上海市青浦区2023届高三一模数学试题及答案

上海市青浦区2023届高三一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．集合，则___________.

2．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数________．

3．从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．

4．不等式的解集为______．

5．在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是_______.

6．已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.

7．若的展开式的常数项是，则常数的值为__________．

8．若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是______．

9．已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．

10．在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为______．

11．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为______．

12．已知数列中，，记的前项和为，且满足．若对任意，都有，则首项的取值范围是______．

二、单选题

13．已知为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（    ）．

A．若，不平行，则在内不存在与平行的直线

B．若，平行于同一平面，则与可能异面

C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

D．若，垂直于同一平面，则与可能相交

15．已知函数定义域为，下列论断：

①若对任意实数，存在实数，使得，且，则是偶函数．

②若对任意实数，存在实数，使得，且，则是增函数．

③常数，若对任意实数，存在实数，使得，且，则是周期函数．

其中正确的论断的个数是（    ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

16．在直角坐标平面xOy中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是（    ）．

A．16 B． C．8 D．

三、解答题

17．已知函数，．

(1)求的单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

18．如图，在正三棱柱中，分别为中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

19．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.

（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；

（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.

20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．

(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；

(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．

21．设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．

(1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值；

(2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；

(3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．

参考答案：

1．

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.

【详解】由题意知，

，

所以.

故答案为：.

2．

【分析】利用复数的除法化简复数，利用已知条件可得出关于的等式，即可求得的值.

【详解】因为，由已知可得，解得.

故答案为：.

3．23

【解析】根据数列的前几项得出等差数列的首项与公差，求出数列的通项公式即可求解.

【详解】由题意可知，等差数列84，80，76，…的首项为，公差为，所以该数列的通项公式为，令，得，所以该数列从第23项开始，以后各项均为负值.

故答案为：23

【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，属于基础题.

4．

【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答.

【详解】函数在R上单调递增，则，

即，解得，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

5．

【详解】试题分析：该组数据的平均数为，所以方差是

考点：方差

6．

【分析】根据导数的几何意义，求出在点处的切线的斜率，然后再根据斜率和倾斜角之间的关系，即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

所以在点切线的斜率为，

所以在点处的切线的倾斜角为.

故答案为：.

7．

【分析】二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于45得解．

【详解】解：展开式的通项公式为，令，求得，

可得它的常数项为，，

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

8．

【分析】根据给定条件，确定函数的个数，再求出满足的函数个数即可计算作答.

【详解】因函数的定义域和值域分别为和，则函数有6个，它们是：

；；；

；；，

满足的函数有2个数，它们是或，

因此满足的函数有4个，所以满足的函数概率是.

故答案为：

9．

【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出，再利用三角形面积公式计算作答.

【详解】依题意，，，

，而，则，

所以以、为一组邻边的平行四边形的面积.

故答案为：

10．##

【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再借助几何图形结合二倍角的余弦计算作答.

【详解】依题意，点P在线段的中垂线上，点P也在线段的中垂线上，

连，而，，，，因此，

而，即，有，于是得，

直线过中点，而直线斜率为1，则直线的斜率为-1，方程为，直线的方程为，

于是得点，令直线交于点，，，，

所以.

故答案为：

11．##

【分析】设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，确定球心在线段上，即可在直角三角形上根据几何关系求出外接球半径，即可由公式算球的体积．

【详解】由于AB为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，，

如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，

由外接球的定义，，易得在线段上，

又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，

，则，解得，

外接球体积为．

故答案为：.

12．

【分析】根据给定的递推公式，分段求出数列的表达式，再利用给定不等关系列出不等式组求解作答.

【详解】，，有，

于是得，有，因此，

数列分别是以为首项，6为公差的等差数列，

而，，即有，解得，

又，则有，

于是得，，

因对任意，都有，则，，

从而得，解得，

所以首项的取值范围是.

故答案为：

【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.

13．D

【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】当时，，所以由得不出，

若即，若，则，即，

所以由得不出，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

14．A

【分析】利用相交平面说明判断A；举例说明判断B，D；利用反证法推理说明C作答.

【详解】对于A，因，不平行，令，直线，若，必有，A不正确；

对于B，若，直线，直线b与m是相交直线，则有直线b与m都平行于，

把直线b平行移出平面外为直线n，且不在内，此时与是异面直线，都平行于，B正确；

对于C，假定与垂直于同一平面，则有，与，不平行矛盾，即假设是错的，C正确；

对于D，令，若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知，垂直于这一平面，D正确.

故选：A

15．B

【分析】根据函数的奇偶性，单调性和周期性逐一分判断即可.

