⊥AB，

∴∠CPB＝∠ABP＝90°，

在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，

∴PB＝＝＝8，

在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，

∴PA＝＝＝2．

（2）△OMN是等腰三角形．

理由：如图2中，延长PM交BC于E．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，CB＝CD，

∵PE⊥AC，

∴PE∥BD，

∴＝，

∴CP＝CE，

∴PD＝BE，

∵CP＝CE，CM⊥PE，

∴PM＝ME，

∵PN＝NB，

∴MN＝BE，

∵BO＝OD，BN＝NP，

∴ON＝PD，

∴ON＝MN，

∴△OMN是等腰三角形．

14．解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠ABC＝180°，

∵∠A＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∴∠ABD＝∠ABC＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝AD＝4，

∵E是AB的中点，

∴DE⊥AB，

由勾股定理得：DE＝＝2，

∵DC∥AB，

∴∠EDC＝∠DEA＝90°，

在Rt△DEC中，DC＝4，

EC＝＝＝2；

（2）如图2，延长CD至H，使CD＝DH，连接NH、AH，

∵AD＝CD，

∴AD＝DH，

∵CD∥AB，

∴∠HDA＝∠BAD＝60°，

∴△ADH是等边三角形，

∴AH＝AD，∠HAD＝60°，

∵△AMN是等边三角形，

∴AM＝AN，∠NAM＝60°，

∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，

∴∠HAN＝∠DAM，

在△ANH和△AMD中，

∵，

∴△ANH≌△AMD（SAS），

∴HN＝DM，

∵D是CH的中点，Q是NC的中点，

∴DQ是△CHN的中位线，

∴HN＝2DQ，

∴DM＝2DQ．

二．菱形的判定

15．C

16．A

17．C

18．D

19．C

20．C

21．解：由题意知，可添加：AB＝AC．

则三角形是等腰三角形，

由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，

即点D是BC的中点，

∴DE，EF是三角形的中位线，

∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∵AB＝AC，

点E，F分别是AB，AC的中点，

∴AE＝AF，

∴平行四边形ADEF为菱形．

22．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴EA＝ED，

∴四边形AEDF为菱形．

23．证明：（1）

∵E是BO的中点，

∴OE＝BE，

∵BF∥AC，

∴∠BFE＝∠OCE，

在△BEF和△OEC中，，

∴△BEF≌△OEC，

∴BF＝OC，

∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，

∴OA＝OC，

∴FB＝AO；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：

∵平行四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OB，

∴平行四边形AFBO是菱形．

三．菱形的判定与性质

24．B

25．D

26．C

27．C

28．36

29．（1）证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，

∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，

∵AD∥BC，

∴∠FAC＝∠ECA，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE，

∴OF＝OE，

∵OA＝OC，

∴四边形AECF为平时四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF为菱形；

（2）解：设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，

在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，

∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，

即菱形的边长为5；

（3）解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，

∴OA＝AC＝2，

在Rt△AOE中，OE＝＝＝，

∴EF＝2OE＝2．

30．（1）证明：能．

理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

又∵AE＝DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，

即40﹣4t＝2t，解得t＝．

∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．

（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AD＝AE＝t，

又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；

②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．

③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．

综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．