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贵州省贵阳市清镇市2022-2023学年九年级上学期第一次质检数学试卷(解析版)
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这是一份贵州省贵阳市清镇市2022-2023学年九年级上学期第一次质检数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省贵阳市清镇市九年级（上）第一次质检数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．方程x﹣4＝0的解是（ ）
A．4 B．0 C．﹣4 D．无解
2．墨迹覆盖了等式“a2■a2＝a4（a≠0）”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥1 C．﹣1＜x≤1 D．x≤1
4．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．1 cm B．4 cm C．2 cm D．9 cm
5．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个矩形 D．两个菱形
6．小星用配方法对一元二次方程x2+2x＝3进行求解时，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝3 C．a＝1，b＝4 D．a＝﹣1，b＝3
7．小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为25dm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）
A．7.5dm2 B．5dm2 C．10dm2 D．15dm2
8．一元二次方程x2+x﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
9．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（4，1），点D的坐标是（0，1），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，2） D．（2，2）
10．如图，已知AC＝cm，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
11．观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
4
x2+3x﹣5
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．已知x＝1是方程x2+2x﹣c＝0的一个根，则c的值是 ．
14．一只不透明的袋中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率是 ．
15．如图，在边长为1的3×3网格中，A，B，C，D四点均在格点上，且AB与CD相交于点E，则线段AE的长是 ．
16．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是 ．
三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）用适当的方法解方程：
（1）x2+4x＝12；
（2）x（5x+4）＝5x+4．
18．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
19．（10分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A，B，C三个测温通道，某天早晨，该校小红和小星两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小红从A测温通道通过的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小星从不同的测温通道通过的概率．
20．（10分）数学课上，老师提出一个问题：已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．小红的作法如下：
作线段AC的垂直平分线交AC于点O，过O点作射线BM，在射线OM上截取OD＝OB，连接DA，DC．则四边形ABCD即为所求．
（1）请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
21．（10分）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，P，H分别为AD和AB上的点，BP与CH交于点E，BP＝CH．
（1）求证：BP⊥CH；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AP＝3，求线段BE的长．
23．（12分）某商场销售某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利40元．在每件赢利不少于25元的前提下，若每件降价1元，则每天可多售2件．
（1）若降价x元，则每天销售数量是 件（用含x的代数式表示）；
（2）如果每天要赢利1200元，每件应降价多少元？
24．（12分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用 小时．
（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；
（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．
25．（12分）如图1，矩形ABCD与矩形CEFG全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，连接AC，CF．
（1）在图1中，连接AF，则AF＝ ；
（2）如图2，将图1中的矩形CEFG绕点C逆时针旋转，当CG平分∠ACF时，求点G到AC的距离；
（3）如图3，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针方向旋转，连接AF，DE，两线相交于点M，求证：点M是AF的中点．
2022-2023学年贵州省贵阳市清镇市九年级（上）第一次质检数学试卷（参考答案与详解）
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．方程x﹣4＝0的解是（ ）
A．4 B．0 C．﹣4 D．无解
【分析】直接移项即可得出结论．
【解答】解：移项得，x＝4．
故选A．
2．墨迹覆盖了等式“a2■a2＝a4（a≠0）”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分析所给的式子，结合同底数幂的乘法的法则即可求解．
【解答】解：∵a2×a2＝a4，
∴■里的运算符号是：×．
故选：C．
3．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥1 C．﹣1＜x≤1 D．x≤1
【分析】根据数轴上表示的解集得出选项即可．
【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是x≥1，
故选：B．
4．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．1 cm B．4 cm C．2 cm D．9 cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝＝4（cm）．
故选：B．
5．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个矩形 D．两个菱形
