2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（06）

这是一份2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（06），共35页。
 2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（06）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏南京·八年级期末）第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·八年级期中）在实数，0，， ，，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·江苏·宿迁八年级期中）已知的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（　　）
A．，， B． C． D．
4．（2022·山东·八年级期末）已知点和点B在坐标平面内关于x轴对称，则点B的坐标是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·南通八年级阶段练习）如图，平分，平分，，的周长为33，，则为（    ）

A．15 B．18 C．20 D．23
6．（2022·广东·深圳市宝安外国语学校八年级期中）在下列叙述中，正确的个数有（   ）
①正比例函数的图象经过二、四象限；②一次函数中，y随x的增大而增大；
③函数中，当时，函数值为；④一次函数图象与x轴交点为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·江苏·南通八年级阶段练习）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC△，△AEB△，且BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小（用含x的式子表示）是 （    ）

A．x B．180°2x C．180°x D．2x
8．（2022·江苏·八年级期中）如图，在中，，，点为边上一点，过点A作交延长线于点，若满足，那么的度数为（    ）

A．100° B． C． D．
9．（2022·重庆八年级阶段练习）如图，已知A、B两地相距630米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中、分别表示甲、乙两人离B地的距离y（米）与甲出发时间x（分钟）之间的函数关系图象，则下列说法不正确的是（　　）

A．甲先出发3分钟 B．乙的速度为90米/分钟
C．当乙出发分钟后，甲乙相遇 D．甲比乙早到1分钟
10．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·北京市七年级期中）的相反数是____________，的绝对值是__________．
12．（2022·广东·八年级期中）如图，在中，，，若平分，平分外角，则的度数为______．

13．（2022·江苏·扬州八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，////，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，垂足为D．已知米．请根据上述信息求标语AB的长度______.

14．（2022·四川成都·八年级期末）一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm．

15．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________．

16．（2022·辽宁·沈阳七年级期中）如图，已知：长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数是______．

17．（2022·四川成都·八年级期末）已知平面直角坐标系内两点，，在x轴上找一点P，使得，则此时点P坐标为_______．
18．（2022·广东·九年级期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是__________．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏无锡·八年级期中）计算：
（1）；（2）；（3）．
20．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求3a+10b+c的平方根．


21．（2022·四川成都·八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0），C（3，4）．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是__________；(2)若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为__________；(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，画出△ABP．

22．（2022·江苏·常州八年级阶段练习）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的非长方形的勾股四边形；并写出点M的坐标.
（3）如图（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，已知．求证：，即四边形是勾股四边形．


23．（2022·辽宁·八年级期末）某商场按标价销售某种商品时，每件可获利30元．元旦节期间，为庆祝2022年虎年的到来，商场开展打折销售活动，按标价的八折销售该商品10件与在标价的基础上降低25元销售该商品12件所获利润相等．(1)求该商品进价，标价分别是多少？(2)若此商场共销售该商品200件，其中打八折销售x件，其余均按标价销售，请写出此商场销售完该商品共获利润W（元）与x的函数关系式．




24．（2022·江苏南京·八年级期中）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？


(1)如图①，正方体的棱长为2cm，A是正方体的顶点，P为棱BC的中点．蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为 cm（结果保留根号）．
(2)如图②，四棱锥的底面四边形ABCD是正方形，O是四棱锥的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．图③所示的四棱锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，并求出它的长（结果保留根号）．
(3)图④中的几何体是由底面相同的正方体和四棱锥组成．正方体的棱长为acm，M是正方体的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，O是四棱锥的顶点，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．正方体的侧面展开图如图⑤所示，在图中画出蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径的示意图，并写出求最短路径的思路．



25．（2022·山东·八年级期末）已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．

(1)求证：BD＝AE；(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=5，求BD的长；
(3)若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．


26．（2022·四川成都·八年级期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
(1)求正比例函数的表达式；(2)若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，若一条平行于的直线与直线在第二象限内相交于点D，与y轴相交于点E，连接，当平分时，求点D的坐标．

