数学3 正方形的性质与判定学案

正方形的性质与判定

【中考要求】

【知识点睛】

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。它具有前三者的所有性质：

① 边的性质：对边平行，四条边都相等。

② 角的性质：四个角都是直角。

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。

④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形。

平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形。

判定②：有一个角是直角的菱形是正方形。

【学习目标】

1． 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系

2． 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。

3． 提高学生分析问题及解决问题的能力。

4． 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点

【学习重难点】

重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点：正方形知识的灵活应用

【学习过程】

一、正方形的性质

铺垫   

正方形有        条对称轴。

例1：（1）已知正方形的边长是正方形的对角线，则        

（2）如图，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且

，则的长为         

（3）如图，在正方形中，为边的中点，，分别为，边上的点，若，，，则的长为。

例2： 将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为          

例3：如图，正方形的边长为，以为圆心，长为半径画弧交对角线于点，连接，是上任意一点，于，于，则的值为        

铺垫：如图，是正方形对角线上的一点，求证：。

例4  ：如图，为正方形对角线上一点，于，于。求证：。

例5：如图所示，正方形对角线与相交于，∥，且分别与交于。试探讨与之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程。

例6：如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么      

 例7：已知正方形，在、上分别取、两点，使，求证：是等腰直角三角形。

例8：如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，则         。

例9：如图，四边形为正方形，以为边向正方形外作正方形，与相交于点，则         

例10：如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，。连结分别交，于，。求证：是等腰三角形。

例11：如图，过正方形顶点引，且。若与的延长线的交点为，求证。

例12：如图所示，在正方形中，、是内的两条射线，，，，，求证，。

例13：如图，正方形的边在正方形的边上，连接，求证：。

例14：如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，，，求的度数。

例15：已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于。

（1）求证：；

（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由。

例16：若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为           。

例17：如图1，在正方形中，、、、分别为边、、、上的点，，连接、，交点为。

（1） 如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；

（2） 将正方形沿线段、剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形。若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为_________。

例18：如图，正方形对角线相交于点，点、分别是、上的点，，求证：（1）；（2）。

例19：如图，正方形中，是边上两点，且于，求证：

例20：如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数。

例21：如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长。

例22：把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）。试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。

例23：如图所示，在直角梯形中，，，是的垂直平分线，交于点，以腰为边作正方形，作于点，求证。

二、正方形的判定

例1：四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：

（1）四边形对角互补；

（2）若四边形为平行四边形，则四边形为矩形。

（3）四边形为长方形，则四边形为正方形。

巩固1：如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形。

（1）    求证：四边形是菱形；

（2）    若，求证：四边形是正方形。

巩固2：已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点。

（1） 求证：四边形为矩形；

（2）    当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明。

例2：如图，点是矩形边的中点，，点是边上一动点，，，垂足分别为、，求点运动到什么位置时，四边形为正方形。

例3：如图，是边长为的正方形，是内接于的正方形，，若  则=          

例4：如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则:的面积为            

巩固1：如图，在正方形中，点为正方形内的两点，且，则              

例5：如图，若在平行四边形各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形。

例6：已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小。

【达标检测】

1．如图，正方形中，是对角线的交点，过点作，分别交于，若，则        

2．如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则______。

3．如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由。

4．如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：。