【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【解答】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误；
B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确；
C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误．
故选：B．
6．小星用配方法对一元二次方程x2+2x＝3进行求解时，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝3 C．a＝1，b＝4 D．a＝﹣1，b＝3
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+2x＝3，
x2+2x+1＝3+1，
（x+1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
故选：C．
7．小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为25dm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）
A．7.5dm2 B．5dm2 C．10dm2 D．15dm2
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为25×0.6＝15（dm2），
故选：D．
8．一元二次方程x2+x﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+8＝9＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（4，1），点D的坐标是（0，1），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，2） D．（2，2）
【分析】首先连接AC，BD相交于点E，由在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），可求得点E的坐标，继而求得答案．
【解答】解：连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），
∴BD＝4，AE＝1，
∴DE＝BD＝2，AC＝2AE＝2，
∴点C的坐标为：（2，2）．
故选：A．
10．如图，已知AC＝cm，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据菱形的判定定理解答．
【解答】解：四边形ABCD是菱形，
理由如下：由题意得，AB＝AD＝CB＝CD＝1cm，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
11．观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
4
x2+3x﹣5
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【分析】由表格可发现x2+3x﹣5的值﹣1和5最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．
【解答】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝0，即这个数是x2+3x﹣5＝0的一个根．
x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
【分析】根据题意列方程，即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）＝×（6+9+x）×9﹣6×3，
解得x＝3，或x＝6，
故选：D．
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．已知x＝1是方程x2+2x﹣c＝0的一个根，则c的值是 3 ．
【分析】将x＝1代入原方程即可求出答案．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+2﹣c＝0，
∴c＝3，
故答案为：3．
14．一只不透明的袋中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式进而计算得出答案．
【解答】解：∵一只不透明的袋中装有1个白球和2个黑球，
∴搅匀后从中任意摸出1个球摸到白球的概率为：．
故答案为：．
15．如图，在边长为1的3×3网格中，A，B，C，D四点均在格点上，且AB与CD相交于点E，则线段AE的长是 ．
【分析】取格点F，连接AF、BC，先由勾股定理求得AB＝，再证明△AEF∽△BEC，得＝＝，则AE＝AB＝．
【解答】解：如图，取格点F，连接AF、BC，
由勾股定理得AB＝＝，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝，
∴线段AE的长是，
故答案为：．
16．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是 4+4 ．
【分析】取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【解答】解：取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，
在Rt△ADM中，DM＝＝4，
在Rt△AOB中，OM＝AB＝4，
∴OD的最大值是4+4，
故答案为：4+4．
三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）用适当的方法解方程：
（1）x2+4x＝12；
（2）x（5x+4）＝5x+4．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+4x＝12，
x2+4x﹣12＝0，
（x+6）（x﹣2）＝0，
x+6＝0或x﹣2＝0，
x1＝﹣6，x2＝2；
（2）x（5x+4）＝5x+4，
x（5x+4）﹣（5x+4）＝0，
（5x+4）（x﹣1）＝0，
5x+4＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝1．
18．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
【分析】（1）（2）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
（2）∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
19．（10分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A，B，C三个测温通道，某天早晨，该校小红和小星两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小红从A测温通道通过的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小星从不同的测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵一共有三个通道，小红一次只能通过一个通道，
∴小红从A测温通道通过的概率是．
（2）列表格如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从不同的测温通道通过的情况有6种，
所以小明和小红从同一个测温通道通过的概率为P＝＝．