答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏南京·八年级期末）第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义进行分析即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形．
【详解】选项A、C、D中的图形都找不到一条直线，使图形沿这条直线折叠后两旁的部分能够完全重合，选项D中的图形能够找到这样一条直线，
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，判断是否是轴对称图形，关键是能否找到对称轴．
2．（2022·广东·八年级期中）在实数，0，， ，，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：无理数有，，，共3个．故选：C
【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数，注意初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像…（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数．
3．（2022·江苏·宿迁八年级期中）已知的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（　　）
A．，， B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断A，B，再根据三角形内角和定理判断C，D即可．
【详解】因为，所以是直角三角形，则A不符合题意；
因为，所以是直角三角形，则B不符合题意；
由，得，解得，可知不是直角三角形，则C符合题意；
由，得，即，解得，所以是直角三角形，则D不符合题意．故选：C.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
4．（2022·山东·八年级期末）已知点和点B在坐标平面内关于x轴对称，则点B的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接得到答案．
【详解】解：∵点A(-1，3)和点B关于x轴对称，∴B点坐标为(-1，-3)．故选：A．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（2022·江苏·南通八年级阶段练习）如图，平分，平分，，的周长为33，，则为（    ）

A．15 B．18 C．20 D．23
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，，再根据等角对等边证明，，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，∴，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是根据已知条件证明，求出．
6．（2022·广东·深圳市宝安外国语学校八年级期中）在下列叙述中，正确的个数有（   ）
①正比例函数的图象经过二、四象限；
②一次函数中，y随x的增大而增大；
③函数中，当时，函数值为；
④一次函数图象与x轴交点为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据中，可知函数图象经过第一、三象限；②根据中，可知y随x的增大而增大；③当时， ；④中，当时，，可知一次函数与x轴交点为，正确的叙述有3个．
【详解】解：①∵正比例函数中，，
∴有该函数图象经过第一、三象限，
故错误；
②∵一次函数中，，
∴y随x的增大而增大，
故正确；
③∵时，
∴中，，
故正确；
④∵一次函数中，时，
，
∴一次函数图象与x轴交点为，
故正确．
∴综上所述：正确的叙述是3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握由一次函数的图象特征判定函数性质，由解析式的系数特征判定函数图象特征，点和图象位置关系的判定，是解题的关键．
7．（2022·江苏·南通八年级阶段练习）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC△，△AEB△，且BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小（用含x的式子表示）是 （    ）

A．x B．180°2x C．180°x D．2x
【答案】B
【点睛】延长交AC于M，如图，根据全等的性质得∠=∠ACD，∠=∠CAD=∠=x，再利用三角形外角性质得∠=∠+∠=∠+2x，接着利用得到∠AEB=∠，而根据三角形内角和得到∠=180°-∠-x，则∠+2x=180°-∠-x，所以∠+∠=180°-3x，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=x+∠+∠，所以∠BFC=180°-2x．
【详解】解：延长交AC于M，如图，

∵△ADC△，△AEB△，
∴∠=∠ACD，∠=∠CAD=∠=x，
∴∠=∠+∠=∠+2x，
∵，
∴∠AEB=∠，
∵∠=180°∠∠=180°∠-x，
∴∠+2x=180°-∠x，
∴∠+∠=180°3x，
∵∠BFC=∠BDF+∠DBF
=∠BDF+∠
=x+∠ACD+∠
=x+∠+∠
=x+180°3x
=180°2x．
故选：B．
【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．
8．（2022·江苏·八年级期中）如图，在中，，，点为边上一点，过点A作交延长线于点，若满足，那么的度数为（    ）

A．100° B． C． D．
【答案】C
【分析】延长、交于点，证，得，再证，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长、交于点，
，，
，，
，∴，，
，，，
在和中，，
，，
，，，
，，，
，故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．（2022·重庆八年级阶段练习）如图，已知A、B两地相距630米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中、分别表示甲、乙两人离B地的距离y（米）与甲出发时间x（分钟）之间的函数关系图象，则下列说法不正确的是（　　）

A．甲先出发3分钟 B．乙的速度为90米/分钟
C．当乙出发分钟后，甲乙相遇 D．甲比乙早到1分钟
【答案】C
【分析】由图像可以直接判断选项A，根据题意结合图形分别可判断B、C、D选项．
【详解】A．由图像可知，是甲的函数图像，是乙的函数图像，
乙的函数图象3分钟后开始上升，故甲先出发3分钟，故此选项正确，不符合题意；
B．乙的速度为：（米/分），故此选项正确，不符合题意；
C．甲的速度为（米/分）
设乙出发t分钟后，甲乙相遇，根据相遇时甲乙的路程和等于A、B两地距离，可列方程：
，解得：，
∴乙出发分钟后，甲乙相遇，故此选项错误，符合题意；
D．由图可知，甲9分钟时到达B地，乙10分钟时到达A地，
∴甲比乙早到1分钟，故此选项正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查函数的图像，从函数图象识别有用的信息，掌握数形结合的方法是解题的关键．
10．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意易得OB=OC，则有∠OBD=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④．
【详解】解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：