【详解】解：对于①，由题意对任意实数，存在实数，使得，

即对于任意实数，都有，

所以函数为偶函数，故①正确；

对于②，对任意实数，存在实数，使得，且，

无法判断出函数的单调性，如函数，故②错误；

对于③，常数，且，则，，

因为对任意实数，存在实数，使得，

则，即或，

这两种情况可以同时成立，

所以函数不是周期函数，如，故③错误.

故选：B.

16．D

【分析】设直线的方程为，由题可得，当时，确定直线的轨迹；当时，确定直线的轨迹；即可得平面上不在任何一条直线上的点组成的图形，则面积可求得.

【详解】解：设直线的方程为，两定点与，

由于，到直线的距离之差的绝对值等于，则，

所以

当时，即时，有，平方整理得，所以，如下图：

此时正方形上及外部的点均在直线上；

当时，即时，有，平方整理得，

记为直线上一点，所以，则，

所以，则在圆的外部的点亦在直线上；

综上，平面上不在任何一条直线上的点组成的图形为圆内部的所有点，

故面积为.

故选：D.

17．(1)，

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求解作答.

（2）求出（1）中函数的相位范围，再利用正弦函数性质求解作答.

【详解】（1），

令，，解得，，

所以的单调递增区间为.

（2）由（1）知，，当时，则，

所以当，即时，取最大值，为，

当，即时，取最小值，为．

18．（1）平面；（2）平面平面．

【详解】试题分析：(1)运用线面平行的判定定理推证；(2)先证线面垂直,再运用面面垂直的判定定理推证.

试题解析：

（1）连交于点，∵为中点，

∴且，

∵为中点，∴且，

∴且，∴四边形是平行四边形，

∴，又平面，

平面，∴平面.

（2）由（1）知，∵，

为中点，所以，所以，

又因为底面，而底面，所以，

则由，得，

而，平面，且，

所以面，又平面，

所以平面平面.

考点：线面平行和垂直及面面垂直的判定等知识的综合运用．

19．（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.

【分析】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可；

（2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.

【详解】解：（1）记11月日新感染者人数为，

则数列是等差数列，，公差为，

又，

则11月1日至11月10日新感染者总人数为：

人；

（2）记11月日新感染者人数为，

11月日新感染者人数最多，当时，.

当时，，

因为这30天内的新感染者总人数为11940人，

所以，

得，即

解得或(舍)，

此时

所以11月13日新感染者人数最多为630人.

【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程.

20．(1)，离心率

(2)证明见解析，定点坐标为

(3)

【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及离心率；

（2）分斜率均存在和一条直线斜率不存在一条斜率为0两种情况讨论，斜率均存在，设，直线AB方程为，联立方程利用韦达定理求得，从而可求得点的坐标，再将换为，可得点的坐标，从而可求得直线的方程，即可得证；

（3）由（2）可知直线MN过定点，则，化简整理结合函数的单调性即可得出答案.

【详解】（1）解：由椭圆方程可知：，，所以

右焦点坐标，该椭圆的离心率；

（2）证明：斜率均存在，

设，直线AB方程为，

则，

联立，

则有，

将上式中换为，可得，

若，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点，

下证动直线MN过定点，

若直线MN斜率存在，则，

直线MN方程为，

令得，所以此时直线MN也过定点，

当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，

不妨设斜率不存在，斜率为0，

此时，

则直线的方程为，过点，

综上，动直线MN过定点；

（3）解：由（2）可知直线MN过定点，

，

令，

，

因为，所以在上递减，

所以时，取得最大值，此时.

【点睛】本题考查了椭圆中直线过定点及椭圆中三角形的面积问题，计算量较大，考查了了分类讨论思想及数据分析和计算能力，属于难题.

21．(1)；

(2)证明见解析，；

(3)存在，满足条件.

【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答.

（2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答.

（3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答.

【详解】（1）依题意，，，，，

，因此，，即，

所以对任意实数，都有成立的最小整数的值是5.

（2）由（1）知，，，

，求导得，显然函数单调，当时，有唯一零点，

当时，，当时，，因此当时，函数都存在唯一极值点，依题意，

即，方程两边同时加上得，即，

所以点在一定直线上，该直线方程为.

（3）当，时，方程无解，因此要使，必有,

①当时，，即，解得，

而当时，时，，函数单调递减，无极值点，

严格递减，无极值点，且，当时，，当时，，

在上严格递增，在上严格递减，有一个极值点，

又，则恒成立，有单调递减，无极值点，

综上得存在，满足条件，

②当时，，即，解得或，

当时，，不符合题意，

当时，，解得，有，

单调递减，当时，，当，，当时，，

在上严格递增，在上严格递减，而，，

则存在，使得，在上，，在上，在上，，

则在上严格递减，在上严格递增，在上严格递减，有两个极值点，不符合题意，因此，

所以存在，满足条件．

【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧值的符号不同．