20．（10分）数学课上，老师提出一个问题：已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．小红的作法如下：
作线段AC的垂直平分线交AC于点O，过O点作射线BM，在射线OM上截取OD＝OB，连接DA，DC．则四边形ABCD即为所求．
（1）请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）①以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA、DC．四边形ABCD为所求矩形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【解答】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求．
（2）证明：由作法得AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
21．（10分）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，利用该省2020年公共充电桩的数量＝该省2018年公共充电桩的数量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该省2021年新增公共充电桩的数量＝该省2020年公共充电桩的数量×年平均增长率，即可求出结论．
【解答】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．
（2）2.88×20%＝0.576（万个）．
答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，P，H分别为AD和AB上的点，BP与CH交于点E，BP＝CH．
（1）求证：BP⊥CH；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AP＝3，求线段BE的长．
【分析】（1）由HL证明Rt△ABP≌Rt△BCH，得∠BHC＝∠BPA，即可推出结论；
（2）由勾股定理求出BP的长，再根据Rt△ABP≌Rt△BCH，得出BH的长，最后证明△BEH∽△BAP，得出比例式求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBH＝90°，AB＝BC，
在Rt△ABP与Rt△BCH中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△BCH（HL），
∴∠BHC＝∠BPA，
又∵∠ABP＝∠EBH，
∴∠BEH＝∠A＝90°，
∴BP⊥CH；
（2）解：∵AP＝3，AB＝4，
∴BP＝＝5，
∵Rt△ABP≌Rt△BCH，
∴BH＝AP＝3，
∵∠ABP＝∠EBH，∠BHC＝∠BPA，
∴△BEH∽△BAP，
∴，
∴，
∴BE＝．
23．（12分）某商场销售某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利40元．在每件赢利不少于25元的前提下，若每件降价1元，则每天可多售2件．
（1）若降价x元，则每天销售数量是 （20+2x） 件（用含x的代数式表示）；
（2）如果每天要赢利1200元，每件应降价多少元？
【分析】（1）若降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天销售数量是（20+2x）件，此问得解；
（2）利用总利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件赢利不少于25元，即可得出每件应降价10元．
【解答】解：（1）若降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天销售数量是（20+2x）件．
故答案为：（20+2x）．
（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件应降价10元．
24．（12分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用 4 小时．
（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；
（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．
【分析】（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，即可求解；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，列出方程可求解．
【解答】解：（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，
∴用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时；
故答案为：4；
（2）设线段AB的函数表达式为y1＝k1x+b1，将（0，20），（2，100）代入y1＝k1x+b1，
，
∴，
∴线段AB的函数表达式为：y1＝40x+20；
设线段AC的函数表达式为y2＝k2x+b2，将（0，20），（6，100）代入y2＝k2x+b2，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y2＝+20；
（3）根据题意，得×（6﹣2﹣a）＝10a，
解得a＝．
答：a的值为．
25．（12分）如图1，矩形ABCD与矩形CEFG全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，连接AC，CF．
（1）在图1中，连接AF，则AF＝ 2 ；
（2）如图2，将图1中的矩形CEFG绕点C逆时针旋转，当CG平分∠ACF时，求点G到AC的距离；
（3）如图3，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针方向旋转，连接AF，DE，两线相交于点M，求证：点M是AF的中点．
【分析】（1）根据矩形ABCD与矩形CEFG全等，可得矩形CEFG是由矩形ABCD绕点C逆时针旋转得到的，所以∠ACF＝90°．然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）过点G作GH⊥CF，GQ⊥AC于点H，Q，根据CG平分∠ACF，可得GH＝GQ，然后由S△CGF＝S矩形CEFG＝4，进而可以解决问题；
（3）延长CM交AD延长线于点H，设DE与CF交于点Q，根据矩形的性质证明AD＝FQ，然后证明△ADM≌△FQM（AAS），可得AM＝FM．进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD与矩形CEFG全等，
∴矩形CEFG是由矩形ABCD绕点C逆时针旋转得到的，
∴∠ACF＝90°．
∵AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，
∴AC＝CF＝＝2，
∴AF＝AC＝2；
故答案为：2；
（2）解：如图2，过点G作GH⊥CF，GQ⊥AC于点H，Q，
∵CG平分∠ACF，
∴GH＝GQ，
∵S△CGF＝S矩形CEFG＝2×4＝4，
∴CF•GH＝4，
∴2×GH＝4，
∴GH＝，
∴CQ＝，
∴点G到AC的距离为；
（3）证明：如图，延长CM交AD延长线于点H，设DE与CF交于点Q，
由旋转可知：CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDH＝∠CEF＝90°，
∴∠QDH＝90°﹣∠CDE，∠FEQ＝90°﹣∠CED，
∴∠QDH＝∠FEQ，
∵AD∥BC，
∴∠QDH＝∠DQC，
∵∠DQC＝∠FQE，
∴∠FEQ＝∠FQE，
∴FE＝FQ，
∵AD＝FE，