∵∠PAE=60°，∴△PAE是等边三角形，∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，∴△BPE≌△OPA（SAS），∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·北京市七年级期中）的相反数是____________，的绝对值是__________．
【答案】         
【分析】根据直接利用相反数的定义，以及负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】解：的相反数为：；
，．故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了相反数的定义，绝对值的代数性质，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2022·广东·八年级期中）如图，在中，，，若平分，平分外角，则的度数为______．

【答案】
【分析】利用角平分线证明即可．
【详解】解：∵平分，平分外角，
∴，，
∵由外角可得：，，
∴，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是运用整体的思想，根据等量代换解决此题．
13．（2022·江苏·扬州八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，////，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，垂足为D．已知米．请根据上述信息求标语AB的长度______.

【答案】16
【分析】已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定义可得∠CDO=，可得PB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB，即可根据ASA定理判定△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．
【详解】∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∵PD⊥CD，
∴∠CDP=，∴∠ABP=，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD=PB，
在△ABP与△CDP中，
，∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD=AB=16米．故答案为：16
【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．
14．（2022·四川成都·八年级期末）一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm．

【答案】20
【分析】如图所示，将长方体各个顶点标上字母，然后可分①情况一：经过前侧和右侧，②情况二：经过前侧和上侧，然后根据长方体展开图及勾股定理可求解路线长，最后进行比较即可．
【详解】解：如图所示，将长方体各个顶点标上字母，

①情况一：经过前侧和右侧，如图所示，
∴；
②情况二：经过前侧和上侧，如图所示，
∴，∴，
故蚂蚁爬行的最短路程为20cm；故答案为20．
【点睛】本题主要考查立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理，熟练掌握立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理是解题的关键．
15．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________．

【答案】2-180°
【分析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
【详解】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中，，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−，
即∠MAB＋∠NAC＝180°−，
则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°．
故答案是：2-180°．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．（2022·辽宁·沈阳七年级期中）如图，已知：长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数是______．

【答案】56
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH= 118°，由折叠得：∠DEM = 2∠DEG，∠AFM = 2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFM的和，利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【详解】解：， ，， ，
由折叠得： ， ，
， ，
在中， ，故答案为：56．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
17．（2022·四川成都·八年级期末）已知平面直角坐标系内两点，，在x轴上找一点P，使得，则此时点P坐标为_______．
【答案】（，0）或（6，0）
【分析】如图所示，当点P在A点左侧，即点的位置时，过点A作AC⊥AB交延长线于C，过点C作CH⊥x轴于H，证明△AHC≌△BOA（，得到CH=OA=1，HA=OB=3，则点C的坐标为（-2，-1），求出直线BC的解析式为，令，则，解得，则点P的坐标为（，0）；同理当点P在A点右侧即点的位置是，可以求得P点坐标为（6，0）．
【详解】解：如图所示，当点P在A点左侧，即点的位置时，过点A作AC⊥AB交延长线于C，过点C作CH⊥x轴于H，∵∠APC=45°，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AC=BA，
∵∠HAC+∠HCA=90°，∠HAC+∠BAO=90°，∴∠HCA=∠OAB，
又∵∠AHC=∠BOA=90°，∴△AHC≌△BOA（AAS），
∵，，∴CH=OA=1，HA=OB=3，∴点C的坐标为（-2，-1），
设直线BC的解析式为，∴，∴，
∴直线BC的解析式为，令，则，解得，∴点P的坐标为（，0）；
同理当点P在A点右侧即点的位置是，可以求得P点坐标为（6，0），故答案为：（，0）或（6，0）．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
18．（2022·广东·九年级期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是__________．

