四川省自贡市2023届高三第一次诊断性考试数学（理）试题及答案

四川省自贡市2023届高三第一次诊断性考试数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C．2 D．

3．记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ）

A．15 B．16 C．19 D．20

4．函数，的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

5．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A．甲同学的体温的极差为0.5℃

B．甲同学的体温的众数为36.3℃

C．乙同学的体温的中位数与平均数不相等

D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

6．在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ）种

A．36 B．48 C．60 D．72

7．已知命题，命题，则p是q成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．在中，，，点M在边AB上，且满足，则（    ）

A． B．3 C．6 D．8

9．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y满足，其中A，K为非零常数.已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（    ）

A． B． C．2m D．4m

12．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若变量满足约束条件，则的最大值是______.

14．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x的系数为______.

15．已知数列对任意的，都有，且，当时，______.

16．已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：

①的取值范围是；

②在区间上存在，，满足；

③在区间上单调递减；

④在区间有且仅有1个极大值点；

其中所有正确结论的编号为______.

三、解答题

17．等比数列的各项均为正数，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，若数列为的前n项和，比较与的大小.

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，.

(1)求A；

(2)求面积的最大值.

19．我省将在年全面实施新高考，取消文理科，实行“”，其中，“”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择其中一科；“”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：

(1)把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关？

(2)若从年龄在的被调查者中随机选取人进行调查，记选中的人中了解新高考的人数为，求的分布列以及．

附：．

20．已知函数，，.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数有零点，求a的取值范围.

21．设函数，其中，e为自然对数底数.

(1)若，求函数的最值；

(2)证明：当时，.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）设直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点），求线段的长.

23．已知函数．

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)若对任意的，总存在使成立，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】根据正弦函数的值域可得集合，再根据交集运算求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选:A.

2．B

【分析】利用复数除法运算求得，进而求得.

【详解】，

所以.

故选：B

3．C

【分析】利用等差数列前项和公式以及通项公式得到方程组，解出即可得到.

【详解】为等差数列，

，结合，

解得，

则，

故选：C.

4．D

【分析】计算的值即可判断AB选项，通过函数奇偶性的判断与证明即可判断CD选项.

【详解】，故AB错误，

的定义域为，关于原点对称，

且，

故为偶函数，故C错误，D正确，

故选：D.

5．C

【分析】根据折线图，进行数据分析，直接计算极差判断A，由众数概念判断B，由中位数和平均数确定C，由折线图直接判断D.

【详解】对于A：甲同学的体温的极差为℃，故A选项正确；

对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；

对于C：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，故C选项错误；

对于D：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D选项正确.

故选：C

6．A

【分析】根据D、F在一二位或四五位、五六位先安排D、F两个节目，C是固定的，然后其他三个节目任意排列，由此可得．

【详解】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为．

故选：A．

7．B

【分析】利用反例证明充分性不成立，利用不等式性质证明必要性成立，则得到答案.

【详解】若则满足命题，但不满足后者命题，

故命题无法推出命题，

而若，则，对两边同乘得，即，

故命题可以推出命题，

故是的必要不充分条件，

故选：B.

8．B

【分析】结合向量的数量积运算以及线性运算求得正确答案.

【详解】依题意，，，

所以

.

故选：B

9．B

【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可.

【详解】，，，

根据函数在的最大值为7,最小值为3，

所以，即，根据正切函数在为单调增函数，

则，在上单调减函数，

，，

则，，，，

，

故选：B.

10．D

【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.

【详解】解：令，则，

因为，，

∴为奇函数，

又因为，由复合函数单调性知为的增函数，

∵，则，

∴，

，

∴，解得或，故

故选：D.

11．D

【分析】根据题意，根据和时的表达式，结合对数运算，即可求解.

【详解】根据题意，由，，，得

当，时，，

即，

因此，故.

故选：D.

12．D

【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.

【详解】因为，定义域关于原点对称，

，

所以为上的偶函数，

当时,，设，

则，，，

所以即在上单调递减,所以,

所以在上单调递减,又因为为偶函数,

所以在上单调递增，

又因为,,

又因为,

因为,，所以,

所以，即,

所以,

所以,

即.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.

13．3

【分析】根据满足约束条件，画出可行域，将，变形为，平移直线，当直线在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.

【详解】由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：

将，变形为，平移直线，当直线经过点时，

直线在y轴上的截距最大，，此时，目标函数取得最大值，最大值为3

故答案为：3

14．40

【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得x的系数.