∴AD＝FQ，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠QFM，
在△ADM和△FQM中，
，
∴△ADM≌△FQM（AAS），
∴AM＝FM．
∴点M是AF的中点．
2022-2023学年贵州省贵阳市清镇市九年级（上）第一次质检数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．方程x﹣4＝0的解是（ ）
A．4 B．0 C．﹣4 D．无解
2．墨迹覆盖了等式“a2■a2＝a4（a≠0）”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥1 C．﹣1＜x≤1 D．x≤1
4．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．1 cm B．4 cm C．2 cm D．9 cm
5．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个矩形 D．两个菱形
6．小星用配方法对一元二次方程x2+2x＝3进行求解时，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝3 C．a＝1，b＝4 D．a＝﹣1，b＝3
7．小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为25dm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）
A．7.5dm2 B．5dm2 C．10dm2 D．15dm2
8．一元二次方程x2+x﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
9．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（4，1），点D的坐标是（0，1），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，2） D．（2，2）
10．如图，已知AC＝cm，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
11．观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
4
x2+3x﹣5
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．已知x＝1是方程x2+2x﹣c＝0的一个根，则c的值是 ．
14．一只不透明的袋中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率是 ．
15．如图，在边长为1的3×3网格中，A，B，C，D四点均在格点上，且AB与CD相交于点E，则线段AE的长是 ．
16．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是 ．
三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）用适当的方法解方程：
（1）x2+4x＝12；
（2）x（5x+4）＝5x+4．
18．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
19．（10分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A，B，C三个测温通道，某天早晨，该校小红和小星两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小红从A测温通道通过的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小星从不同的测温通道通过的概率．
20．（10分）数学课上，老师提出一个问题：已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．小红的作法如下：
作线段AC的垂直平分线交AC于点O，过O点作射线BM，在射线OM上截取OD＝OB，连接DA，DC．则四边形ABCD即为所求．
（1）请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
21．（10分）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，P，H分别为AD和AB上的点，BP与CH交于点E，BP＝CH．
（1）求证：BP⊥CH；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AP＝3，求线段BE的长．
23．（12分）某商场销售某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利40元．在每件赢利不少于25元的前提下，若每件降价1元，则每天可多售2件．
（1）若降价x元，则每天销售数量是 件（用含x的代数式表示）；
（2）如果每天要赢利1200元，每件应降价多少元？
24．（12分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用 小时．
（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；
（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．
25．（12分）如图1，矩形ABCD与矩形CEFG全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，连接AC，CF．
（1）在图1中，连接AF，则AF＝ ；
（2）如图2，将图1中的矩形CEFG绕点C逆时针旋转，当CG平分∠ACF时，求点G到AC的距离；
（3）如图3，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针方向旋转，连接AF，DE，两线相交于点M，求证：点M是AF的中点．
2022-2023学年贵州省贵阳市清镇市九年级（上）第一次质检数学试卷（参考答案与详解）
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．方程x﹣4＝0的解是（ ）
A．4 B．0 C．﹣4 D．无解
【分析】直接移项即可得出结论．
【解答】解：移项得，x＝4．
故选A．
2．墨迹覆盖了等式“a2■a2＝a4（a≠0）”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分析所给的式子，结合同底数幂的乘法的法则即可求解．
【解答】解：∵a2×a2＝a4，
∴■里的运算符号是：×．
故选：C．
3．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥1 C．﹣1＜x≤1 D．x≤1
【分析】根据数轴上表示的解集得出选项即可．
【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是x≥1，
故选：B．
4．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．1 cm B．4 cm C．2 cm D．9 cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝＝4（cm）．
故选：B．
5．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个矩形 D．两个菱形
【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【解答】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误；