【答案】
【分析】延长至使，可证，可得，当时，最小，求出即可．
【详解】解：延长至使，连接，如下图：

由题意可得：，∴
在中，，，
∴，即，∴，
∴，，即
则点在直线绕点顺时针旋转的直线上，当时，最小
此时 故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和垂线段最短，解题的关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，确定点E的运动轨迹．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏无锡·八年级期中）计算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）1；（2）6；（3）.
【分析】（1）利用平方根和立方根的性质化简后相加即可；
（2）利用平方根的性质化简后相加即可；
（3）利用平方根的性质、绝对值的性质、零指数幂定义化简后相加即可.
【详解】解：（1）=；
（2）=3+5-2=6；
（3）=2+-1-1=.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质、零指数幂定义，掌握平方根和立方根的性质、零指数幂定义是解题关键．
20．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求3a+10b+c的平方根．
【答案】(1)
(2)的平方根为
【分析】（1）根据立方根和平方根、算术平方根的定义求解即可；
（2）将所求的a、b、c代入求解即可．
（1）
解：根据题意可知，
，
解得，
，
解得，
，
∴；
（2）
解：当时，
，
∵36的平方根为．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查立方根和平方根、算术平方根，正确求出a、b、c是解答的关键．
21．（2022·四川成都·八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0），C（3，4）．

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是__________；
(2)若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为__________；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，画出△ABP．
【答案】(1)画△ABC见解析，4(2)（-3，-4）(3)见解析
【分析】（1）根据A，B，C的坐标，画出图形即可，利用分割法求出△ABC的面积；
（2）利用中心对称的性质解决问题即可；
（3）设P（m，0），构建方程，解决问题即可．
（1）
解：如图，△ABC即为所求，

S△ABC=3×4-×1×2-×2×3-×2×4=4，故答案为：4．
（2）解：∵C（3，4），C，D关于原点对称，
∴D（-3，-4）；故答案为：（-3，-4）；
（3）解：设P（m，0），
则有×|1-m|×2=4，解得m=-3或5，
∴P（-3，0），P′（5，0），
△ABP或△ABP′如图所示．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
22．（2022·江苏·常州八年级阶段练习）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的非长方形的勾股四边形；并写出点M的坐标.
（3）如图（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，已知．求证：，即四边形是勾股四边形．

【答案】（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）M（3，4）或M′（4，3）（3）证明见解析
【分析】（1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M（3，4）或M（4，3）．
（3）欲证明DC2+BC2=AC2，只需证明∠DCE=90°．
【详解】解：（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）
（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（3）证明：连接EC，

∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
23．（2022·辽宁·八年级期末）某商场按标价销售某种商品时，每件可获利30元．元旦节期间，为庆祝2022年虎年的到来，商场开展打折销售活动，按标价的八折销售该商品10件与在标价的基础上降低25元销售该商品12件所获利润相等．(1)求该商品进价，标价分别是多少？(2)若此商场共销售该商品200件，其中打八折销售x件，其余均按标价销售，请写出此商场销售完该商品共获利润W（元）与x的函数关系式．
【答案】(1)商品的进价为90元，标价为120元
(2)
【分析】（1）根据某商场按标价销售某种商品时，每件可获利30元，和按标价的八折销售该商品10件与在标价的基础上降低25元销售该商品12件所获利润相等，可以列出二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）的值，直接写出函数关系式．
（1）解：设商品的进价为a元，标价为b元，由题意得 解得 答：商品的进价为90元，标价为120元．
（2）解：由题意得： =．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出相等关系，列出方程组或写出函数关系式．
24．（2022·江苏南京·八年级期中）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？


(1)如图①，正方体的棱长为2cm，A是正方体的顶点，P为棱BC的中点．蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为 cm（结果保留根号）．
(2)如图②，四棱锥的底面四边形ABCD是正方形，O是四棱锥的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．图③所示的四棱锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，并求出它的长（结果保留根号）．
(3)图④中的几何体是由底面相同的正方体和四棱锥组成．正方体的棱长为acm，M是正方体的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，O是四棱锥的顶点，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．正方体的侧面展开图如图⑤所示，在图中画出蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径的示意图，并写出求最短路径的思路．
【答案】(1)
(2)蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径长为
(3)见解析

【分析】（1）画出正方体的侧面展开图，连结AP，由两点之间线段最短可知线段AP的长为蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长，根据勾股定理求出AP的长即可；
（2）连接AP，线段AP为蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，先证明△AOC是等边三角形，则∠APO=90°，根据勾股定理求出AP的长即可；
（3）画出由底面相同的正方体和四棱锥组成的几何体的侧面展开图，连接MP，线段MP为蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径，连接AP，作PQ⊥MG于点Q，交AC于点H，证明△APH是等腰直角三角形，求出PH、PQ、MQ的长，即可根据勾股定理求出MP的长即可．
（1）
解：如图1，正方体的侧面展开图，

