2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（05）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（05），共27页。试卷主要包含了若csα＝，则锐角α的度数是，已知方程等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．若csα＝，则锐角α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．18B．20C．24D．28
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．B．C．∠B＝∠DD．∠C＝∠AED
4．已知方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝0
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E是AD上的一点，且AE＝1，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，FG，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
7．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a＝3，c＝4，则b的值是（ ）
A．2B．5C．D．
8．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+9B．y＝（x+3）2+9
C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+9
9．如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6mB．7mC．8mD．9m
10．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．若＝，则＝ ．
12．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 ．
13．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝ ．
14．比较大小：sin50° sin60°（填“＞”或“＜”）．
15．如图，在正方形网格中，直线AB、CD相交所成的锐角为α，则sinα的值为 ．
16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是 ．
17．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 ．
18．如图，长为2m的竹竿与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为 m．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）100（x﹣1）2＝121．
20．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
21．为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
22．如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．
求证：AB是⊙C的切线．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求AF长度的最小值．
24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当y＞3时，x的取值范围是 ．
25．某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数表达式是 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值．
26．（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 ．
平均数
众数
中位数
方差
甲
8

8
0.4
乙

9

3.2
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
答案与解析
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．若csα＝，则锐角α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据csα＝，求出锐角α的度数即可．
【解答】解：∵csα＝，
∴α＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．18B．20C．24D．28
【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝24，
经检验：x＝24是原分式方程的解；
∴黄球的个数为24．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．B．C．∠B＝∠DD．∠C＝∠AED
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
4．已知方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式a﹣2≠0，再解不等式即可．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
解得a≠2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E是AD上的一点，且AE＝1，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，FG，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点G作GT⊥AB于T，设BE交FG于R．证明△BAE≌△GTF（ASA），可得GF＝BE＝，推出EF+BG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，据此解答即可．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，设BE与FG的交点于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵CH⊥AB，
∴∠GHB＝90°，
∴四边形BCGH是矩形，
∴BC＝GH，
∴AB＝GH，
∵GF⊥BE，
∴∠BNF＝90°，
∵∠ABE+∠BFN＝90°，∠HGF+∠BFN＝90°，
∴∠ABE＝∠HGF，
∴△ABE≌△HGF（ASA），
FH＝AE＝1
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝＝＝，
∴GF＝BE＝，
∴EF+BG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，
以BG、BE为邻边作平行四边形BGME，
则EM＝BG，
∴EF+BG＝EF+EM，
当F、E、M在同一直线上时，
EF+BG＝EF+EM＝FM为最短，
∴FE∥BG，
∴∠AFE＝∠ABG＝∠CGB，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴△AFE∽△CGB，
∴，
∵EF∥BC，
∴＝，
∴BN＝＝，
∵△BFN∽△BAE，
∴，
设CG＝x，则AF＝x，BF＝3﹣x，
∴＝，
解得x＝．
解法二：
设CG＝BT＝x，则AF＝AB﹣FT﹣BT＝3﹣1﹣x＝2﹣x
则EF+BG＝+，
欲求＝+的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，3），N（2，1）的距离和最小．
如图，作点M关于x轴的对称点M′（0，﹣3），连接NM′交x轴于P，连接PM，此时PM+PN的值最小．
∵N（2，1），M′（0，﹣3），
∴直线M′N的解析式为y＝2x﹣3，
∴P（，0），
∴x＝时，+，的值最小．
故选：A．
【点评】本题考查l了轴对称路线最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
6．如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，
∴直线l与⊙O相交．
故选：B．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时直线l和⊙O相交是解答此题的关键．
7．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a＝3，c＝4，则b的值是（ ）
A．2B．5C．D．
【分析】先根据比例中项的定义得到3：b＝b：4，然后利用比例性质求b的值．
【解答】解：根据题意得a：b＝b：c，
即3：b＝b：4，
解得b＝2或b＝﹣2（舍去），
所以b的值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
8．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+9B．y＝（x+3）2+9
C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+9
【分析】当抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，于是根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的顶点坐标为（3，﹣9），
由于抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，
则所得抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6mB．7mC．8mD．9m
【分析】设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，
∴CD∥AH∥MN，
∴△CDE∽△AHE，△MNF∽△AHF，
∴＝，＝，
设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，
∴＝，＝，
∴y＝4x，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝6，
故路灯AH的高度为6m，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握“在同一时刻物高与影长的比相等”是解题的关键．
10．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
【点评】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．若＝，则＝ ﹣ ．
【分析】根据比例设x＝2k，y＝5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝2k，y＝5k（k≠0），
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
12．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 4 ．
【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．
【解答】解：∵y＝2x2﹣bx+3，对称轴是直线x＝1，
∴＝1，即﹣＝1，解得b＝4．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是直线x＝．
13．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝ ．
【分析】根据二次函数的定义得到2m﹣1＝2，解方程求出m即可．
【解答】解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，
∴2m﹣1＝2，
∴m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数．
14．比较大小：sin50° ＜ sin60°（填“＞”或“＜”）．
【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：由于50°＜60°，
根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得，sin50°＜sin60°，
故答案为：＜．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是正确判断的关键．
