2022—2023学年广东省东莞市虎门第三、第四中学联考九年级上学期数学期中试题(解析版)

这是一份2022—2023学年广东省东莞市虎门第三、第四中学联考九年级上学期数学期中试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年第一学期初三数学期中考试卷（虎门三中、四中期中）
（满分：120分　　时间：90分钟）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列新能源汽车标识属于中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2. 下列事件属于不可能事件的是（　　）
A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B 任意画一个三角形，其内角和等于180°
C. 连续掷两次骰子，向上一面的点数都是6
D. 明天太阳从西边升起
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，选项不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和等于，是必然事件，选项不符合题意；
C、连续掷两次骰子，向上一面的点数都是6，是随机事件，选项不符合题意；
D、明天太阳从西边升起，是不可能事件，选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 一元二次方程2x2+x+1=0的根的情况是（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式，即可判断该方程的根的情况.
【详解】由题意可知该一元二次方程的判别式为，，所以方程没有实数根，故选D.
【点睛】本题主要考查一元二次方程，根据判别式得出根的情况是解答本题的关键.
4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ； B. ；
C. ； D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
5. 关于抛物线y＝x2﹣6x+9，下列说法错误的是（　　）
A. 开口向上 B. 顶点在x轴上
C. 对称轴是x＝3 D. x＞3时，y随x增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次函数的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：，
则a=1＞0，开口向上，顶点坐标为：（3，0），对称轴是x=3，
故选项A，B，C都正确，不合题意；
x＞3时，y随x增大而增大，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
6. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，两次摸出的小球标号和为5的有2种情况，
∴两次摸出的小球标号和为5的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
8. 如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ）

A. 45° B. 90° C. 135° D. 180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解．
【详解】旋转角是∠BAD=180°﹣45°=135°．
故选C．
9. .已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=−(x+1)2+2上,则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【详解】∵当x=1时，y1=−(1+1)2+2=−2；
当x=2时，y2=−(2+1)2+2=−7；
∴
故选D
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．
10. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两个函数与y轴的交点是关于x轴对称的，由此确定A选项与C选项不正确；当时，一次函数经过一、三象限，二次函数的开口向上，可求确定D选项不正确．
【详解】解：∵一次函数与y轴的交点，二次函数与y轴的交点为，
∵b与互为相反数，
∴A与C选项不正确；
当时，一次函数经过一、三象限，二次函数的开口向上，D选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象；熟练掌握函数图象的特点，能够通过函数的交点情况、二次函数开口方向、一次函数图象经过的象限情况综合分析解题是关键．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11. 已知点与点关于原点对称，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：由题意，得：
，．
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键．
12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式__．
【答案】2023
【解析】
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵m是一元二次方程一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13. 在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则估计口袋中白球大约有_____个．
【答案】15
【解析】
【分析】摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：x=15，经检验，符合题意，
即白球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
14. 如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，那么的长是 __

【答案】
【解析】
【分析】矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，可知旋转中心为点A，旋转角，根据对应点C、到旋转中心的距离相等可知，，先在中用勾股定理求，再在中，利用勾股定理求．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
【答案】2
【解析】
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
16. 设是关于x的方程的两个根，且，则__
【答案】2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意，知，则，
将其代入关于x的方程，得．
解得．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：．
17. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 __．

【答案】③④⑤
【解析】
【分析】由抛物线与x轴有两交点可得，可判断①；由抛物线对称轴为直线可得b与a的关系，由抛物线经过可得，可判断②；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得方程的两个根，可判断③；进而可得时，x的取值范围，可判断④；由图象可得时，y随x增大而增大，可判断⑤．
详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，①错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线经过，
∴，②错误；
∵抛物线与x轴交与，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴方程的两个根是，，③正确；
∴时，，④正确；
由图象可得时，y随x增大而增大，∴⑤正确．
故答案为：③④⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】移项，然后提公因式（x+2），利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
0，
，
所以，．
19. 在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中小敏、小洁两位同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，而选中小丽的情况只有一种，所以P（恰好选中小丽）=；
（2）列表如下：

所有可能出现的情况有12种，其中恰好选中小敏、小洁两位同学组合的情况有两种，所以P（小敏，小洁）==．
【点睛】本题考查列表法与树状图法．
20. 如图，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为(﹣2，4)、(﹣2，0)、（﹣4，1)．

（1）画出ABC绕着点A逆时针旋转90°得到的AB1C1；
（2）写出点B1、C1的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）B1（2，4），C1（1，2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画出点B、C的对应点即可；
（2）根据点B1、C1的位置，即可写出坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，△AB1C1即为所求；
【小问2详解】
根据图形可知：B1（2，4），C1（1，2）．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征等知识，注意旋转的方向是正确画图的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设垂直于墙的一边长为．

（1）当为何值时，菜园的面积为；
（2）当为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）10； （2）当 时，菜园的面积最大，最大面积是 ．
【解析】
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为 ，根据题意列出方程，即可求解；
（2）设菜园的面积为 ，根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为 ，
根据题意得： ，
解得： ， ，
∵ ，即 ，
∴，不符合题意，舍去，
∴当时，菜园的面积为；
（2）设菜园的面积为 ，根据题意得：
，
∵ ，
∴当 时， 的值最大，即菜园的面积最大，最大面积是 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用．
22. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求与之间函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
【解析】
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【详解】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键．
23. 如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．

（1）
（2）求证：；
（3）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）四边形是菱形．理由见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质即可得到；
（2）根据即可证明；
（3）根据四边相等的四边形是菱形即可判定．
【小问1详解】
解：由旋转可知，为旋转角，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
证明：∵由旋转可知，，，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问3详解】
解：结论：四边形是菱形．
理由：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
【答案】（1）y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）
（2）能飞越，理由见解析
（3）8.1米
【解析】
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；
【小问1详解】
解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
【小问2详解】
解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
【小问3详解】
解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直线OA的解析式为y＝x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式．
（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3
（2）当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1
（3）存在，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，S△MNB（2﹣t）×2t，求最值即可；
（3）先求出点坐标，的长，根据等腰三角形的性质分①CP＝CB，②BP＝BC，③PB＝PC，三种情况求解即可．
小问1详解】
解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
【小问2详解】
解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，

∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
∴时S△MNB值最大
∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1；
【小问3详解】
解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2，

①当CP＝CB时，PC＝3，
∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3，
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数与等腰三角形综合．解题的关键在于对知识的灵活运用．