∵∠AEB+∠BED=180°，
∴点A、E、D在同一条直线上，
连接AP，由两点之间线段最短可知线段AP的长为蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长，
作PF⊥PF于点F，则∠AFP=∠PBE=∠BEF=90°，
∴四边形BEFP是矩形，
∴PF=BE=2，EF=BP=BC=1，
∴AF=2+1=3，
∴AP=（cm），
∴蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为（cm），
故答案为：；
（2）
解：如图2，四棱锥的侧面展开图，

连接AP，线段AP为蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，
连接AC，
∵∠AOB=∠BOC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC=4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵OP=CP=OC=OA=2，
∴AP⊥OC，
∴∠APO=90°，
∴AP=，
∴AP=×4=2（cm），
∴蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径长为2cm；
（3）
解：如图3，由底面相同的正方体和四棱锥组成的几何体的侧面展开图，
连接MP，线段MP为蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径，

求最短路径的思路：
连接AP，作PQ⊥MG于点Q，交AC于点H，
由OA=OB，∠AOB=30°，可得∠OAB=∠OBA=75°，
由（2）可知∠OAP=30°，则∠PAH=45°，可知△APH是等腰直角三角形，
因此PH=AG=MQ，求出PH、MQ、PQ的长，再根据勾股定理求出MP的长．
求最短路径的解法如下：
如图3，由（1）得点M、F、G在同一条直线上，
同理点A、B、C在同一条直线上，
连接AP，作PQ⊥MG于点Q，交AC于点H，
∵AC∥MG，
∴∠AHP=∠PQM=∠HAM=∠AMQ=90°，
∴四边形AMQH是矩形，
∴HQ=AM=a，MQ=AH，
∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
由（2）得∠OAP=30°，AP=OA=b，
∴∠PAH=75°-30°=45°，
∴∠HPA=∠HAP=45°，
∴AH=PH，
∵PH2+AH2=AP2，
∴2PH2=（b）2，
∴PH=AH=b，
∴MQ=AH=b，PQ=HQ+PH=a+b，
∴MP=（cm），
∴蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径长为cm．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及求最短路径长问题的求解等知识与方法，解题的关键是作辅助线构造直角三角形再用勾股定理解题．
25．（2022·山东·八年级期末）已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．

(1)求证：BD＝AE；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=5，求BD的长；
(3)若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=；(3)AD=．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可；
（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
（1）
证明：∵△ABC和△DCE是等边三角形，

∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；
（2）
解：∵△DCE等式等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=5，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，
在Rt△ADE中，AD=4，DE=5，
∴AE=，
∴BD=；
（3）
解：如图2，过A作AH⊥CD于H，

∵点B，C，E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠CAH=30°，
在Rt△ACH中，CH=AC=，
由勾股定理得AH=，
∴DH=CD-CH=5-，
在Rt△ADH中，AD==．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质解答．
26．（2022·四川成都·八年级期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
(1)求正比例函数的表达式；(2)若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，若一条平行于的直线与直线在第二象限内相交于点D，与y轴相交于点E，连接，当平分时，求点D的坐标．

【答案】(1)
(2)或

(3)

【分析】（1）将点坐标代入正比例函数解析式中求解即可；
（2）表示出坐标，进而可得与的面积，由，求出值，根据求出值，进而可得表达式；
（3）由题意知，过点A的直线的表达式为，如图，作于，设直线的解析式为，则，，由平分，可得，，表示出的坐标，代入中可求值，进而得到点D的坐标．
（1）
解：将代入中得，
解得
∴正比例函数的表达式为．
（2）
解：∵
∴直线与x轴、y轴的交点坐标为，
将代入得
∴，
∵
∴
解得或
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
∴直线的表达式为或．
（3）
解：由题意知，过点A的直线的表达式为，如图，作于，

设直线的解析式为，则，
∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴是线段的中点
∴是线段的中点
∴
将代入中得
解得
∴．
【点睛】本题考查了正比例函数解析式，一次函数与面积，平行直线的解析式，角平分线与平行线，三角形外角的性质，中点坐标等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．