【详解】依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即.

二项式展开式的通项公式为.

令，所以x的系数为.

故答案为：

15．4

【分析】通过计算发现数列从第三项起为周期数列，则得到，计算出即可.

【详解】根据题意知

是偶数，

是偶数，

是偶数，

是偶数，

是奇数，

是偶数，

是偶数，

是奇数，

从第三项开始，正整数数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故答案为：4.

16．①②

【分析】对于①：令，求出的范围，根据 在区间上有且仅有2个零点即可限制的取值范围，从而得到的取值范围；

对于②：在的范围内可以找到一个最大值一个最小值满足条件；

对于③：当时，求出的范围，判断是否在的减区间内；

对于④：根据条件，对应的也可能为一个极大值点.

【详解】对于①：，

令，则

由题意，在上只能有两解和，

解得，所以①成立；

对于②：因为在上必有，故在上存在满足，所以②成立；

对于③：当时，，由于，故，此时是增函数，从而在上单调递增.

所以③不成立；

对应的（显然在上)一定是极大值点，因对应的值有可能在上，故④结论错误；

综上，①②成立.

故答案为：①②

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据整体的范围结合的图象解决零点个数，单调性，最值个数，对称性等问题.

17．(1)

(2).

【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；

（2）由化简，可得到的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和后与－2比大小.

【详解】（1）设数列的公比为q,

由得=,

所以.由条件可知q＞0,故q=.

由得 ,所以.

故数列的通项公式为.

（2）－（1＋2＋＋n）=－.

故.

.

.

故.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由使用三角恒等变换求得值；

（2）将用表示，由 求得关系，使用基本不等式求的最大值，从而得到面积的最大值.

【详解】（1）因为，因为，所以.

（2）由得，，

所以.

所以.

所以.

所以，当且仅当时等号成立.

所以.

所以.

故面积的最大值.

19．(1)列联表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联．

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据已知表格数据完成列联表，然后由参考公式求出即可判断；

（2）根据离散型随机变量分布列的求解步骤及数学期望公式即可求解.

【详解】（1）解：列联表如图所示：

，

所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；

（2）解：年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，

则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2．

则；；．

所以的分布列为：

．

20．(1)的单调增区间为，单调减区间为；

(2)当时,有1个零点.

【分析】（1）将代入得，求导分别令导函数大于0，小于0，即可得到其单调区间；

（2），分，和讨论，尤其是当时，结合导函数与函数极值，最值的关系以及零点存在定理即可求出范围.

【详解】（1）当时,函数,

可得，

当吋,，

所以的单调增区间为的单调减区间为；

（2）函数，

，

当时由(1)知在上有1个零点，

当时,令,可得，

由可知存在唯一的使得,

所以当时,单调递增;

当时,单调递减,

因为，

若函数有零点，必有,即时,在上有1个零点.

当时，根据得到恒成立，

则在单调递增，且，故此时在上不存在零点，舍去，

综上可得,当时,有1个零点.

21．(1)最大值为0，无最小值；

(2)证明见解析；

【分析】（1）代入，求出，再求出，利用导数的性质，即可求出函数的最值.

（2）设，得到，

再设，，通过导数和的性质，的最小值和的最大值，得出，进而得到，得到为单调增函数，有，进而证明得到.

【详解】（1），，，

，在单调递减，而，

，，，，

的最大值为，无最小值.

（2）当时，，

，

设，，

在上是单调递减函数，，

设，，

在上是单调递减函数，，，

，，

单调递增，

，，

22．（1），；（2）.

【分析】（1）首先根据题意得到的普通方程为，再将代入普通方程即可得到极坐标方程.

（2）首先设，，分别代入曲线和曲线的极坐标方程，得到，，再根据求解即可.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（其中为参数），

所以的普通方程为①.

在极坐标系中，将代入①得，

化简得：的极坐标方程为.

（2）因为直线的极坐标方程为，设，，

将代入，

得，

将代入，得.

所以.

23．(1)

(2)

【分析】（1）对参数a分段讨论，将不等式化为一次不等式即可解得答案.

（2）根据题意将问题转化为，然后分别求出两边的最小值，解不等式可得答案.

【详解】（1），即，亦即，

等价于不等式组，或，或，

解得或，

故实数a的取值范围是．

（2）对任意的总存在，使成立，

等价于．

因为，所以．

又，，当且仅当时取等号，

所以．

由，解得，

故所求实数a的取值范围是．