B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确；
C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误．
故选：B．
6．小星用配方法对一元二次方程x2+2x＝3进行求解时，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝3 C．a＝1，b＝4 D．a＝﹣1，b＝3
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+2x＝3，
x2+2x+1＝3+1，
（x+1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
故选：C．
7．小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为25dm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）
A．7.5dm2 B．5dm2 C．10dm2 D．15dm2
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为25×0.6＝15（dm2），
故选：D．
8．一元二次方程x2+x﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+8＝9＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（4，1），点D的坐标是（0，1），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，2） D．（2，2）
【分析】首先连接AC，BD相交于点E，由在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），可求得点E的坐标，继而求得答案．
【解答】解：连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），
∴BD＝4，AE＝1，
∴DE＝BD＝2，AC＝2AE＝2，
∴点C的坐标为：（2，2）．
故选：A．
10．如图，已知AC＝cm，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据菱形的判定定理解答．
【解答】解：四边形ABCD是菱形，
理由如下：由题意得，AB＝AD＝CB＝CD＝1cm，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
11．观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
4
x2+3x﹣5
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【分析】由表格可发现x2+3x﹣5的值﹣1和5最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．
【解答】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝0，即这个数是x2+3x﹣5＝0的一个根．
x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
【分析】根据题意列方程，即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）＝×（6+9+x）×9﹣6×3，
解得x＝3，或x＝6，
故选：D．
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．已知x＝1是方程x2+2x﹣c＝0的一个根，则c的值是 3 ．
【分析】将x＝1代入原方程即可求出答案．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+2﹣c＝0，
∴c＝3，
故答案为：3．
14．一只不透明的袋中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式进而计算得出答案．
【解答】解：∵一只不透明的袋中装有1个白球和2个黑球，
∴搅匀后从中任意摸出1个球摸到白球的概率为：．
故答案为：．
15．如图，在边长为1的3×3网格中，A，B，C，D四点均在格点上，且AB与CD相交于点E，则线段AE的长是 ．
【分析】取格点F，连接AF、BC，先由勾股定理求得AB＝，再证明△AEF∽△BEC，得＝＝，则AE＝AB＝．
【解答】解：如图，取格点F，连接AF、BC，
由勾股定理得AB＝＝，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝，
∴线段AE的长是，
故答案为：．
16．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是 4+4 ．
【分析】取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【解答】解：取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，
在Rt△ADM中，DM＝＝4，
在Rt△AOB中，OM＝AB＝4，
∴OD的最大值是4+4，
故答案为：4+4．
三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）用适当的方法解方程：
（1）x2+4x＝12；
（2）x（5x+4）＝5x+4．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+4x＝12，
x2+4x﹣12＝0，
（x+6）（x﹣2）＝0，
x+6＝0或x﹣2＝0，
x1＝﹣6，x2＝2；
（2）x（5x+4）＝5x+4，
x（5x+4）﹣（5x+4）＝0，
（5x+4）（x﹣1）＝0，
5x+4＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝1．
18．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
【分析】（1）（2）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
（2）∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
19．（10分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A，B，C三个测温通道，某天早晨，该校小红和小星两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小红从A测温通道通过的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小星从不同的测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵一共有三个通道，小红一次只能通过一个通道，
∴小红从A测温通道通过的概率是．
（2）列表格如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从不同的测温通道通过的情况有6种，
所以小明和小红从同一个测温通道通过的概率为P＝＝．
20．（10分）数学课上，老师提出一个问题：已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．小红的作法如下：
作线段AC的垂直平分线交AC于点O，过O点作射线BM，在射线OM上截取OD＝OB，连接DA，DC．则四边形ABCD即为所求．