15．如图，在正方形网格中，直线AB、CD相交所成的锐角为α，则sinα的值为 ．
【分析】过点C作CE∥AB，过点D作DE⊥CE，垂足为E，如图，根据两直线平行，同位角相等，可得∠DCE＝α，在Rt△CDE中由CE＝4，DE＝3，可得CD＝5，根据sinα＝sin∠DCE＝代入计算即可得出答案．
【解答】解：过点C作CE∥AB，过点D作DE⊥CE，垂足为E，如图，
由题意可知，∠DCE＝α，
在Rt△CDE
∵CE＝4，DE＝3，
∴CD＝5，
∴sinα＝sin∠DCE＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算，添加适当辅助线构造直角三角形是解决本题的关键．
16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是 ．
【分析】折叠后形成的图形相互全等，设BE＝x，则CE＝8﹣x，在RT△BCE中利用勾股定理求出BE，利用三角函数的定义可求出．
【解答】解：根据题意，BE＝AE．设BE＝x，则CE＝8﹣x．
在Rt△BCE中，x2＝（8﹣x）2+62，
解得x＝，故CE＝8﹣＝，
∴tan∠CBE＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
17．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 ．
【分析】连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，再利用勾股定理得（r﹣5）2+t2＝r2①，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2②，然后解方程组即可．
【解答】解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，
∵CD⊥AB，MN∥CD，
∴∠ODM＝∠DME＝∠MEO＝90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，
在Rt△AOD中，（r﹣5）2+t2＝r2，①
在Rt△NOE中，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2，②
②×4﹣①得2r﹣21＝0，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
18．如图，长为2m的竹竿与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为 7 m．
【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．
【解答】
解：如图；
AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：＝，即＝．
解得：BC＝7，
故树的高度位7m．
故答案是：7．
【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（x﹣1）2＝1.21，
开平方得，x﹣1＝±1.1，
∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，
∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 变小 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【解答】解：（1）甲的众数为8，乙的平均数＝×（5+9+7+10+9）＝8，乙的中位数为9；
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
故答案为：8，8，9；变小．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2＝[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．
21．为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，
所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为＝．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
22．如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．
求证：AB是⊙C的切线．
【分析】连结AC、OC．根据全等三角形的性质得到∠CAF＝∠CAE，∠AFC＝∠AEC，求得OC∥AF，根据平行线的性质得到∠AFC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连结AC、OC．
∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS）．
∴∠CAF＝∠CAE，∠AFC＝∠AEC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠CAF＝∠CAE，
∴∠CAF＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥BF，即∠OCF＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
即CE⊥AB，
∵点E在⊙C上，
∴AB是⊙C的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求AF长度的最小值．
【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠BAE＝∠CEF，加上∠B＝∠C＝90°，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）设BE＝x，则CE＝4﹣x，由于△ABE∽△ECF，则利用相似比可表示出CF＝，根据二次函数的性质可判断当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，接着利用勾股定理得到AF＝，从而可确定AF长度的最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：设BE＝x，则CE＝4﹣x，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，即＝，
∴CF＝＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，
∵在Rt△ADF中，AF＝＝，
∴当DF＝3时，AF取最小值，AF的最小值为＝5，
∴AF长度的最小值为5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了二次函数的性质和正方形的性质．
24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当y＞3时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数图象的对称性即可画出抛物线的对称轴l；
（3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣2，3）代入二次函数y＝ax2+bx+3，
得
解得
该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，直线l为所求对称轴；
由（1）得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
变换形式得y＝﹣（x+1）2+4，
所以可以得出顶点D的坐标为（﹣1，4），对称轴为x＝﹣1．
（3）令y＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝0或﹣2，
结合图形得﹣2＜x＜0时，y＞3．
故答案为：﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，二次函数图象及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据待定系数法求得解析式；（2）观察函数图象，找出结论．
25．某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）该商品进价 20 （元/件），y关于x的函数表达式是 y＝﹣3x+300 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值．
【分析】（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为20元，设y＝kx+b，用待定系数法即得解析式；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m），根据对称轴为直线x＝60+以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+＝63，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为40﹣3600÷180＝20（元），
设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
故答案为：20，y＝﹣3x+300；
（2）由题意W＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）
＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，
对称轴x＝60+，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+＝63，
解得：m＝6．
∴m的值为6．
【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式．
26．（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP ＝ DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 ．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，结合∠PDQ＝90°得∠ADP＝∠CDQ，证△ADP≌△CDQ可得答案；
（2）①证△ADP∽△CDQ得＝＝，设AP＝x，则CQ＝2x，PB＝4﹣x，BQ＝2+2x，在Rt△PBQ中，由勾股定理得到关于x的方程，解之即可；
②延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，设AP＝a，则BP＝4﹣a，由△ADP∽△CDQ得＝＝，∠APD＝∠CQD，CQ＝2a，BQ＝2+2a，再证△BDM≌△BDQ得∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，结合∠BQD＝∠APD＝∠BPM知∠BMD＝∠BPM，从而得BM＝BP，据此求出a的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝90°，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠PDC+∠CDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ，
故答案为：＝；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．
∵∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
又∵∠A＝∠DCQ＝90°．
∴△ADP∽△CDQ，
∴＝＝＝，
设AP＝x，则CQ＝2x，
∴PB＝4﹣x，BQ＝2+2x．
由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2+BQ2＝PQ2，
代入得（4﹣x）2+（2+2x）2＝52，
解得x＝1，即AP＝1．
∴AP的长为1；
②如图所示，延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，
设AP＝a，则BP＝4﹣a，
∵△ADP∽△CDQ，
∴＝＝，∠APD＝∠CQD，
∴CQ＝2a，
则BQ＝BC+CQ＝2+2a，
∵BD平分∠PDQ，
∴∠BDM＝∠BDQ，
在△BDM和△BDQ中，
，
∴△BDM≌△BDQ（SAS），
∴∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，
又∵∠BQD＝∠APD＝∠BPM，
∴∠BMD＝∠BPM，
∴BM＝BP，即2+2a＝4﹣a，
解得a＝，即AP＝，
∴PD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100