四川省成都市双流中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学文科试题及答案

这是一份四川省成都市双流中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学文科试题及答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市双流中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学文科试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设全集，若集合满足．则（    ）A． B． C． D．2．若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）A． B． C．3 D．－33．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．5．已知，是两个不同的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（    ）A． B．4 C． D．7．函数在区间上的图象为（    ）A． B．C． D．8．设等差数列的前项的和为，若，则（    ）A．17 B．34 C．51 D．1029．已知点在直角的斜边上，若，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．10．设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ）A． B． C． D．11．已知函数，则下列关于函数性质描述错误的是（    ）A．函数有两个极值点B．函数有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线与曲线的相切12．已知，则（    ）A． B．C． D． 二、填空题13．抛物线的焦点到准线的距离是_________________.14．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售额（万元）28314148 根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元．15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______． 三、双空题16．在中，角的对边分别为，若，则___________，的取值范围为___________. 四、解答题17．已知数列的前项和为，若，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．18．自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质． 某调查小组为了解本市不同年龄段的 市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的 岁以上（含45岁）的人数占样本总数的． 一周内健步走万步一周内健步走万总计45岁以上（含45岁）90  45岁以下   总计  200 (1)请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关;(2)现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，求抽取的2人中恰有一人一周内健步走步数不少于5万步的概率．附：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024 ，其中．19．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，且.(1)证明：平面；(2)求四面体的体积.20．已知函数，其导函数为.(1)若函数在时取得极大值，求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，函数有零点.21．已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的方程；(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．22．在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线相交于A，两点，求的值．23．已知函数．(1)解不等式；(2)设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．
参考答案：1．B【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断【详解】由题意得，故B正确故选：B2．D【分析】先化简复数为，可求虚部.【详解】因为，所以；所以复数的虚部为.故选：D.3．A【分析】先求出时的的取值，然后利用条件的定义进行判定.【详解】因为直线：，：，若，则，即；所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A.4．D【分析】利用焦点到渐近线的距离得出，再求得后可得离心率【详解】由双曲线可得，一条渐近线：， 设双曲线的右焦点为，则点到直线的距离，所以，离心率.故选：D5．C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一判断即可.【详解】对于A，若，，则或，错误；对于B，若，，还需要条件而不是才能得到，错误；对于C，若，，则或，又因为，则，正确；对于D，若，，，还需要条件才能得到，错误.故选：C.6．A【分析】由二倍角公式与三角函数的定义求解【详解】由题意得，得，而在终边上，故，得故选：A7．D【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.【详解】， 为奇函数，排除A；又，排除B；，即，排除C，故选：D8．B【分析】根据等差数列通项求公差，进而根据求和公式即可求解.【详解】设公差为，则由得，即，故.故选：B9．D【分析】设，则可用表示，从而可求其范围.【详解】设，其中，则，从而，故，故选：D.10．B【分析】先求出平移后函数的解析，再根据两个图象重合可求的解析式，从而可求其最值.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为：，但该函数图象与的图象重合，故，故，但，故，故选：B.11．D【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，作图，根据图象变换，结合奇偶性，利用导数的几何意义，求切点验证，可得答案.【详解】对于函数，求导可得：，令，解得，可得下表：极大值极小值 则，，即可作图如下：故A、B正确；由为奇函数，且是由向上平移1个单位得到的，故C正确；令，解得，则，，不在直线上，故D错误.故选：D.12．A【分析】根据指对互化，只需要比较的大小，根据和即可转化为对数式比较，再由可排除BD，即可求解.【详解】由已知得：，故的大小顺序与的大小一致.由知，排除B,D.由得；由得，即，所以，排除C.故选:A.13．2【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.14．