（1）请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）①以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA、DC．四边形ABCD为所求矩形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【解答】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求．
（2）证明：由作法得AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
21．（10分）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，利用该省2020年公共充电桩的数量＝该省2018年公共充电桩的数量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该省2021年新增公共充电桩的数量＝该省2020年公共充电桩的数量×年平均增长率，即可求出结论．
【解答】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．
（2）2.88×20%＝0.576（万个）．
答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，P，H分别为AD和AB上的点，BP与CH交于点E，BP＝CH．
（1）求证：BP⊥CH；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AP＝3，求线段BE的长．
【分析】（1）由HL证明Rt△ABP≌Rt△BCH，得∠BHC＝∠BPA，即可推出结论；
（2）由勾股定理求出BP的长，再根据Rt△ABP≌Rt△BCH，得出BH的长，最后证明△BEH∽△BAP，得出比例式求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBH＝90°，AB＝BC，
在Rt△ABP与Rt△BCH中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△BCH（HL），
∴∠BHC＝∠BPA，
又∵∠ABP＝∠EBH，
∴∠BEH＝∠A＝90°，
∴BP⊥CH；
（2）解：∵AP＝3，AB＝4，
∴BP＝＝5，
∵Rt△ABP≌Rt△BCH，
∴BH＝AP＝3，
∵∠ABP＝∠EBH，∠BHC＝∠BPA，
∴△BEH∽△BAP，
∴，
∴，
∴BE＝．
23．（12分）某商场销售某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利40元．在每件赢利不少于25元的前提下，若每件降价1元，则每天可多售2件．
（1）若降价x元，则每天销售数量是 （20+2x） 件（用含x的代数式表示）；
（2）如果每天要赢利1200元，每件应降价多少元？
【分析】（1）若降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天销售数量是（20+2x）件，此问得解；
（2）利用总利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件赢利不少于25元，即可得出每件应降价10元．
【解答】解：（1）若降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天销售数量是（20+2x）件．
故答案为：（20+2x）．
（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件应降价10元．
24．（12分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用 4 小时．
（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；
（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．
【分析】（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，即可求解；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，列出方程可求解．
【解答】解：（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，
∴用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时；
故答案为：4；
（2）设线段AB的函数表达式为y1＝k1x+b1，将（0，20），（2，100）代入y1＝k1x+b1，
，
∴，
∴线段AB的函数表达式为：y1＝40x+20；
设线段AC的函数表达式为y2＝k2x+b2，将（0，20），（6，100）代入y2＝k2x+b2，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y2＝+20；
（3）根据题意，得×（6﹣2﹣a）＝10a，
解得a＝．
答：a的值为．
25．（12分）如图1，矩形ABCD与矩形CEFG全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，连接AC，CF．
（1）在图1中，连接AF，则AF＝ 2 ；
（2）如图2，将图1中的矩形CEFG绕点C逆时针旋转，当CG平分∠ACF时，求点G到AC的距离；
（3）如图3，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针方向旋转，连接AF，DE，两线相交于点M，求证：点M是AF的中点．
【分析】（1）根据矩形ABCD与矩形CEFG全等，可得矩形CEFG是由矩形ABCD绕点C逆时针旋转得到的，所以∠ACF＝90°．然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）过点G作GH⊥CF，GQ⊥AC于点H，Q，根据CG平分∠ACF，可得GH＝GQ，然后由S△CGF＝S矩形CEFG＝4，进而可以解决问题；
（3）延长CM交AD延长线于点H，设DE与CF交于点Q，根据矩形的性质证明AD＝FQ，然后证明△ADM≌△FQM（AAS），可得AM＝FM．进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD与矩形CEFG全等，
∴矩形CEFG是由矩形ABCD绕点C逆时针旋转得到的，
∴∠ACF＝90°．
∵AB＝CE＝2，BC＝EF＝4，
∴AC＝CF＝＝2，
∴AF＝AC＝2；
故答案为：2；
（2）解：如图2，过点G作GH⊥CF，GQ⊥AC于点H，Q，
∵CG平分∠ACF，
∴GH＝GQ，
∵S△CGF＝S矩形CEFG＝2×4＝4，
∴CF•GH＝4，
∴2×GH＝4，
∴GH＝，
∴CQ＝，
∴点G到AC的距离为；
（3）证明：如图，延长CM交AD延长线于点H，设DE与CF交于点Q，
由旋转可知：CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDH＝∠CEF＝90°，
∴∠QDH＝90°﹣∠CDE，∠FEQ＝90°﹣∠CED，
∴∠QDH＝∠FEQ，
∵AD∥BC，
∴∠QDH＝∠DQC，
∵∠DQC＝∠FQE，
∴∠FEQ＝∠FQE，
∴FE＝FQ，
∵AD＝FE，
∴AD＝FQ，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠QFM，
在△ADM和△FQM中，
，
∴△ADM≌△FQM（AAS），
∴AM＝FM．
∴点M是AF的中点．
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