【分析】计算出样本中心后可求，从而可求广告费用为8万元时销售额.【详解】，，所以，，所以广告费用为8万元时销售额（万元）故答案为：15．【分析】由题意可推出AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，三棱锥的外接球即该长方体的外接球，由此可求答案.【详解】因为平面，平面，故,又，，，故 , ,所以 ,即 ,故AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，如图：则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，外接球半径为 ，所以三棱锥的外接球的体积为 ，故答案为：16．          【分析】对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，则，所以，化简整理后利用三角函数的性质可求出其范围.【详解】因为，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以.由得，故，且..因为，所以，所以，故.故答案为：，17．(1)；(2). 【分析】（1）利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递推关系，从而可求其通项.（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）因为，故，故即.而，故，故，故，且，故，所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.（2）,故，故，所以，所以.18．(1)表格见解析，有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关(2) 【分析】（1）根据计算的卡方值判断即可；（2）根据求得8人中步数少于5万步的为2人，不少于5万步的为6人，再根据古典概型的公式计算即可．【详解】（1）解：由题意得，总人数为200，45岁以上（含45岁）的人数为，45岁以下的人数为 80．一周内健步走少于5万步的人数为 ，由此得如下列联表： 一周内健步走5 万步一周内健步走<5 万总计45 岁以上（含 45 岁）903012045 岁以下503080总计14060200 故，有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关．（2）解：记“抽取的2人中恰有一人一周内健步走步数不少于5万步”为事件C，∵ 步数少于5万步的人数与不少于5万步的人数比为，∴ 8人中步数少于5万步的为2人，不少于5万步的为6人∴ ．19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得平面，平面，再由面面平行的判定可得平面平面，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在取点使得，连结，则可得四边形是平行四边形，再结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，由线面平行的判定可得结论；（2）由求解，根据已知条件求出和，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形的性质得：∥.又平面平面，平面.平面平面，平面.平面，平面平面，平面，平面，方法二：在取点使得，连结，如图，四边形是平行四边形，故，且，又，，四边形是平行四边形，.又平面平面，平面，（2）由体积的性质知：，平面平面，平面平面，平面，平面.又，故点到平面的距离为2，即三棱锥底面上的高，由题意，知且，，20．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）结合导函数的意义即可求出结果；（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，从而求出最值，然后通过对最值进行讨论即可求出结果；方法二：利用导数判断函数的单调性，从而求出最值，将有零点等价于即可得出结论；方法三：有零点等价于关于的方程有解，进而构造函数，从而利用导数判断函数的图像与性质即可得出结论；方法四：原题等价于当时，直线与函数的图像有公共点，从而利用导数判断函数的图像与性质即可得出结论；【详解】（1）.在是减函数由在时取得极大值得：，即，解得：，故曲线在点处的切线方程为，即（2）方法一：由题意得：由得，其判别式由一元二次方程根与系数的关系知，关于的方程有唯一正根设的唯一正根为，则有当时，，故单调递增；当时，，故单调递减设，则在上是增函数且由及得：，解得，故.又且在内有零点，即有零点.方法二：由题意得：由得，其判别式由一元二次方程的根与系数的关系知，方程有唯一正根设的正根为，则有.当时，，故单调递增；当时，，故单调递减且有零点等价于，即由在上是增函数且知：当且仅当时，由及得：，解得，即当时，成立有零点方法三：有零点等价于关于的方程有正根亦等价于关于的方程有解设，则记，则，故是增函数又，故有唯一零点当时，，故是单调递减；当时，，故是单调递增，即当时，函数有零点方法四：要证：当时，函数有零点只需证：当时，直线与函数的图像有公共点由知：当时，，故单调递减；当时，，故单调递.是曲线在点处的切线即当时，直线与函数的图像有唯一公共点当时，直线与函数的图像在第一象限相交，有两个公共点.综上，当时，直线与函数的图像有公共点.当时，函数有零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．21．(1)(2)，此时直线的斜率为 【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出，再利用算出直接写出椭圆方程即可；（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长，当斜率存在时，切线方程为 与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解.【详解】（1）由椭圆可得，所以，解得，因为椭圆经过点，故得到，解得，所以椭圆的方程为（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，代入椭圆得解得，所以；当切线不垂直轴时，设切线方程为即，所以圆心到切线的距离，得，把代入椭圆方程，整理得设，则，设，则，则，所以，综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为；（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)，（t为参数）；(2) 【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.【详解】（1）因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），即，（t为参数）；由可得，即，将代入，可得曲线的直角坐标方程为；（2）设A,B两点对应的参数为 ，将直线l的参数方程代入，即中，得：，整理得，此时，故.23．(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.【详解】（1）当时，，由可得，则；当时，，由可得显然成立，则；当时，，由可得，则；综上：不等式的解集为；（2），当且仅当即时取等，，则，又，，均为正数，则，当且仅当，即时等号成立，则.